Begleitbuch für Mathematik für die Prüfung zur Fachhochschulreife 2018 Baden-Württemberg - Berufskolleg. Analysis

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1 Begleitbuch für Mathematik für die Prüfung zur Fachhochschulreife 018 Baden-Württemberg - Berufskolleg Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

2 i Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Buches entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abschlussprüfung der Fachhochschulreife 018 von Baden-Württemberg abgestimmt. Dieses Buch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung als auch auf die Klausuren innerhalb des Schuljahres. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf fachchinesisch zu verzichten (gemäß Albert Einstein: Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher ). In den Kapiteln 1 14 wird der komplette Prüfungsstoff ausführlich behandelt - auch Themen wie Geraden- und Parabelgleichungen, die schon in der Realschule behandelt wurden und eine wichtige Grundlage der Analysis darstellen, habe ich bewusst in diesem Buch mit aufgenommen. Durch die neue Prüfungsordnung ab 018 können die Prüfungsaufgaben bis 017 nicht zur Prüfungsvorbereitung genutzt werden. Daher habe ich in den Kapiteln 15 und 16 viele Musterprüfungsaufgaben zusammengestellt, die der Prüfungordnung 018 entsprechen und mit denen ihr euch auf eure Prüfung gezielt vorbereiten könnt. Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr auswendig lernen solltet sind in dem Buch grau hinterlegt. Außerdem solltet ihr euch im Vorfeld der Abiturprüfung bzw. einer Klausur mit der "Merkhilfe" (kurze Formelsammlung) vertraut machen, die ihr im Teil mit Hilfsmittel verwenden dürft. Die Merkhilfe findet ihr ab Seite iii in diesem Buch. VORSICHT FALLE: Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf. Ich habe daher in dem Buch auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am Rand gekennzeichnet. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, sind in dem Buch insgesamt 00 Übungsaufgaben enthalten. Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-dateien über einen geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt. Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten. Hinweis zum Taschenrechner: Im ersten Teil der FH-Prüfung darf kein Taschenrechner und keine Merkhilfe genutzt werden. Im zweiten Teil darf der wissenschaftliche Taschenrechner (WTR) sowie die Merkhilfe (MH) genutzt werden. Bei den Aufgaben im Buch, bei denen ihr einen Taschenrechner und die Merkhilfe verwenden könnt, habe ich in der jeweiligen Aufgabe durch die Kennung (WTR, MH) ergänzt. Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Abschlussprüfung! Alexander Schwarz

3 Prüfungsablauf ii Die Prüfungszeit beträgt 00 Minuten. Insgesamt können 90 Punkte erreicht werden. In der kompletten schriftlichen Prüfung ist nur das Themengebiet Analysis relevant (also die Themen, die in diesem Buch behandelt werden) Im Teil 1 (Pflichtteilaufgaben) dürfen keine Hilfsmittel benutzt werden. In den Teilen 4 (Wahlteilaufgaben) dürfen die Merkhilfe sowie ein wissenschaftlicher Taschenrechner verwendet werden. Teil 1: (Pflichtteil) SchülerIn erhält einen Aufgabensatz aus ca. 7 Aufgaben und muss alle bearbeiten. Es können maximal 0 Punkte erreicht werden Teil - 4: (Wahlteil) SchülerIn wählt aus drei Wahlteilaufgaben zwei Wahlteilaufgaben aus, die zu bearbeiten sind. Pro Wahlteilaufgabe können 0 Punkte, also maximal 60 Punkte erreicht werden.

4 Merkhilfe (bitte die Anmerkung zu Beginn beachten!) iii

5 iv

6 v

7 vi

8 vii

9 viii

10 ix

11 x

12 Einführung in die Funktionen 1 1 Einführung in die Funktionen Beim Thema "Analysis" stehen Funktionen im Mittelpunkt. Bereits in der Mittelstufe habt ihr euch beim Thema Geraden und Parabeln bereits mit Funktionen beschäftigt. Aber keine Sorge: Ihr braucht nun nicht in alten Unterrichtsaufschrieben stöbern. Geraden und Parabeln werden wir in den Kapiteln und ausführlich wiederholen. Außerdem werdet ihr in diesem Buch noch andere Funktionen kennen lernen: Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) Exponentialfunktionen (e-funktionen) Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktionen) Zunächst schauen wir uns aber mal an, was man unter einer "Funktion" überhaupt versteht. 1.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge Eine Funktion können wir uns wie eine Maschine vorstellen, in die wir eine Zahl als x- Wert oben reinstecken und die Maschine daraus genau eine Zahl als y-wert produziert (nicht mehrere!). Die Zahlenmenge der x-werte, die wir in die Maschine reinstecken wollen, nennen wir die Definitionsmenge der Funktion. Die Zahlenmenge der y-werte, die wir als "Ergebnisse der Maschine" erhalten, wenn wir alle möglichen x-werte der Definitionsmenge reinstecken, nennen wir die Wertemenge der Funktion. Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge D genau eine Zahl y = f(x) aus der Wertemenge W zuordnet. Die Mathematik hat eine spezielle Fachsprache, daher ist es wichtig, dass ihr euch bestimmte Begriffe merkt und diese auch insbesondere bei Prüfungen richtig benutzt. Einige Bezeichnungen, die im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind:

13 Einführung in die Funktionen x Variable der Funktion; der x-wert wird häufig auch Stelle genannt f(x) Funktionswert von x (Funktionswert an der Stelle x); in der Mittelstufe habt ihr anstatt f(x) den Buchstaben "y" geschrieben; nun solltet ihr aber die Schreibweise "f(x)" benutzen; lediglich bei Geradengleichungen (siehe Kapitel ) schreibt man auch in der Oberstufe häufig "y" anstatt f(x). D Definitionsmenge = Menge aller x-werte, die in f eingesetzt werden dürfen Um Zahlenmengen anzugeben (zum Beispiel zur Angabe der Definitionsmenge oder Wertemenge) kann man Intervalle verwenden. Um zu unterscheiden, ob die Randzahl eines Intervalls noch zur Zahlenmenge dazugehört oder nicht, werden in der Mathematik zwei Sorten von eckigen Klammern verwendet. Zeigt eine eckige Klammer nach außen, gehört die Randzahl nicht mehr zum Intervall dazu; zeigt die eckige Klammer nach innen, gehört die Randzahl zum Intervall zu. [1;4] : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich der Zahlen 1 und 4 [1;4[ : 1 x< 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 1 aber ohne 4 ]1;4] : 1< x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 4 aber ohne 1 ]1;4[ : 1< x< 4 alle Zahlen von 1 bis 4 ohne 1 und ohne 4 [1; + [ : x 1 alle Zahlen von 1 bis unendlich einschließlich der Zahl 1 Außerdem gibt es noch Abkürzungen für bestimmte Zahlenmengen R : Menge aller reellen Zahlen (alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl) Z : Menge aller ganzen Zahlen, also Z = {...-, -, -1, 0, 1,,,...} N : Menge aller natürlichen Zahlen, also N = {0,1,,,...} Damit ihr zu einer Funktion das zugehörige Schaubild zeichnen könnt, benötigt ihr ein Koordinatensystem mit einer x-achse (waagrecht) und einer y-achse (senkrecht). Die einzelnen Punkte im Koordinatensystem werden durch zwei Koordinaten angegeben. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung O(0/0). Beispiel 1.1: a) P(/) ist der Punkt mit dem x-wert und dem y-wert (also vom Ursprung aus zwei nach rechts und nach oben). b) Ein Punkt Q(x/0) liegt immer auf der x-achse, da der y-wert Null ist. c) Ein Punkt R(0/y) liegt immer auf der y-achse, da der x-wert Null ist. Quadranten/Felder im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in 4 Felder auf, die gemäß der Abbildung durchnummeriert sind:

14 Einführung in die Funktionen Eine Funktion kann man in unterschiedlicher Form darstellen: als Funktionsterm: f(x) = x x als Wertetabelle: x y Die x-werte sind in der Wertetabelle beliebig vorgegeben. Die y-werte erhält man durch Einsetzen der x-werte in die Funktionsgleichung. Beispiel für x = -1: f( 1) = ( 1) ( 1) = 1+ 1= Beispiel für x = 1: f(1) = 1 1= 1 1= 0 Der in der Prüfung zugelassene Taschenrechner kann nach Eingabe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle anzeigen. Wie dies bei dem jeweiligen Taschenrechnermodell funktioniert, sollte aus dem Unterricht bekannt sein (oder in der Bedienungsanleitung nachgelesen werden). als Schaubild Bedeutung der Kurzschreibweise f(-1) = 1.) Für den x-wert x = -1 erhält man durch Einsetzen in f(x) den Funktionswert..) Der Punkt A(-1/) liegt auf dem Schaubild von f; A( 1/) Kf.) Die Funktion f nimmt an der Stelle x = -1 den y-wert an. Kommen wir nochmals auf die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge zurück, die weiter oben bereits schon erwähnt wurden. Die Definitionsmenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die man für die Variable x einsetzen darf.

15 Einführung in die Funktionen 4 Beispiel 1.: Wir betrachten die Funktion f(x) = 0,5x + 4 Wir dürfen in die Funktion alle reellen Zahlen für die Variable x einsetzen, z.b. f(0) = 0, oder f(1) = 0, =,5 oder f( ) = 0,5 ( ) + 4= Die Funktion f(x) besitzt die Definitionsmenge D = R. Die Wertemenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die als Funktionswerte (y-werte) angenommen werden können. Um die Wertemenge einer konkreten Funktion zu bestimmen, benötigt man das Schaubild der Funktion. Linkes Schaubild: Die Parabel f(x) = x + 1besitzt als tiefsten Punkt den Scheitelpunkt S(0/1). Die y-werte aller Parabelpunkte sind größer oder gleich 1. Wertemenge W = [1; [ Mittleres Schaubild: Die Gerade g(x) = x+ ist unendlich lang (das heißt Definitionsmenge D = R) und kann alle y-werte annehmen. Wertemenge W = R Rechtes Schaubild: Die Gerade g(x) = x+ beginnt bei x = -1 und endet bei x = (das heißt Definitionsmenge D = [-1;]. Der kleinste y-wert ist 1 und der größte y-wert ist 4. Wertemenge W = [1;4]. Am mittleren und rechten Schaubild erkennen wir, dass die Wertemenge einer Funktion davon abhängig ist, welche Definitionsmenge für die Funktion gewählt wird. Nicht jede Kurve in einem Koordinatensystem stellt das Schaubild einer Funktion dar. Eine Funktion liegt nur vor, wenn jedem x-wert genau ein y-wert zugeordnet werden kann. Falls bei einer Kurve mehrere Punkte "übereinander liegen", liegt keine Funktion vor. Ihr könnt dies so kontrollieren: Eine Kurve ist nur dann das Schaubild einer Funktion, wenn jede senkrechte Gerade maximal einmal die Kurve schneidet.

16 Einführung in die Funktionen 5 Beispiel 1.: Die beiden Schaubilder stellen keine Funktion dar. Beim linken Schaubild (einer liegenden Parabel ) werden einem x-wert zwei y-werte zugeordnet (zum Beispiel besitzt der x-wert 4 die y-werte und -). Beim rechten Schaubild (einer senkrechten Gerade) werden dem x-wert unendlich viele y-werte zugeordnet. Eine Funktion kann natürlich nicht nur abstrakt, sondern auch in konkreten Anwendungen vorkommen. Das heißt, dass sowohl der x-wert als auch der Funktionswert f(x) eine Bedeutung erhalten. Größe, die die Variable x beschreibt Zeit in Stunden Höhe in Meter über Meereshöhe Zeit in Jahren Größe, die die Funktion f(x) beschreibt Temperatur an einem bestimmten Ort in C zum Zeitpunkt x Luftdruck in Hektopascal x Meter über Meereshöhe Anzahl Bevölkerung eines bestimmten Landes Übungsaufgaben Aufgabe 1-1: Formuliere mithilfe der mathematischen Kurzschreibweise: a) An der Stelle 4 hat die Funktion f den Funktionswert 6. b) Durch die Funktion f wird dem x-wert die Zahl -4 zugeordnet. c) Der Punkt P(1/) liegt auf dem Schaubild von f. d) K f schneidet die x-achse in x =. Aufgabe 1-: Begründe, weshalb die Wertetabelle nicht zu einer Funktion gehören kann. x y Aufgabe 1-: Prüfe, welche der Abbildungen das Schaubild einer Funktion f(x) darstellen. Gib von der Abbildung, die eine Funktion darstellt, die Wertemenge an.

17 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 6 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) Bei Aufgaben rund um lineare Funktionen benötigt ihr als wichtiges Werkzeug Methoden zum Lösen von Gleichungen. Wir werden uns daher zunächst in Kapitel.1 mit dem Lösen von linearen Gleichungen beschäftigen, bevor wir uns dann im Kapitel. um die linearen Funktionen selbst kümmern..1 Lösen von linearen Gleichungen Das Lösen von linearen Gleichungen habt ihr bereits in der Mittelstufe gelernt. Daher sollte euch die folgende Lösungsmethode bekannt vorkommen: Zunächst lösen wir alle Klammern auf, die in der Gleichung auftreten. Danach sortieren wir mit +/- Rechnungen alle Ausdrücke mit der Variablen x auf die linke Seite der Gleichung und alle Zahlen ohne x auf die rechte Seite der Gleichung. Zum Schluss dividieren wir die Gleichung durch die Zahl, die an x anmultipliziert ist. Beispiel.1: a) (x+ ) = x 6 Klammer aufl. 6; x x+ 6= x 6 x = 1 : x 6 = b) (x+ 1) (x ) = (x 4) (x 7) x x+ x = x 4x 7x x ; ; 11x 10x = 0 x= Übungsaufgaben Aufgabe -1: Löse die folgenden Gleichungen: a) 0x (5x+ 7) = ( x) b) 5x (8+ 9x) = 1. Geraden zeichnen Eine Funktion, deren Schaubild eine Gerade darstellt, bezeichnen wir als lineare Funktion. Die Funktionsgleichung y= x stellt zum Beispiel eine Gerade in einem Koordinatensystem dar und ist daher eine lineare Funktion. Hinweis: Bei linearen Funktionen verzichtet man häufig auf die Schreibweise f(x) =... sondern schreibt stattdessen y =... Die obige Funktion (Geradengleichung) wird daher meist als y = x- dargestellt, ist aber genau dasselbe wie f(x) = x-. In diesem Buch werde ich bei den Übungsaufgaben beide Schreibweisen verwenden, damit man sich daran gewöhnt. Um mit Geradengleichungen arbeiten zu können, müssen wir wissen, welche Bedeutung die Zahlen besitzen, die in einer Geradengleichung vorkommen. Jede lineare Funktion (Geradengleichung) besitzt die Bauart f(x) = m x+ c b = Schnitthöhe der Gerade auf der y-achse = y-achsenabschnitt m = Steigung der Gerade

18 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 7 Beispiel.: a) Die Gerade y= x+ 4 besitzt die Steigung m = - und den y-achsenabschnitt c = 4. b) Die Gerade y= 5 0,5x besitzt die Steigung m = -0,5 und den y-achsenabschnitt c = 5. (Vorsicht: Hier sind die beiden Terme in der Reihenfolge vertauscht) c) Die Gerade y= x besitzt die Steigung m = 1 und den y-achsenabschnitt c = 0. (wegen y= x= 1 x+ 0) d) Die Gerade y= 6 besitzt die Steigung m = 0 und den y-achsenabschnitt c = 6. (wegen y= 6= 0 x+ 6) Ist eine Gerade in ein Koordinatensystem bereits eingezeichnet, können wir die Steigung dieser Gerade anschaulich anhand des Steigungsdreiecks bestimmen. Hierzu wählen wir zwei beliebige Punkte auf der Geraden und verbinden sie gemäß der folgenden Abbildung durch eine waagrechte und senkrechte Strecke. senkrechte Strecke Steigung der Gerade = waagrechte Strecke Läuft die Gerade "aufwärts" wie die Gerade h, ist die Steigung positiv: m= 4 Läuft die Gerade "abwärts" wie die Gerade g, 1 ist die Steigung negativ: m= = 1 1 Verläuft eine Gerade waagrecht (parallel zur x-achse), so besitzt diese die Steigung m = 0. Der y-achsenabschnitt der Gerade g ist c = -1, da die Gerade g die y-achse im Punkt P(0/-1) schneidet. Gleichung von g: y= x 1 Der y-achsenabschnitt der Gerade h ist c = 1, da die Gerade h die y-achse im Punkt R(0/1) schneidet. Gleichung von h: y= x+ 1 4 Hinweis: Eine senkrechte Gerade (parallel zur y-achse) ist gemäß Beispiel 1. keine Funktion. Sie hätte eine unendlich große Steigung, weshalb eine senkrechte Gerade nicht durch den Term y= m x+ c dargestellt werden kann. Die senkrechte Gerade in Beispiel 1. hat die Geradengleichung x =. Zeichnen einer Geraden anhand einer gegebenen Geradengleichung y= mx+ c 1.Schritt: Markiere im Koordinatensystem den Punkt (0/c) auf der y-achse..schritt: Falls die Steigung m keine Bruchzahl ist, schreibe sie als Bruchzahl um.,5 5 (z.b. aus m = wird m= oder aus m =,5 wird m= = ) 1 1.Schritt Gehe vom Punkt (0/c) auf der y-achse mit dem Nenner der Steigungszahl nach rechts und mit dem Zähler nach oben (bei positiver Steigung) oder nach unten (bei negativer Steigung) und markiere den Zielpunkt. 4.Schritt: Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden

19 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 8 Beispiel.4: Zeichne die Geraden g: y= x 1und h: 1 y= x+ in ein Koordinatensystem ein. Gerade g: Es ist c = -1, also ist Schnittpunkt mit der y-achse B(0/-1) Da m= ist, vom Punkt B aus ein Steigungsdreieck einzeichnen ( nach rechts und nach unten) und den Endpunkt D markieren. Anschließend B und D verbinden. Gerade h: Es ist c = 0,5, also ist Schnittpunkt mit der y-achse A(0/0,5) Da m= = ist, vom Punkt A aus ein Steigungsdreieck einzeichnen (1 nach rechts und 1 nach oben) und den Endpunkt C markieren. Anschließend A und C verbinden. Übungsaufgaben Aufgabe -: Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem ein: a) g: y = x ; h: y= (x+ 1) b) g: y = x ; h: y= x+ 5. Punktprobe und Schnittpunkte Die in diesem Unterkapitel dargestellten Berechnungsmethoden gelten auch für alle anderen Funktionstypen (wie zum Beispiel Quadratische Funktionen oder Exponentialfunktionen)...1 Punktprobe Mit Hilfe einer Punktprobe können wir rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Punkt auf dem Schaubild einer Funktion liegt. Hierzu setzt man die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Entsteht hierbei eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Schaubild. Ergibt sich eine falsche Aussage, liegt der Punkt nicht auf dem Schaubild.

20 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 9 Beispiel.5: Gegeben ist die lineare Funktion y= x Prüfung, ob der Punkt P(7/) auf dem Schaubild von f liegt: Einsetzen von x = 7 und y= in den Funktionsterm: = 7+ 1 = 7 Es entsteht eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt P auf dem Schaubild der Gerade. Prüfung, ob der Punkt R(-7/0) auf dem Schaubild von f liegt: Einsetzen von x = -7 und y= 0 in den Funktionsterm: 0 = ( 7) + 1 0= 1 7 Es entsteht eine falsche Aussage, somit liegt der Punkt R nicht auf dem Schaubild der Gerade. Ist von einem Punkt nur eine Koordinate gegeben und soll der Punkt auf dem Schaubild einer gegebenen Funktion liegen, wird bekannte Koordinate des Punktes in den Funktionsterm eingesetzt und die unbekannte Koordinate berechnet. Beispiel.6: a) Der Punkt P(4/y) liegt auf der Geraden y= x 1. Bestimme den y-wert von P. Der y-wert von P lautet y= 4 1= 11 also P(4/11) b) Der Punkt Q(x/5) liegt auf der Geraden y= x. Bestimme den x-wert von Q. Einsetzen des y-wertes in die Gerade: 5= x x = 8 x = 4 also Q(4/5).. Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-achse: Ein Punkt auf der y-achse hat immer den x-wert 0, also die Gestalt M(0/y), Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man einfach für die Variable x die Zahl 0 ein und berechnet den y-wert. Schnittpunkt mit der x-achse / Nullstelle Ein Schnittpunkt mit der x-achse hat immer die y-koordinate 0, also die Gestalt N(x/0). Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man für die Variable y (bzw. für den Term f(x)) die Zahl 0 ein und löst die Gleichung nach x auf (gemäß den Regeln aus Kapitel.1) Unter einer Nullstelle versteht man den x-wert des Schnittpunktes mit der x-achse. Ist nur nach einer Nullstelle gefragt, genügt es, den x-wert hinzuschreiben und nicht die Punktkoordinaten. Beispiel.7: Berechne die Schnittpunkte des Schaubildes von y = x 6 mit den Koordinatenachsen. Schnittpunkt mit der y-achse: Setze x = 0: y= 0 6= 6 M(0/ 6) Schnittpunkt mit der x-achse: Setze y = 0: 0= x 6 x= 6 x= Der Schnittpunkt mit der x-achse lautet N(/0). Die Nullstelle ist x =.

21 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 10.. Schnittpunkt von zwei Geraden Mit den folgenden Schritten kann man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen. Hierzu müssen die Gleichungen der linearen Funktionen vorliegen. 1.Schritt: Funktionsgleichungen gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach x auflösen. Damit erhalten wir die Schnittstelle (x-wert des Schnittpunktes)..Schritt: Die berechnete Schnittstelle aus dem 1.Schritt in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den y-wert des Schnittpunktes zu berechnen. Beispiel.8: Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g: y= x+ 1und h: y= x Schritt: Gleichsetzen der Funktionen: x+ 1= x+ 4 x= x= 1 Die Schnittstelle der beiden Geraden ist bei x = 1..Schritt: Einsetzen von x = 1 in die Gleichung von g: y= 1+ 1= Der Schnittpunkt der Geraden hat die Koordinaten S(1/). Übungsaufgaben Aufgabe -: WTR, MH Gegeben ist die Funktion f(x) = x. 14 a) Entscheide rechnerisch, ob die Punkte P(6/1), Q( / ), R(/0) auf dem Schaubild von f oder oberhalb oder unterhalb liegen. b) Für welchen Wert von a liegt der Punkt S(9/a) auf dem Schaubild von f? 1 c) Berechne die Stelle x, so dass f(x) = ist. d) Berechne die Nullstelle der Gerade. Aufgabe -4: WTR, MH Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Gerade mit den Koordinatenachsen: 7 a) y= 4x,5 b) f(x) = x Aufgabe -5: WTR, MH Gegeben sind die Funktionen g und h. Bestimme sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Geraden. a) 5 g(x) = x+ und h(x) = x 1 b) 4 g(x) = x 1 und 1 h(x) = x 4 6 ( )

22 Musterlösungen Kapitel 1 1 Musterlösungen Kapitel 1 (Lösungen werden nicht ausgedruckt, sondern durch pdf-dateien zur Verfügung gestellt) Aufgabe 1-1: a) f(4) = 6 b) f() = 4 c) f(1) = d) f() = 0 Aufgabe 1-: Dem x-wert x = werden zwei verschiedene y-werte y = und y = 4 zugeordnet. Bei einer Funktion darf jedem x-wert nur genau ein y-wert zugeordnet werden. Daher gehört die Wertetabelle nicht zu einer Funktion. Aufgabe 1-: Linkes Schaubild: Keine Funktion, da allen x-werten zwischen 0 und jeweils zwei y-werte zugeordnet werden. Mittlere Schaubild: Keine Funktion, da z.b. dem x-wert x = 0 zwei y-werte y = -1 und y = 1 zugeordnet werden. Rechtes Schaubild: Dies ist eine Funktion, da jedem x-wert genau ein y-wert zugeordnet wird.