Lösungsblatt zur Testklausur Festkörperphysik WS2010/11

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1 Lösungsbltt zur Testklusur Festkörperphysik WS/ Aufgbe : ) Wie groß sind die Energien der drei niedrigsten Zustände in einem zweidimensionlen und einem dreidimensionlen Kstenpotentil? (Kntenlängen jeweils l) b) Wie hoch ist die Entrtung dieser Zustände, d.h. wieviele verschiedene Zustände gibt es jeweils zu einer Energie? ) Die mximle Wellenlänge im Kstenpotentil und der dzugehörige minimle Wellenvektor ist: λ mx = l k min = π l Erlubt sind in jeder Rumrichtung Vielfche von k min, d.h k = nk min mit n =,, 3... Die Energien sind E = h m k = h ( k m x + ky) h ( π ) ( = n x + n m l y) (D) = h ( k m x + ky + kz) h ( π ) ( = n x + n y + n m l z) (3D) Dmit luten die Energien (multipliziert mit h /8ml ): n E D (,),(,),(,),5,8 3D (,,),(,,),(,,) 3,6,9 b) Die Entrtung für die Zustände ist: ( Punkte) E n Entrtung D (,) 5 (,),(,) 8 (,) 3D 3 (,,) 6 (,,),(,,),(,,) 3 9 (,,),(,,),(,,) 3 (nur die drei energetisch tiefsten Zustände zu nennen wäre uch eine gültige Antwort) ( Punkte)

2 Aufgbe : ) Nennen Sie einen Stz primitiver Gittervektoren für ein bcc-gitter mit Kntenlänge der kubischen Einheitszelle. b) Zeigen Sie, dss diese Vektoren wirklich primitiv sind (Volumen!). c) Berechnen Sie die zugehörigen reziproken Gittervektoren. ) Z.B. = ; = ; 3 = / / / b) Ds Volumen der drus gebildeten Einheitszelle ist: / V = ( 3 ) = / 3 = 3 Die kubische Einheitszelle enthält Gitterpunkte; die us, und 3 gebildete Zelle enthält lso einen Gitterpunkt und ist dmit primitiv. Die gewählten Gittervektoren müssen dmit uch primitiv sein. ( Punkte) c) Es ist b = π( 3 )/V = 4π b = π( 3 )/V = 4π b3 = π( )/V = 4π / / / /

3 Aufgbe 3: Wir betrchten die Ebene in einem kubisch rumzentrierten Gitter (mit Kntenlänge der kubischen Einheitszelle), welche durch die Punkte (,,), (,,) und (,,/) verläuft. ) Wie luten die Miller-Indizes der dzugehörigen Ebenenschr? b) Wie groß ist der Abstnd der Ebenen? c) Wie lutet der dzugehörige reziproke Gittervektor? d) Welche Länge ht dieser Vektor? ) Die gennnte Ebene verläuft durch den Ursprung; die erste dzu prllele Ebene in negtiver x-richtung schneidet die x-achse bei -, die y-achse bei und die z-achse gr nicht. Die Millerindizes sind lso: (h, k, l) = ( /, /, / ) = (,, ) b) Der Ebenenbstnd ist: d = h + k + l = c) Der zu der Ebenenschr gehörige reziproke Gittervektor G (für den exp(ig r) = überll uf den Ebenen gilt) ist G = π h k = π l d) Die Länge des Vektors ist: G = π (der reziproke Gittervektor steht senkrecht uf den durch ihn beschriebenen Ebenen; seine Länge ist π/d)

4 Aufgbe 4: Ein bcc Kristll mit einer Kntenlänge =6Å der kubischen Einheitszelle wird mit Röntgenlicht der Wellenlänge λ=7.5å bestrhlt. ) Nennen Sie lle reziproken Gittervektoren, die (bei entsprechender Orientierung des Kristlls) zur elstischen Beugung beitrgen können. b) Wählen Sie einen dieser Vektoren us, und geben Sie ein Pr von Wellenvektoren und n, welches für dieses die Beugungsbedingung erfüllt. ) Bei der elstischen Beugung gilt k = G, lso G k lso D hier λ =.5 ist, gilt π h + k + l π λ h + k + l.56 Dies ist im fcc-gitter (ds reziproke Gitter des bcc-gitters im Ortsrum) nur erfüllt für: (h, k, l) = (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ) ( Punkte) Die trivile Lösung (,,) knn mn uch nennen, wenn mn will; diese beschreibt den Fll, dss keine Beugung stttfindet. b) Z.B. Dnn gilt G = π ; k = π (/λ) k k = G ; k = π (/λ) ( Punkte)

5 Aufgbe 5: ) Leiten Sie die Formeln für den Fermi-Wellenvektor und die Fermi-Energie für ein zweidimensionles Elektronengs mit Flächendichte η (Elektronen pro Fläche) her? (Tip: beginnen Sie mit der Zustndsdichte im k-rum) b) Wie verändern sich k F und E F, wenn sich die Flächendichte verdoppelt? ) Wir betrchten ( einen ) qudrtischen Ausschnitt mit Kntenlänge L. Die erlubten k-vektoren sind nx k = π/l ; im k-rum besetzt lso jeder erlubte Zustnd eine Fläche von (π/l). n y Die Zhl der Elektronen im Ausschnitt ist N e = ηl ; je zwei besetzen einen k-zustnd. Bei T= wird im k-rum eine Kreisscheibe besetzt mit Rdius k F ; für die Zhl der drin enthltenen Zustände gilt: N k = πk F (π/l) = N e = η L lso Die dzugehörige Fermi-Energie ist k F = πη E F = h m k F = h m πη (3 Punkte) b) Bei Verdopplung der Dichte nimmt k F um einen Fktor und E F um einen Fktor zu. (Bemerkung: die Herleitung nimmt für die Bestimmung der k periodische Rndbedingungen n und dmit Wellenfunktionen der Form exp(ikx) n, d mn einen virtuellen Ausschnitt betrchtet, n dessen Rnd die Wellenfunktionen nicht unbedingt den Wert Null hben müssen. Geht mn dgegen von den in Aufgbe verwendeten hrten Rndbedingungen eines Potentils mit unendlich hohen Wänden us, und dmit Wellenfunktionen der Form sin(kx) bzw. cos(kx), bekommt mn k min = π/l, lso eine Fläche pro Zustnd von (π/l) und scheinbr ein nderes Ergebnis. D ber bei trigonometrischen Funktionen (im Gegenstz zur Exponentilfkt.) Zustände mit k und - k nicht liner unbhängig sind, zählen nur positive k-werte (ein Viertel der Kreisscheibe). Die Gesmtzhl der Zustände ist dnn N k = πkf /4(π/L), lso genu wie oben. Es ergeben sich dmit dieselben Werte für k F und E F ). ( Punkte)

6 Aufgbe 6: Wir betrchten eine linere Kette us drei Atomsorten (mit streng periodischer Abfolge usw.); der Abstnd benchbrter Atome sei, die Federkonstnte der Bindungen D. ) Wie groß ist die Einheitszelle, wenn lle Atome die gleiche Msse hben (und dmit ls identisch ngesehen werden können), wie groß bei verschiedenen Mssen? Wie groß ist die. Brillouinzone in beiden Fällen? b) Schreiben sie die gekoppelten Differentilgleichungen für die Auslenkung der drei Atomsorten uf. c) Skizzieren Sie (ohne sie zu berechnen!) den Verluf der Phononendispersionskurven für identische, für nur sehr wenig verschiedene und für deutlich verschiedene Mssen (zumindest für die beiden ersten Fälle ist der Verluf eindeutig) ) Größe der Einheitszelle: (lle Atome gleich); 3 (Atome verschieden) Größe der. Brillouinzone: diese ist ds Intervll im k-rum [ π/, π/] (lle Atome gleich); [ π/3, π/3] (Atome verschieden). Die Ausdehnung ist lso π/ und π/3. b) Wenn u in die Auslenkung des i-ten Atoms in der n-ten Einheitszelle beschreibt, luten die Differentilgleichungen: m ü n = D(u n u n ) D(u n u 3(n ) ) m ü n = D(u 3n u n ) D(u n u n ) m 3 ü 3n = D(u (n+) u 3n ) D(u 3n u n ) c) Bei fst identischen Mssen bleibt die Dispersionfunktion der lineren Kette ( 4D/m sin k/) gleich und wird nur in die uf ein Drittel geschrumpfte. Brillouinzone geschoben, d.h. hier erhält mn drei Zweige (ndere Begründung: eine dreitomige Bsis ht drei Freiheitgrde, lso erhält mn drei Moden). Bei deutlich verschiedenen Mssen splten die Dispersionskurven strk uf, d.h. die Entrtung der Zweige bei k= und π/ wird deutlich ufgehoben. ω(k) fst ident. Mssen ident. Atome verschiedene Mssen π/3 π/ k

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