Institut für Produktion und Industrielles Informationsmanagement. Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis

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1 Institut für Produktion und Industrielles Informationsmanagement Universität Duisburg-Essen / Campus Essen Fachbereich 5: Wirtschaftswissenschaften Universitätsstraße 9, Essen Tel.: (0) 201 / Fax: (0) 201 / Arbeitsbericht Nr. 26 Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis Dipl.-Wirt.Inf. Frank Siemens frank.siemens@frasie.de Internet: ISSN Essen 2005 Alle Rechte vorbehalten.

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84 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis Anhang 73

85 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 74 Inhaltsverzeichnis Anhang Symbolverzeichnis Anhang...74 Abbildungsverzeichnis Anhang Tabellenverzeichnis Anhang Anhang 1: Ertragsgebirge im 2-Input / 1-Output-Fall Anhang 2: Herleitung Primal / Dual des CCR-Modells Ersetzungen Umformung...81 Anhang 3: Mathematische Modellformulierungen Bezeichnungen:...83 CCR BCC Additives Basis-Modell Range Adjusted Measure (RAM) Variant Multiplicative Modell (VarMult) Invariant Multiplicative Modell (InvMult)...88 FDH Anhang 4: Translationsinvarianz...90 Beispiel Add-Modell Übertragung der Translationsinvariants des Add-Modells auf die Einheitenunabhängigkeit des InvMult-Modells...91 Anhang 5: Anzahl radial effizienter DMUs bei verschiedenen Hüllen im Vergleich...92 Anhang 6: Das Vorgehensmodell im Überblick Anhang 7: Eigenschaften der DEA-Modelle Symbolverzeichnis Anhang (Ergänzung zum Symbolverzeichnis des Hauptteils) a c Anzahl der Restriktionskonstanten des Primals (Duals) / Anzahl der Zielfunktionskoeffizienten des Duals (Primals) Anzahl der Zielfunktionskoeffizienten des Primals (Duals) / Anzahl der Restriktionskonstanten des Duals (Primals) Anzahl der DMUs (anstelle von p) pt Variable in der Standardform Primal (Dual) qs Variable in der Standardform Dual (Primal) s Index für die Standardformen Primal / Dual t Index für die Standardformen Primal / Dual α Restriktionskoeffizienten der Standardformen Primal / Dual βs Restriktionskonstante des Primals (Duals) / Zielfunktionskoeffizient des Duals (Primals) Zielfunktionskoeffizient des Primals (Duals) / Restriktionskonstante des Duals (Primals) b δt

86 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 75 Abbildungsverzeichnis Anhang Abbildung 1: Ertragsgebirge im 2-Input/1-Output-Fall Abbildung 2: Effizienzhüllen im Vergleich Abbildung 3: Vorgehensmodell zur DEA-Modell-Auswahl im Überblick Abbildung 4: Phase 1 - Grundsätzliche Eignung für die DEA?...92 Abbildung 5: Phase 2 - DEA-Modellauswahl Abbildung 6: Phase 3 - Präferenzen, Modifikationen und Überprüfungen Tabellenverzeichnis Anhang Tabelle 1: Primal/Dual-Umformungsvorschriften Tabelle 2: Verschiedene Eigenschaften der DEA-Modelle...97

87 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 76 Anhang 1: Ertragsgebirge im 2-Input / 1-Output-Fall Abbildung 1: Ertragsgebirge im 2-Input/1-Output-Fall In Anlehnung an DYCKHOFF (2003) S. 58 Abbildung 1 zeigt ein Beispiel für eine dreidimensionale Technologie mit den beiden Inputs x1 und x2 sowie dem Output y. Bspw. ist ein Schnitt bei y=50 durch den waagerechten, dickeren Strich angedeutet. Dieser gibt die Isoquante bei konstantem Output an.

88 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 77 Anhang 2: Herleitung Primal / Dual des CCR-Modells Ausgangspunkt ist das in Kapitel definierte Modell. Angenommen es sind c DMUs, für jede DMU k (k=1,..., c) gibt es m Inputs: x1,k,..., xm,k oder als Vektor: Xk n Outputs: y1,k,..., yn,k oder als Vektor: Yk Input-Koeffizienten: v1,k,..., vm,k oder als Vektor: Vk Output-Koeffizienten: u1,k,..., un,k oder als Vektor: Uk den Effizienzwert θk. Dann gilt für die Effizienz (nähere Erläuterungen in Kapitel 2.3) folgendes fraktionale Problem FP0 für alle p DMUs zu lösen (k = 1,..., p): n u y u y... un,0 y n,0 max k = 1,0 1,0 2,0 2,0 = v 1,0 x 1,0 v 2,0 x 2,0... v m,0 x m,0 ut,0 y t,0 t=1 m v s,0 x s,0 = U0 Y 0 V 0 X0 (1) s=1 unter den Bedingungen: n u1,0 y 1, k u2,0 y 2, k... un,0 y n,k = v 1,0 x 1, k v 2,0 x 2, k... v m,0 x m, k ut,0 y t, k t=1 m v s,0 x s, k = U0 Y k 1 V0 Xk für alle k=1,..., c (2) s=1 u j,0 0 für alle j=1,..., n (3) v i,0 0 für alle i=1,..., m (4) Daraus kann mit den Koeffizientenvektoren V'0 (= v'1,0,...,v'm,0) und U'0 (= u'1,0,..., u'n,0) das folgende lineare Programmierungsproblem LP0 gebildet werden: max 0=U '0 Y 0 (5) unter den Bedingungen: V '0 X 0=1 (6) U '0 Y k V '0 X k V '0 X k U '0 Y k 0 für allek=1,..., c (7) u ' j,0 0 für alle j=1,..., n (8) v 'i,0 0 für alle i=1,...,m (9) Die optimale Lösung für θ* hat unendlich viele optimale Lösungen für V0* und U0*. Die optimale Lösung von θ'* mit V'0*und U'0* von LP0 ist eine der unendlich vielen optimalen Lösungen für V0* und U0* von FP0, bei gleichem (optimalen) θ*-wert: Durch Normierung des virtuellen Inputs auf 1 (Gleichung (6)) ergibt sich die Gleichung (5). Die Gleichung (7) ergibt sich durch die Multiplikation von V0Xk mit Gleichung (2), da durch Xk 01) und auf Grund der Gleichung (6) mindestens die DMU k=0 zu V'Xk > 0 führt. Eine optimale Lösung für θ* aus (1) ändert sich nicht, wenn der Bruch der rechten Glei1) Ein xi,k für jedes k ist strikt größer 0.

89 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 78 chungsseite durch einen Faktor erweitert wird. Durch die Normierung auf V'0X0 = 1 (6), ist die Lösung aus den Gleichungen (5) bis (9) eine der optimalen Lösungen aus den Gleichungen (1) bis (4) bei gleichem θ*. CHARNES/COOPER/RHODES benutzten nun die Dualtheorie, um LP0 in ein duales Problem zu überführen2). Bei der Dualtheorie3) geht es darum, dass ein lineares Programmierungs-/Optimierungsproblem (Primal) durch bestimmte Vorschriften in ein sog. duales Problem (Dual) umgewandelt werden kann, welches ebenfalls einem linearen Programmierungs-/Optimierungsproblem entspricht. Die Bezeichnungen Primal und Dual hängen jedoch von der Betrachtungsweise ab. Das Fundamentaltheorem4) der Dualtheorie sagt aus, dass, falls Primal und Dual eine zulässige Lösung haben, so besitzen sie jeweils eine optimale Lösung, deren Zielfunktionswert gleich ist. Im Folgenden wird der θ-wert weggelassen, da er als neue (und einzige) Zielfunktionsvariable im Dual eingeführt wird und so im Optimum auch dem Zielfunktionswert des Primals entspricht. Folgende Standardformen werden zu Grunde gelegt: min K max G =p1 1 p pb b Primal (Dual): p1 s,1 p2 s,2... pb s,b= s p t 0 s=1,..., a t=1,..., b max G min K =q1 1 q qa a Dual (Primal): q1 1, t q2 2, t... qa a, t = t t=1,...,b qs unbeschränkt s=1,..., a (10) (11) Die Vorschriften zur Umformung sind in Tabelle 1 wiedergeben: Primal (Dual) Dual (Primal) 1. Zielfunktionsminimierung Zielfunktionsmaximierung 2. b Zielfunktionskoeffizienten δt b Restriktionskonstanten δt 3. a Restriktionskonstanten βs a Zielfunktionskoeffizienten βs 4. a mal b Restriktionskoeffizienten αst a mal b Restriktionskoeffizienten αst 5. s -te Nebenbedingung als qs 0 6. s -te Nebenbedingung als qs 0 7. s -te Nebenbedingung als = qs unbeschränkt 8. pt 0 t-te Nebenbedingung als 9. pt 0 t-te Nebenbedingung als 10 pt unbeschränkt t-te Nebenbedingung als = Tabelle 1: Primal/Dual-Umformungsvorschriften Quelle: WEBER (1973) S. 9 2) 3) 4) Vgl. CHARNES/COOPER/RHODES (1978) S In Anlehnung an W EBER (1973) S: 7 ff. Vgl. W EBER (1973) S. 12 f.

90 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 79 Im Folgenden werden die in Klammern gesetzten Bezeichnungen für Primal und Dual benutzt. Aus den Gleichungen (5) bis (9) ergibt sich: max U0 Y 0 (12) unter den Bedingungen: V 0 X 0=1 (13) V 0 X k U0 Y k 0 für allek=1,...,p (14) u j,0 0 für alle j=1,..., n (15) v i,0 0 für alle i=1,..., m (16) Ersetzungen Die Gleichung (12) (ausgeschrieben und um die Koeffizienten v1 bis vm und die Variable z ergänzt die Nullen wurden zum besseren Verständnis mit einem Index versehen): max u1 y 1,0... u1 y n,0 v v m 0m z 0m 1 Um die oben aufgeführten Bezeichner der Gleichungen (10) und (11) zu verwenden, werden die folgenden Ersetzungen vorgenommen: u1 bis un q1 bis qn v1 bis vm qn+1 bis qn+m, z qn+m+1 während y1,0 bis yn,0 β1 bis βn 01 bis 0m βn+1 bis βn+m 0m+1 βn+m+1 entspricht: max q1 1 q qn 1 n 1 qn 2 n 2... qn m 1 n m 1 (17) somit: a = m+n+1 Durch Ersetzung von x1,0 bis xm,0 αn+1,1 bis αn+m,1 folgt auf Grund von Gleichung (13) (ausgeschrieben) v 1 x 1,0... v m x m,0=1 die folgende Nebenbedingung: qn 1 n 1,1... qn m n m,1= 1, wobei 1,1 bis n,1 und n m 1,1 =0 (18)

91 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 80 Durch Ersetzung von y1,1 bis yn,1 α1,2 bis αn,2... y1,c bis yn,c α1,c+1 bis αn,c+1 -x1,1 bis -xm,1 αn+1,2 bis αn+m,2... -x1,c bis -xm,c αn+1,c+1 bis αn+m,c+1 01 bis 0c αn+m+1,2 bis αn+m+1,c+1 in den (ausgeschriebenen) Gleichungen aus (14) (wieder um die Variable z ergänzt): u1 y 1,1... un y n,1 v 1 x 1,1... v m x m,1 z u1 y 1, c... un y n, c v1 x 1, c... v m x m, c z 0c 0 folgen somit die Nebenbedingungen q1 1, 2... qn n,2 qn 1 n 1,2... qn m n m,2 qn m 1 n m 1, (19) q1 1, c 1... qn n, c 1 qn 1 n 1, cp 1... qn m n m, c 1 qn m 1 n m 1, c 1 c 1 somit: b=p+1 Die Gleichungen (15) und (16) inklusive der neu eingeführten Variable z: u j 0 für alle j=1,..., n v i 0 für alle i=1,...,m z unbeschränkt (20) entsprechen somit den folgenden Nebenbedingungen: q qn 0 qn qn m 0 qn m 1 unbeschränkt (21)

92 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 81 Umformung Die oben aufgeführten Anweisungen der Umformung eines Primals5) in ein Dual ergeben Folgendes: Die b Restriktionskonstanten δt werden zu den Zielfunktionskoeffizienten (Vorschrift 2) und die Maximierung wird zur Minimierung (Vorschrift 1)6): min p pb b (22) Die oben eingesetzten Variablen ergeben dann als Zielfunktion des Primals: min p1 1 p pb 1 min p1 (23) Auf Grund von Vorschrift 10 und 8 ergeben sich die folgenden Nebenbedingungen bei der Vereinbarung: p1 und p2 bis pb werden als θ und λ1 bis λc benannt.: p1 unbeschränkt p pb 0 c (24) Die a Zielfunktionskoeffizienten βs werden zu den Restriktionskonstanten (Vorschrift 3): 1... a (25) aus Vorschrift 5 wird somit 1... a 1 = a (26) Zusammen mit den Restriktionskoeffizienten aus Vorschrift 4 ergibt sich: 1,1 p1... 1, b pb 1... a 1,1 p1... a 1,b pb a 1 a,1 p1... a,b pb= a (27) und somit: 1,1 p1... 1, b pb 1... n,1 p1... n, b pb n n 1,1 p1... n 1,b pb n 1... n m,1 p1... n m,b pb n m n m 1,1 p1... n m 1, b pb= n m 1 5) 6) (28) Es sei hier noch einmal daran erinnert, dass die in der Tabelle in Klammern gesetzten Bezeichnungen für Primal und Dual benutzt werden. Die jeweiligen Vorschriften ergeben sich aus der Tabelle 1.

93 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 82 Ersetzung von 1,1 bis m n 1,1 : 0 p1 1,2 p2... 1, b pb p1 n,2 p2... n,b pb n x 1,0 p1 n 1,2 p2... n 1, b pb n 1... x m,0 p1 n m,2 p2... n m, b pb n m 0 p1 n m 1,2 p2... n m 1, b pb= n m 1 (29) Ersetzung von 1,2 bis m n 1, b : 0 p1 y 1,1 p2... y 1, c pb p1 y n,1 p2... n, c pb n x 1,0 p1 x n 1,2 p2... x n 1, b pb n 1... x m,0 p1 x n m,2 p2... x n m, b pb n m 0 p1 0 p pb= n m 1 (30) Ersetzung von 1 bis n m 1 : 0 p1 y 1,1 p2... y 1, c pb y 1, p1 y n,1 p2... n, c pb y n,0 x 1,0 p1 x n 1,2 p2... x n 1, b pb 0... x m,0 p1 x n m,2 p2... x n m, b pb 0 0 p1 0 p pb=0 (31) Ersetzung von p1 bis pb (siehe Gleichungen (24)): 0 y 1, y 1, c c y 1, y n, n, c c y n,0 x 1,0 x n 1, x n 1,b c 0... x m,0 x n m, x n m, b c c =0 (32) Zusammenfassung (die letzte Gleichung entfällt, da 0 = 0 immer wahr): c y j,k k y j,0 für alle j=1,..., n k=1 (33) c x i,0 x i, k k 0 für alle i=1,..., m k=1 Gemeinsam mit der Zielfunktion (23) und den anderen Nebenbedingungen aus (24) ergibt sich mit den Gleichungen aus (33) das in Envelopment Form formulierte inputorientierte CCR-Modell - hier als Primal benannt7). 7) Siehe dazu Kapitel und Anhang 3.

94 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 83 Anhang 3: Mathematische Modellformulierungen Bezeichnungen: Folgende Bezeichnungen gelten: Anzahl der DMUs: p für jede DMU k (k=1,...,p) gibt es: m Inputs: x1,k,..., xm,k oder als Vektor: Xk n Outputs: y1,k,..., yn,k oder als Vektor: Yk Input-Koeffizienten: v1,k,...vm,k oder als Vektor: Vk Output-Koeffizienten: u1,k,...un,k oder als Vektor: Uk den Effizienzwert θk (ηk oder Γk) m Inputslacks: sm,k- oder als Vektor Sk- n Outputslacks: sm,k+ oder als Vektor Sk+ Zusätzlich gibt es: m Input-Spannweiten: ri- oder als Vektor R- n Output-Spannweiten: rj+ oder als Vektor R+ Einheitsvektor E, der nur aus Einsen besteht (in entsprechender Anzahl) CCR Ausgangsmodell8): max = u1,0 y 1,0 u2,0 y 2,0... un,0 y n,0 v 1,0 x 1,0 v 2,0 x 2,0... v m,0 x m,0 (34) unter den Nebenbedingungen: u1,0 y 1, k u2,0 y 2, k... un,0 y n, k 1 v 1,0 x 1, k v 2,0 x 2, k... v m,0 x m, k für alle k=1,..., p (35) u j,0 0 für alle j=1,..., n (36) v i,0 0 für alle i=1,..., m (37) Inputorientiertes CCR-Modell9) Umformung zu einem linearen Programmierungsproblem führt zu LP0 ( multiplier form ): max U0 Y 0 (38) unter den Nebenbedingungen: V 0 X 0=1 V 0 X k U0 Y k 0 8) 9) (39) für alle k=1,..., p Vgl. COOPER/SEIFORD/TONE (2000) S. 23. Vgl. COOPER/SEIFORD/TONE (2000) S. 43 ff. (40)

95 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 84 u j,0 0 für alle j=1,..., n (41) v i,0 0 für alle i=1,..., m (42) Umformung zum Dual DLP0 (Envelopment Form) und dem ersten Schritt der skizzierten Lösung: min θ0 (43) unter den Nebenbedingungen: p 0 x i,0 x i, k k 0 für alle i=1,..., m (44) k=1 p y j,k k y j,0 für alle j=1,..., n (45) k=1 k 0 für alle k=1,...,p (46) Schritt 2: Testen auf Slacks mit der Lösung von Schritt 1: m n i=1 j=1 E S0- = si0- und E S+0 = s+j0 max =E S-0 E S+0 (47) unter den Nebenbedingungen p si,0 = 0* x i,0 x i,k k für alle i=1,..., m (48) k=1 p s+j,0= y j, k k y j,0 für alle j=1,..., n (49) k=1 k 0 si,0 0 für alle k=1,..., p für alle i=1,...,m s+j,0 0 für alle j=1,...,n (50) Outputorientiertes CCR-Modell Schritt 1 - Envelopment Form10): max η0 (51) unter den Nebenbedingungen: p x i,0 x i, k k 0 für alle i=1,..., m (52) k=1 p y j,k k y j,0 0 für alle j=1,...,n (53) k=1 k 0 für alle k=1,...,p (54) Schritt 2: Testen auf Slacks mit der Lösung von Schritt 1: max =E S-0 E S+0 m n i=1 j=1 E S0-= si,0 und E S+0 = s+j,0 unter den Nebenbedingungen 10) Vgl. COOPER/SEIFORD/TONE (2000) S. 58. (55)

96 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 85 p si,0 =x i,0 x i, k k für alle i=1,..., m (56) k=1 p s = y j, k k *0 y j,0 + j,0 für alle j=1,..., n (57) k=1 k 0 si,0 0 für alle k=1,..., p für alle i=1,..., m s+j,0 0 für alle j=1,..., n (58) BCC Inputorientiertes BCC-Modell11) (outputorientiertes Modell entsprechend wie bei dem CCR-Modell abändern) Ausgangsmodell: n max u j,0 y j,0 z0 j=1 (59) m vi,0 x i,0 i=1 unter den Nebenbedingungen: n u j, k y j, k z0 j=1 m vi, k x i, k 1 für allek=1,..., p (60) i=1 u j,0 0 für alle j=1,..., n (61) v i,0 0 für alle i=1,..., m (62) z 0 unbeschränkt (63) Envelopment Form, Schritt 1: min θ0 (64) unter den Nebenbedingungen: p 0 x i,0 x i, k k 0 für alle i=1,..., m (65) k=1 p y j,k k y j,0 für alle j=1,..., n (66) k=1 k 0 für alle k=1,...,p (67) p k =1 k=1 Schritt 2 ist entsprechend den Gleichungen (34) bis (35) durchzuführen. 11) Vgl. COOPER/SEIFORD/TONE (2000) S. 88. (68)

97 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 86 Additives Basis-Modell Für jede DMU0 löse folgende Gleichungen12): max E S0- E S+0 (69) unter den Nebenbedingungen p si,0 =x i,0 x i,k k k=1 p s+j,0= y j, k k y j,0 k=1 p x i,k k si,0-=x i,0 für alle i=1,...,m (70) für alle j=1,..., n (71) k=1 p y j, k k s+j,0=y j,0 k=1 p k =1 (72) k=1 k 0 für alle k=1,..., p si,0 0 für alle i=1,..., m s+j,0 0 für alle j=1,..., n (73) Range Adjusted Measure (RAM) Für jede DMU0 ist folgende Gleichung zu lösen (Ri- steht jeweils für die Differenz zwischen dem größten und kleinsten gemessenen Inputwert, Rj+ entsprechend für die Differenz bei den Outputwerten)13): 0 m n s -* s+* 1 i,0- j,0+ 1 m n i=1 R i j=1 R j (74) Dabei ist zu beachten, dass kleinere Werte für eine höhere Effizienz stehen. Der Wert 0 steht für effizient, 1 für maximal ineffizient. Deshalb wurde dieses Ergebnis von 1 subtrahiert und folgende Gleichung eingeführt: 0 =1 m n s-* s+* 1 i,0- j,0+ 1 m n i=1 R i j=1 R j (75) Hierbei ist zu beachten, dass auf Grund der obigen Gleichung keinerlei Nebenbedingungen, Maximierungs- oder Minimierungsanweisungen gegeben sind. Dies ist dadurch begründet, dass das RAM mit verschiedenen Modellen wie z.b. dem CCR- oder BCC-Modell kombiniert werden kann. Eine mögliche Lösung der CCR- bzw. BCC-Modelle kann somit als Grundlage zur Lösung der obigen Gleichung herangezogen werden14). Da so jedoch bestimmte Eigenschaften von RAM verloren gehen können, wird nur noch das RAM-Modell mit der Konvexitätsbedingung betrachtet, die allgemeinere Form wird als RAM-Maß bezeichnet15). Das RAM(-Modell) ist somit mit den gleichen Nebenbedingungen wie denen des Add-Modells wie folgt definiert: 12) 13) 14) 15) Vgl. COOPER/SEIFORD/TONE (2000) S. 91. Vgl. COOPER/PARK/PASTOR (1999) S. 20 ff. Vgl. COOPER/PARK/PASTOR (1999) S. 23 ff. Vgl. COOPER/PARK/PASTOR (2001) S. 147.

98 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang m n si,0 s+j,0 1 min =1 m n i=1 R -i j=1 R +j 87 (76) unter den Nebenbedingungen: p x i,k k si,0-=x i,0 für alle i=1,..., m (77) für alle j=1,..., n (78) k=1 p y j, k k s+j,0=y j,0 k=1 p k =1 (79) k 0 für alle k=1,..., p + si,0 0 für alle i=1,..., m s j,0 0 für alle j=1,..., n (80) k=1 Variant Multiplicative Modell (VarMult) Ausgangsmodell16): n y uj,0 j max j=1 m x i=1 (81) vi i,0 unter den Nebenbedingungen: n y uj, k j,0 j=1 m x i=1 1, für alle k=1,...,p (82) v i,0 i, k u j 1 für alle j=1,..., n v i 1 für alle i=1,..., m (83) Durch Anwendung des Logarithmus ergeben sich die folgenden Gleichungen (Multiplier Form) - (das ^-Symbol steht für den jeweiligen logarithmischen Wert der Variable): n m j=1 i=1 max u j,0 y j,0 v i,0 x i,0 (84) unter den Nebenbedingungen: n m j=1 i=1 u j,0 y j, k v i,0 x i, k 0, für alle k=1,..., p u j 1, für alle j=1,..., n v i 1, für alle i=1,..., m 16) Vgl. CHARNES/COOPER/SEIFORD ET AL.(1982) S. 223 f., siehe auch dort zur Herleitung. (85) (86)

99 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 88 Als Dual in Envelopment Form: min E S-0 E S+0 oder max E S-0 E S+0 (87) unter den Nebenbedingungen p x i, k k si,0-= x i,0 für alle i=1,..., m (88) für alle j=1,..., n (89) k=1 p y j,k k s+j,0= y j,0 k=1 k 0 für alle k=1,..., p si,0 0 für alle i=1,..., m s+j,0 0 für alle j=1,..., n (90) Invariant Multiplicative Modell (InvMult) Das InvMult-Modell resultiert in der Erweiterung des VarMult-Modells um die Konvexitätsbedingung (61). Daher folgt für die Envelopment Form17): min E S-0 E S+0 oder max E S0- E S+0 (91) unter den Nebenbedingungen p x i, k k si,0-= x i,0 für alle i=1,..., m (92) für alle j=1,..., n (93) k=1 p y j,k k s+j,0= y j,0 k=1 p k =1 (94) k=1 k 0 für alle k=1,..., p si,0 0 für alle i=1,..., m + s j,0 0 für alle j=1,..., n (95) Somit ist das InvMult-Modell eine Anwendung des Add-Modells auf die logarithmisierten DMUs (log (X), log (Y))18). FDH Inputorientiertes FDH-Modell19) (outputorientiertes Modell entsprechend bei dem CCR-Modell abändern) Envelopment Form: min θ0 unter den Nebenbedingungen: 17) Vgl. CHARNES/COOPER/LEWIN ET AL. (1994) S ) Vgl. CHARNES/COOPER/LEWIN ET AL. (1994) S ) Vgl. TULKENS (1993) S. 187 f. (96)

100 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 89 p 0 x i,0 x i, k k 0 für alle i=1,..., m (97) k=1 p y j,k k y j,0 für alle j=1,..., n (98) k=1 p k =1 (99) k=1 k {0,1} für alle k=1,..., p (100)

101 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 90 Anhang 4: Translationsinvarianz Beispiel Add-Modell Die Bezeichner sind dem Anhang 3 entsprechend definiert. Additives Basismodell (siehe Anhang 3): max E S0- E S+0 (101) unter den Nebenbedingungen p si,0 =x i,0 x i,k k k=1 p s = y j, k k y j,0 + j,0 k=1 p x i,k k si,0-=x i,0 für alle i=1,...,m (102) für alle j=1,..., n (103) k=1 p y j, k k s+j,0=y j,0 k=1 p k =1 (104) k=1 k 0 für alle k=1,..., p si,0 0 für alle i=1,..., m s+j,0 0 für alle j=1,..., n (105) Seien nun wi und zj beliebige (positive) Werte (für alle i = 1,..., m und j = 1,..., n), so gibt es einen Vektor W mit m wu's und einen Vektor Z mit n zj's, so dass gilt: Xk' = Xk + W und Yk' = Yk + Z, somit gilt auch X0' = X0 + W und Y0' = Y0 + Z Anstelle von X,Y und X0,Y0 werden nun die X',Y' und X0',Y0' in die Gleichungen (101) bis (102) eingesetzt: p x 'i, k k si,0-=x 'i,0 für alle i=1,..., m (106) k=1 p y ' j, k k s+j,0=y ' j,0 für alle j=1,..., n k=1 (107) Aus (106) und (107) folgt: p x i,k wi k si,0-=x i,0 wi für alle i=1,..., m (108) k=1 p y j,k z j k s+j0=y j,0 z j für alle j=1,..., n k=1 (109) Aus (108) und (109) folgt: p x i, k k w i k si,0-=xi,0 wi für alle i=1,..., m k=1 p y j, k k z j k s+j; 0=y j,0 z j k=1 (111) für alle j=1,..., n (110)

102 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 91 Aus (110) und (111) folgt: p p k=1 k=1 p p k=1 k=1 x i,k k w i k si;- 0=x i,0 wi y j, k k z j k s+j; 0=y j,0 z j für alle i=1,..., m (112) für alle j=1,..., n (113) Aus (112) und (113) folgt: p p k=1 k=1 p p k=1 k=1 x i,k k w i k si;- 0=x i,0 wi y j, k k z j k s+j; 0=y j,0 z j für alle i=1,..., m (114) für alle j=1,..., n (115) Aus (112), (113) und (104) folgt (da die Summe von λk = 1 und somit auch w i k =w i oder entsprechend z j k =z j ): p x i,k k wi si;- 0=x i,0 wi für alle i=1,..., m (116) k=1 p y j,k k z j s+j0=y j,0 z j für alle j=1,..., n (117) k=1 Durch Subtraktion von wi und zj auf beiden Seiten der Gleichung (105) bzw. (103) werden wieder die ursprünglichen Nebenbedingungen (101) und (102) hergestellt. Damit ist gezeigt, dass unabhängig von der Addition von Konstanten bei den jeweiligen In- und Outputs die Nebenbedingungen und somit auch die optimale Lösung gewahrt werden. Übertragung der Translationsinvariants des Add-Modells auf die Einheitenunabhängigkeit des InvMult-Modells Das InvMult-Modell bezieht sich auf den logarithmisierten20) DMUs: log Xk, log Yk. Auf Grund der Translationsinvariants des Add-Modells folgt, dass auch log Xk+W, log Yk+Z zu den gleichen Lösungen führt. Um so die ursprünglichen DMU-Werte zu berechnen, wird die Exponentialfunktion (Umkehrfunktion zu log (in diesem Falle ln) angewendet: e w1 wm log X k W z1,e log Y k Z = X k e W, Y k ez, wo- zn bei hier e W = e,..., e und entsprechend ez = e,..., e gelten. Somit kann jede beliebige postive, lineare Einheitentransformation mit den Linearfaktoren W' = ew oder entsprechend Z' = ez dargestellt werden. 20) Wie auch im Hauptteil dieser Arbeit wird bei log immer vom Logarithmus Naturalis (ln) ausgegangen.

103 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang 92 Anhang 5: Anzahl radial effizienter DMUs bei verschiedenen Hüllen im Vergleich In Abbildung 221) ist ein vergrößerter Ausschnitt der verschiedenen Hüllen aus dem Beispiel der Abbildung 8, Kapitel wiedergeben. Dieser Fall ist auch bei mehrdimensionalen Inputs/Outputs gültig, da sich die effizienten, mehrdimensionalen Hüllen ebenso zueinander verhalten. Abbildung 2: Effizienzhüllen im Vergleich Eigene Erstellung In dem schraffierten Bereich können DMUs liegen, die unter Annahme der FDH-Hülle effizient sind und somit eine andere FDH-Hülle definieren. Diese blieben jedoch bei VRS (des BCC-Modells) ineffizient. Entsprechendes gilt bei dem Vergleich von CRS und VRS. Hier gibt der gepunktete Bereich die möglichen DMU-Bereiche an, die unter CRS nicht effizient sind, bei VRS jedoch zur Verschiebung des effizienten Randes führen. Der InvMult-Technologierand dagegen verläuft mal unterhalb, mal oberhalb des VRS-Technologierandes, so dass darüber im Vergleich zu VRS keine Aussage getroffen werden kann. Somit gilt für die Anzahl der effizienten DMUs peffizient22): peffizient(crs) peffizient (VRS-BCC/InvMult) peffizient(fdh) Entsprechend gilt für die Anzahl der ineffienten DMUs pineffizient: (CRS) pineffizient(vrs-bcc/invmult) pineffizient(fdh) Pineffizient 21) Die gepunktete Linie ist der CRS-Hüllen-Ausschnitt, die gestrichelte Linie der VRS-Hüllen-Ausschnitt, die durchgezogene gekrümmte Line der InvMult-Hüllenausschnitt und die nur waagerecht und senkrecht verlaufende Linie der FDH-Hüllenausschnitt. 22) Vgl. bspw. W EI/YAN (2004) S. 648.

104 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang Anhang 6: Das Vorgehensmodell im Überblick Abbildung 3: Vorgehensmodell zur DEA-Modell-Auswahl im Überblick 93

105 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang Abbildung 4: Phase 1 - Grundsätzliche Eignung für die DEA? 94

106 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang Abbildung 5: Phase 2 - DEA-Modellauswahl 95

107 Siemens: Vorgehensmodell zur Auswahl einer Variante der Data Envelopment Analysis - Anhang Abbildung 6: Phase 3 - Präferenzen, Modifikationen und Überprüfungen 96