Abb. 1: Eine Stahlkugel fällt auf eine Stahlplatte oder ein Aluminium-Blech (Zeichnung: Skript Ihringer)

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1 Fall, Wurf ud Federkräfte I der Zwischeeit habe Sie die Beriffe Arbeit, potetielle ud kietische Eerie, sowie die Eerieerhaltu keeelert. Wir wolle u eiie Versuche um Thema Fall ud Wurf betrachte, mit dee wir de Uma mit de Newtosche Beweusleichu ud mit de obe eate Beriffe vertiefe wolle. Betrachte wir uächst die Eerieerhaltu beim Fall eier Stahlkuel aus eier Höhe h auf eie Stahlplatte oder eie Alumiiumuterlae (s. Abb. ). h a) Stahlplatte ud b) Alumiium- Blech Abb. : Eie Stahlkuel fällt auf eie Stahlplatte oder ei Alumiium-Blech (Zeichu: Skript Ihrier) Die potetielle Eerie der Kuel i der Höhe h beträt E pot = mh. Die Starteschwidikeit der Kuel ist, daher ist E pot leich der Gesamteerie E. Beim Aufschla ist E pot =, dafür hat die Kuel eie kietische Eerie E ki = mv auf. De Wert der Aufschlaseschwidikeit v auf köe wir uter Beutu der Eerieerhaltu sofort aebe, da währed des esamte Falls E = E pot +E ki = cost. = mh ilt. Wir habe damit beim Aufschla beim Aufschla: E = mv auf = mh, woraus sofort v auf = h folt. Iteressat ist u, was ach dem Aufschla passiert: - Beim Fall auf die Stahlplatte sprit die Kuel aheu wieder auf die Afashöhe h urück; die kietische Eerie kur ach dem Aufschla ist also aheu u roß wie kur vorher; ledilich die Richtu bw. der Impuls der Kuel hat sich umekehrt. Ma spricht i diesem Zusammeha auch davo, dass die Kuel eie elastische Stoß mit der Stahlplatte emacht hat. - Beim Fall auf die Alumiiumplatte bleibt die Kuel eifach liee. Offesichtlich ist die Eerie E der Kuel i der Platte ebliebe (Tatsächlich wurde die Platte beim Aufschla verformt ud schließlich etwas erwärmt). Wir spreche hier vo eiem vollkomme ielastische Stoss.

2 Im ächste Versuch wolle wir u die Fallesete ute, um herausufide, vo welche Höhe wir eie Serie vo N Masse falle lasse müsse, so dass sie i eitleiche Itervalle am Bode aufschlae (s. Abb. ). Die -te Masse befide sich auf der Höhe. Diese Masse beötit u ach de Newtosche Beweusleichue eie Zeit t = /, um am Bode aufuschlae. Wir wolle, dass die Kuel dies i leiche Zeitabstäde auftreffe, d. h. wir verlae t = t. Eisete liefert: = oder =. Das Verhältis / muss also quadratisch awachse. Wir demostriere de Effekt dadurch, dass wir ei Seil vo der Decke falle lasse, a dem i diesem Abstadsverhältis Stahlmutter aebracht sid. Ma hört die Aufschläe i eitleiche Abstäde. Die Eerie der -te Kuel war beim Start E = E pot = m = m, wächst also quadratisch mit. Beim Aufschla ilt: v = =. Die Aufschlaseschwidikeit immt also proportioal u u. N (...) 3 Abb. N fallede Masse

3 Im ächste Versuch verleiche wir de freie Fall ud de waarechte Wurf weier Kuel (s. Abb. 3). Kuel wird aus eier Höhe h =,5 m falleelasse. Zeitleich wird Kuel aus eier Abschussvorrichtu mit eier Starteschwidikeit v =5 m/s waarecht abeschosse. h=,5 m Sekrecht fallede Kuel Kuel mit Afaseschwidikeit v (t=) = 5 m/s Abb. 3 Sekrechter Fall ud waarechter Wurf Ma hört beide Kuel eitleich aufschlae, obwohl Kuel eie weitere We urückelet hat. Wir wolle die Beweu beider Kuel u quatitativ achvolliehe: - Kuel fällt sekrecht heruter, wobei ilt: (t) = h t. Die Falleit beträt t = h /, was für h =,5 m eie Wert vo ca.,55 s eribt. - Kuel wird i -Richtu mit der Gewichtskraft -m beschleuit ud fällt eauso wie Kuel : (t) = h t, Falleit t = h /. Die Beweu i -Richtu ist (ach dem Abschuss) ubeschleuit mit v (t) = v (t=). Ma beachte, hierbei, dass sich isesamt die Beweue i - ud -Richtu überlaer. Die resultierede Bahkurve der Kuel köe wir wie folt bestimme: Für die Beweu i -Richtu ilt: (t) = v (t=) t. Nach t aufelöst ud i (t) eiesett eribt dies: (t) = h ( ) = h v () v () Wie habe also eie parabelförmie Bahkurve. Wir ebe auch och die Eerie ud Geschwidikeite der beide Kuel für t = ud beim Aufschla a: - Kuel hat beim Start E pot = mh, E ki = ud daher eie Gesamteerie E = E pot. Die Geschwidikeit beim Aufschla ist v = v = h, was für h =.5 m eie Wert vo 5.4 m/s eribt. - Kuel hat beim Start E pot = mh, E = ki mv () ud daher eie Gesamteerie E = E pot + E ki = mh + mv (). Beim Aufschla ist E pot = ud E ki = mh + mv = m(v + v ) = m(v () + h). Die Geschwidikeit der Kuel beträt beim Aufschla also v = v () + h ( 7.4 m/s) 3

4 Im ächste Versuch wir die Bahkurve utersuche, die sich beim schräe Wurf eribt, d. h. we ei Massepukt mit eier Afaseschwidikeit v uter eiem Wikel (wie i Abb. 4 eeichet) eworfe wird. A Stelle eies eiele Massepuktes betrachte wir allerdis eie Wasserstahl, der die etsprechede Bahkurve kotiuierlich darstellt. Wasserstrahl Abb. 4 A eiem Wasserstrahl wird die Parabelform für uterschiedliche Richtue des Wurfs, d.h. der Afaseschwidikeit, eeit Zuächst ilt hierbei für die Afaseschwidikeit: v H v() = v v y = v v cos si Die Beweusleichu ist: Hieraus eribt sich: H H H F = m = ma, woraus folt: (t) = y(t) (t) v v cos t si t t a = a y = a = Wir löse (t) ach t auf ud sete i (t) ei: = v si v cos v cos = ta v Wir habe auch hier eie "Wurfparabel" vorliee, die wir u och etwas eauer aalysiere wolle: I Abb. 5 ist uächst die Wurfparabel für de waarechte Wurf, d. h für = eeit. Wir diese Parabel dadurch aus, dass wir eie Reihe vo Stäbe etla der -Achse abrie (s. Abb. 5a). I Abb. 5 b ist eier dieser Stäbe a der Positio eeichet. Die -Koordiate des Wasserstrahls hat hier de Wert /, die Läe des Stabes also de Wert / v v. Ma beachte außerdem, dass ma bei voreebee Stäbe, die i Abstäde cos 4

5 aebracht sid ud die Läe L = a habe, die "richtie" Parabel dadurch eistelle ka, dass ma die Afaseschwidikeit v so wählt, dass a = / v ilt. v (a) (b) Abb. 5: Ei waarecht austreteder Wasserstrahl wird durch eie Reihe vo Stäbe ausemesse. Wir kippe u de Wasserstrahl so, dass v mit der -Achse de Wikel eischließt. Gleicheiti kippe wir die Aufhäuspukte der Stäbe (d. h. die ehemalie -Achse) um de leiche Wikel (s. Abb. 6). si cos v (a) Abb. 6: Der Wasserstrahl ud die Messtäbe aus Abb. 5 werde um de Wikel ekippt. (b) Dabei bekommt der Aufhäuspukt des Stabes bei die eue Koordiate = cos ud = si. Der Wasserstrahl wird a allemei durch die Gleichu () = ta beschriebe. Wir sete hier für de Wert cos ei ud v cos erhalte: ( =. ) ( cos ) ta ( cos) = si v cos v 5

6 Die Läe des Stabes war / v. Der eue Aufhäuspukt liet bei = si. Verleiche wir dies mit obiem Ausdruck für (), so sehe wir, dass das utere Ede des Stabes wiederum die Wasserstrahlparabel berührt. Wir köe also mit usere Stäbe die Wasserstrahlparabel für alle Wikel ausmesse. Geau dies ist i Abb. 6 eeit. Als ächstes wolle wir die Vektoreieschafte vo Kräfte demostriere. Wir betrachte dau ei uächst Stahlseil, das wie i Abb.7 a eeichet wische wei Wäde eiespat ist. I das Seil ist eie Feder eiebaut, die Zukraft im Seil misst. Hät ma u i die Mitte des Seils eie Masse m, so wird das Seil wie i Abb. 7 b eeit um eie Wikel auselekt. Kraftmesser (Feder) Seil F s m F s m (a) Abb. 7: Stahlseil, a das eie Masse m ehät wird. (b) I de beide Hälfte des Seils wirke u die Kräfte F s bw. F s, die wie i Abb. 7b eeit parallel u de Seilstücke erichtet sid. Aus Symmetrierüde sid die Beträe dieser Kräfte leich; F H s = F H s = F s. Nur die Ateile F s si wirke der Gewichtskraft m etee. Wir habe also F s si = m, oder F s = m/( si). Ma beachte hierbei, dass F s für is Uedliche wächst. Wollte wir also das Seil wieder waarecht spae, würde dies icht elie, soder das Seil würde schlicht iredwa reiße. Eie quatitative Auswertu für verschiedee Masse m ist i Tab. aeebe. m [k] [cm] F s / [k] si /L ml/ [k] Tab : Verschiedee Masse m am Stahlseil der Abb. 7. Die Läe des Seils ist L=97.5 cm. Die Ausleku aus der Horiotale ist ; etspreched si /L Die Abb. 8 eit die Fuktio /(si), die das Verhältis F s /m aibt. Für = 9 ist die Fuktio leich /; jede Seilhälfte kompesiert m/. Für eie Wikel vo 3 ist /(si) leich, für 5 bereits

7 /(si) 3 4 [ ] Abb. 8: Fuktio /(si) für Wikel wische ud 9 I eiem weite Versuch betrachte wir die Kräfte, die eie Masse M auf der schiefe Ebee erfährt. Die Ebee ist um de Wikel eeit (s. Abb. 9). Auf M wirkt i - - Richtu die Gewichtskraft M. Die Kraftkompoete sekrecht ur Ebee ist M cos, die Kompoete parallel ur Ebee ist M si (Haabtriebskraft). Die Masse M ist mit eier weite Masse m über eie Umlekrolle verbude. Durch diese Masse wirkt eie Kraft m auf M, die der Taetialkompoete M si eteeerichtet ist. Ma fidet u, dass für das Verhältis M/m = / Kräfteleichewicht herrscht, we = 3 ist, d. h. für si = /. Es sei hier außerdem aemerkt, dass die Kraftkompoete M cos durch die "Zwaskraft" kompesiert wird, die M auf der Auflae, d. h. der schiefe Ebee hält.. Masse M Masse m M si m M M cos Abb. 9: Masse M auf der schiefe Ebee. (aus Skript Ihrier). 7

8 Als ächstes wolle wir Federkräfte eauer diskutiere. Wir hatte Feder bw. Federkräfte ja bereits bei der Eiführu der schwere Masse kur keeelert. Hier hatte wir esehe, dass eie Feder, die durch die Gewichtskraft m belastet war, um eie Stecke edeht wurde, die proportioal ur aehäte Masse m war. Wir köe die Federkraft u etwas eauer fasse: F Feder = C Dies ist das Hooke'sche Geset. Die Kraft, die eie Feder auf eie Massepukt ausübt, wächst proportioal ur Dehu der Feder. Die "Proportioalitätskostate C ist die Federkostate". C m m Abb. : Zum Hookesche Geset Im Kräfteleichewicht ilt also: m = C Parallel- ud Reiheschaltue vo Feder We wir a eie Masse m wei leiche Feder parallel häe, beobachte wir, dass die Ausleku ledilich halb so roß ist wie im Fall eier Feder leicher Federkostate. We wir daee die wei Feder hitereiader häe, da verdoppelt sich die Ausleku (Abb. ). 8

9 / m m Abb. : Parallel- ud Reiheschaltue vo Feder leicher Federkostate C. Vo liks ach rechts: ubelastete Feder; eie Feder mit Masse m belastet; parallele Feder mit Masse m belastet; wei Feder i Reihe mit mit Masse m belastet. m Wir köe auch sae, dass die beide parallele Feder sich wie eie Feder verhalte, die die doppelte Federkostate C hat. Die Reiheaordu der beide Feder etspricht a aalo eier Feder mit der halbe Federkostate C/. Im Fall der parallel eschaltete Feder ilt: F Feder, + F Feder, = m, d. h. C + C = m bw. C = m. Hieraus folt: m = C Wir köe dies auch sofort auf N Feder mit uterschiedliche Federkostate C k (k=..n) verallemeier: N m = C k oder = m /( C ) k= Bei paralleleschaltete Feder summiere sich also die Federkostate der eiele Feder. N k= k 9

10 Im Fall der Reiheschaltu reift a jeder der beide Feder die Kraft m a (ilt auch allemei bei N Feder). Jede der Feder wird also emäß dem Hookesche Geset um = m / auselekt. Die Gesamtausleku beträt k C k N N = k = m. C k= k= k Die Federkostate sid also bei Reiheschaltue reiprok u addiere. Bei wei Feder mit leiche Federkostate C eribt dies + =. C C C Wir wolle um Abschluss och die Eerie eier Feder mit der Federkostate C bereche. We wir die Feder um die ifiitesimale Läe d ausleke, verrichte wir die Arbeit F() d. Bei Ausleku vo auf beträt die esamte Arbeit: W = F d C d = C C = ( ). Diese Arbeit speicher wir (bei Verachlässiu vo Reibuseffekte) als iere Eerie der Feder. Dere Eerie beträt damit E C =, pot ( ) wächst also quadratisch mit der Ausleku.

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