7.1. Aufgaben zu Vektoren

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1 7.. Afgben z Vektoren Afgbe : Vektoren in der Ebene ) Zeichne die folgenden Vektoren ls Ortsvektoren in eine pssende Koordintenebene (x -x -Ebene, x -x -Ebene oder x - x -Ebene) des krtesischen Koordintensystems.,,, b) Gib vier geeignete Vektoren,, 7 nd 8 n, die die Figr s ) z einem Qdrt vervollständigen. c) Berechne die Länge der Vektoren - 8. d) Gib vier geeignete Vektoren,, nd 7 n, die f dem Umkreis des Qdrtes s b) liegen. e) Gib vier geeignete Vektoren, ; nd 8 n, die f dem Inkreis des Qdrtes s b) liegen f) Gib cht Vektoren b,..., b 8 n, die f einem entsprechenden Kreis in der x -x -Ebene liegen. Afgbe : Vektoren im Rm Gegeben sind die Vektoren krtesisches Koordintensystem. nd b. Zeichne die Vektoren, b, c + b nd d b in ein Afgbe : Vektoren im Rm ) Zeichne die folgenden Vektoren ls Ortsvektoren in ein krtesisches Koordintensystem:,,, b) Gib vier geeignete Vektoren,, 7 nd 8 n, die die Figr s ) z einem Rechteck vervollständigen. c) Berechne die Länge der Vektoren - 8. d) Gib vier geeignete Vektoren,, nd 7 n, die f dem Umkreis des Rechteckes s b) liegen. e) Gib sechs geeignete Vektoren,, ;, 7 nd 8 n, die f dem Inkreis des Rechteckes s b) liegen f) Gib cht Vektoren b,..., b 8 n, die ein Rechteck beschreiben, ds senkrecht f dem Rechteck s ) steht. Wähle dbei b. Wie viele Lösngen gibt es noch? Afgbe : Spiegelngen in der Ebene Gegeben sind die Pnkte A( ), B( ) nd C( ) ) Zeichne ds Viereck OABC in ein Koordintensystem. b) Begründe nhnd der Ortsvektoren OA, OB nd OC, dss ds Viereck ein Prllelogrmm sein mss. c) Begründe nhnd der Ortsvektoren OA nd OB, dss ds Viereck rechtwinklig sein mss. d) Spiegele die Figr OABC n der x -x -Ebene nd gib die Koordinten der entsprechenden Pnkte A, B nd C n e) Spiegele die Figr O A B C n der x -x -Ebene nd gib die Koordinten der entsprechenden Vektoren A, B nd C n. f) Welche geometrische Abbildng führt direkt von der Figr OABC z Figr O A B C?

2 Afgbe : Spiegelngen im Rm Gegeben ist der Vektor. Gib die Koordinten der Vektoren,, nd n, die mn drch Spiegelng von n der x -x -, x -x - nd x -x -Ebene nd m Koordintenrsprng erhält. ) Afgbe : Linerkombintionen b). mit, nd R Bestimme lle möglichen Fktoren, r, s nd t R, für die die folgenden Gleichngen erfüllt sind nd zeichne die Vektoren in ein Koordintensystem. ) r b) r c) r d) r Afgbe 7: Linere Abhängigkeit nd Unbhängigkeit e) r f) r g) r h) r Untersche die folgenden Vektoren, b nd c f linere Unbhängigkeit. Bestimme gegebenenflls lle Zhlen R, für die dies der Fll ist. Drücke im Fll der lineren Abhängigkeit den Vektor c ls Linerkombintion der Vektoren nd b s. ) b) c), b, b, b nd c nd c nd c 8 d) e), b + t, b + t nd c nd c,.

3 Afgbe : Vektoren in der Ebene ) Zeichnng siehe rechts b) 7,, Lösngen z den Afgben z Vektoren, c) 7 LE 8 d),,, nd 7 7. e),, f) b b, nd 8, b, b,, LE 8. b b, b b, b 7 b, nd b 8 b. Der Übersichtlichkeit hlber ist nr der Kreis gezeichnet. x 7 7 x 8 8 x Afgbe : Vektoren im Rm vgl. Skript Afgbe : Vektoren im Rm ) Zeichnng: siehe rechts b) 7,, 8, x c) LE, 8 7 LE d),, nd 7 e),,, 7.,, LE x 7 7 nd 8 8. x 7

4 f) b, b, b, b, b b, b b, b 7 b, nd b 8 b. Der Übersichtlichkeit hlber ist wieder nr ds Rechteck gezeichnet. Mn könnte ch z.b. bei beginnen nd ein Rechteck in der x -x - Ebene beschreiben, ds senkrecht z den beiden nderen Rechtecken steht. Afgbe : Spiegelngen in der Ebene ) Die Zeichnng ergibt ein Rechteck b) OA zeinnder stehen. c) OA + OB nd OB OC d) A ( ), B ( ) nd C ( ) e) A ( ), B ( ) nd C ( ) f) Pnktspiegelng m Ursprng stehen senkrecht feinnder, d ihre Komponenten im entgegen gesetzten Verhältnis Afgbe : Spiegelngen im Rm nd. Afgbe : Linerkombintionen ) L { } ( nd b liegen f einer Gerden) b) L {} ( nd b liegen nicht f einer Gerden) c) L s,s R (, b nd c liegen f einer Gerden) d) L {} ( nd b liegen f einer Gerden, die c nicht enthält) e) L ( nd b liegen nicht f einer Gerden ber in einer Ebene, die c enthält) f) L {} ( nd b liegen f einer Ebene, die c nicht enthält) g) L / / (, b nd c liegen nicht in einer Ebene) h) L {} (, b nd c liegen in einer Eben, die d nicht enthält) Afgbe 7: Linere Unbhängigkeit ) t 7t b + t c nd c + 7 b b) t + t b + t c nd c b 8 c) Anstz r b + t c 8 9 7t t b + t c 9 nd c b für 9 sowie linere Unbhängigkeit für 9

5 d) Anstz r b + t c linere Unbhängigkeit für lle R e) Anstz r b + t c,, t t b + t c nd c + b für sowie linere Unbhängigkeit für