Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

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Eleonora Waldfogel
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1 Physikdeprtment E13 WS 211/12 Üungen zu Physik 1 für Mschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschum, Dr. Ev M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, Dvid Mgerl, Mrkus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung , Üungswoche Bltt 6 1. Differentilgleichung B S R C Gegeen ist der geildete Schltkreis mit Btterie B, Widerstnd R, Kondenstor C und Schlter S. Die Btterie liefert die Spnnung U. Der Kondenstor ist zunächst völlig entlden. Zur Zeit t = wird der Schlter S geschlossen. ) Die Differentilgleichung für ds Lden des Kondenstors, ds eim Schließen des Schlters einsetzt, lutet di dt + 1 RC I =. Bestimmen Sie die llgemeine Lösung I(t) der Differentilgleichung. Trennung der Vrilen: di I = 1 RC dt = I(t) I(t=) di I = 1 RC t t= dt = ln I(t) I = t RC Test durch Einsetzen: = I(t) = I e t/rc di dt = 1 RC I e t/rc = 1 RC I = 1 RC I ) Fertigen Sie eine Skizze für I(t) I n.

2 I/I t [s] c) Benutzen Sie die Zhlenwerte U = 12 V, R = 1 kω sowie C = 1 6 F und erechnen Sie die Zeitkonstnte 1 τ des Aufldevorgngs des Kondenstors. τ = Zeitkonstnte τ: exp( t/τ) (Definition) = τ = RC τ = 1 kω 1 6 F = 1 kv/a 1 6 As/V = 1 ms 1 Siehe 2

3 2. Höhenlinien Skizzieren Sie ein elieiges Höhenprofil h(x,y) nhnd von Höhenlinien und zeigen Sie, wie mn eine kleine Höhenänderung dh in Ahängigkeit von der Steigung in x- und y-richtung usdrücken knn. In welchem Zusmmenhng stehen grd h = ( h x, h y ) und dh? Nutzen Sie diesen Zusmmenhng, um zu zeigen, dss ein Hng h(x, ( y) senkrecht ) zur Höhenlinie m steilsten ist und dss sich der Steigungsvektor durch grd h = h x, h y drstellen lässt. Höhenlinienild von h(x,y) y Berg Höhenlinie = Linie gleicher Höhe dr dy dx h = Höhe Tl Wir gehen ein kleines Stück d r = ( dx dy ), wie weit gehen wir in h? Aufsplten Stück dx: dh x = h h x dx Woei hier x die prtielle Aleitung nch x drstellt, dies entspricht der Steigung in x-richtung. Stück dy: dh y = h y dy dh = dh x + dh y = h h h x x dx+ y dy = ( ) ( dx dy ) = grd h d r. Üerlegungen: Sklrprodukt, genu dnn, wenn d r grd h dh =. keine Höhenänderung entlng Höhenlinie Grdient ist senkrecht zu Höhenlinien Sklrprodukt mximl ei d r grd h Mximle Steigung entlng des Grdienten Betrchte d r grd h dh = grd h d r = grd h d r cos }{{} α =1d = grd h ˆ= Betrg der Steigung dh d r grd h ht den Betrg und die Richtung der Steigung h y x 3

4 3. Integrtion ) Bestimmen Sie ds Integrl π x sin x dx. Lösung mit Prtieller Integrtion. Allgemein: Hier: π f(x) g (x) dx = [ f(x) g(x)] f (x) g(x) dx π x sin(x)dx = x cos(x) π + 1 cos(x)dx = = π ( 1)+ = π ) Bestimmen Sie ds Doppelintegrl = xy dx dy. 1 1 x y dxdy ( ) 1 xy dxdy = = oder 1 c) Bestimmen Sie ds Doppelintegrl y dy = 1 4 x ydx dy = [ ] 1 1 y 2 x2 dy ( )( 1 ) 1 = x dx y dy = = = 1 4 ( N sin n xπx sin n ) yπy 2 dx dy. Hier sind x und y die Vrilen und lle nderen Größen Konstnten. = N 2 ( ( N sin ( nx πx ) ( ny πy)) 2 sin dxdy = ) ( ) sin 2( n y πy) dy = sin 2( n x πx ) dx 4

5 NR1: (prtielle Integrtion) NR2: NR3: sin 2 (α)dα = sin(α) sin(α)dα = = sin(α) cos(α) β + cos(α) cos(α)dα = = sin(β) cos(β)+ = 2 = sin 2( n x πx ) dx = n x π dα sin 2 (α)dα sin 2 (α)dα = β sin(β) cos(β) sin 2 (α)dα = 1 2 β 1 2 sin(β) cos(β) = n x π nxπ nx π sin 2( n x πx ) ( nx πx d sin 2 (α)dα ) = sin(nπ) cos(nπ) =, wegen sin(nπ) = Ergenis: (...)dx dy = N 2 n x π n y π 1 2 (n xπ) 1 2 (n yπ) = N2 4 5

6 4. Schwingung: gedämpft und erzwungen ) Die Differentilgleichung für eine freie, gedämpfte Schwingung lutet Zeigen Sie, dss m d2 x dt 2 + dx + kx =. dt x(t) = A e αt cos(ω t) eine Lösung dieser Differentilgleichung ist und estimmen Sie den Zusmmenhng zwischen A, α und ω einerseits und m, und k ndererseits. Aleitungen der gegeenen Lösung: dx dt = αae αt cos ω t ω Ae αt sin ω t d 2 x dt 2 = α2 Ae αt cos ω t+αaω e αt sin ω t+ω αae αt sin ω t ω 2 Ae αt cos ω t Einsetzen in die DGL und Umstellen: Ae αt[( mα 2 mω 2 α+k ) cos ω t+ ( 2ω αm ω ) sin ω t ] = Die linke Seite muss für lle t gleich Null sein. Dies ist llerdings nur für estimmte Werte von α und ω der Fll. Dmit oen stehende Gleichung für lle Zeiten erfüllt ist, müssen lso eide Vorfktoren vor dem cos- und dem sin-term jeweils sein: = mα 2 mω 2 α+k = und 2αm = ω = = α = 2m α 2 α m + k m = k m 2 4m 2 Die ngegeene Lösung gilt nur, wenn ω und α diese ngegeenen Werte hen. Andere Werte lösen die DGL nicht. Die Amplitude A ist nicht durch die Bewegungsgleichung estimmt, sondern wird durch die esonderen Anfngsedingungen fest gelegt. Belieige Werten für A (incl. A = ) stellen eine Lösung der DGL dr. ) Nun etrchten wir die Differentilgleichung einer erzwungenen Schwingung, die die Form m d2 x dt 2 + dx dt + kx = F cos(ωt) ht. Zeigen Sie durch Einsetzen, dss die Funktion eine Lösung dieser DGL ist. x(t) = A sin(ωt+ ϕ ) Hinweis: Verwenden Sie die Additionstheoreme für die Winkelfunktionen: 6

7 Wir estimmen die Aleitungen der ngenommenen Lösung: x = A sin(ωt+φ ) dx dt = ωa cos(ωt+φ ) d 2 x dt 2 = ω2 A sin(ωt+φ ) Wir verwenden diese in der Bewegungsgleichung: m d2 x dt 2 + dx dt + kx = F cos(ωt) m[ ω 2 A sin(ωt+φ )]+[ωa cos(ωt+φ )]+k[a sin(ωt+φ )] = F cos(ωt) Mit Additionstheoremen: 2 ( A k mω 2 ) (sin(ωt) cos(φ }{{} ) + cos(ωt) sin(φ ))+ A ω(cos(ωt) cos(φ ) }{{} f(t) const. Nch Funktionen sortieren: sin(ωt) sin(φ )) = F cos(ωt) [A (k mω 2 ) cos(φ ) A ω sin(φ )] sin(ωt)+ +[A (k mω 2 ) sin(φ )+ A ω cos(φ ) F ] cos(ωt) = Dmit ds für lle Zeiten t gilt, muss jeder Koeffizient gleich Null sein. Vom Koeffizienten von sin(ωt) ekommen wir: A (k mω 2 ) cos(φ ) A ω sin(φ ) = tn(φ ) = sin(φ ) cos(φ ) = (k mω2 ) ω = (k/m) ω2 ω/m = ω2 ω2 ω/m k/m = ω, woei ω die Frequenz des ungedämpften Systems ist. Oiges knn mn ls Dreieck vernschulichen: 2 Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen: sin(x+y) = sin x cos y+sin y cos x sin(x y) = sin x cos y sin y cos x cos(x+y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y+sin x sin y 7

8 Vom Koeffizienten von cos(ωt) ekommen wir mit der Aildung: sin(ϕ ) = ω 2 ω2 (ω 2 ω2 ) 2 +(ω/m) 2 und nlog für cos(ϕ ) A (k mω 2 ) sin(φ )+ A ω cos(φ ) F = A (k mω 2 )(ω 2 ω2 ) A ω(ω/m) + = F (ω 2 ω2 ) 2 +(ω/m) (ω 2 2 ω2 ) 2 +(ω/m) 2 A m (ω2 ω2 ) 2 +(ω/m) 2 (ω 2 ω2 ) 2 +(ω/m) 2 = F oder A = F /m (ω 2 ω 2)2 +(ω/m) 2 8

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