= 1 für alle n 1. = f hinzu, erhält man das Gleichungssystem

Transkript

1 Formel o Biet (Beweis mit Liearer Algebra) Die Folge der Fiboacci-Zahle ( ) wird rekursi deiiert durch + + mit, ür alle Fügt ma zu dieser Formel die Gleichug hizu, erhält ma das Gleichugssstem + +, das sich i Matrischreibweise darstelle lässt: + Ma setzt A : ud ka damit schreibe + A A A A A A 3 A A A 3 3 Das heißt, ud + ließe sich bei Ketis o A aus dem Aagsektor bereche Gesucht wird also eie Darstellug der -te Potez o A ür beliebiges Die -te Potez eier Matri erhält ma i eiacher Weise, we die Matri diagoalisierbar ist I diesem Fall poteziert ma die zugehörige Diagoalmatri Dazu erhebt ma dere Diagoalelemete (eizel) i die -te Potez Die ursprügliche Matri wird durch eie

2 geeigete Trasormatio i die Diagoalorm gebracht, die potezierte Diagoalmatri zurücktrasormiert Es stellt sich heraus (weiter ute), dass A i der Tat diagoalisierbar ist Wir greie also i die Trickkiste der Lieare Algebra ud werde ormal: Sei D die Diagoalorm o A, da eistiert eie Matri S (die Trasormatiosmatri), so dass gilt D S AS Die -te Potez o A ist da gegebe durch A SD S Damit ist die Matri S user Problem Die Lieare Algebra sagt, sie setzt sich zusamme aus de Eigeektore o A, spalteweise ebeeiader geschriebe Zur Bestimmug der Eigeektore bereche wir zuächst die Eigewerte o A Das charakteristische Polom ist χ( ) det ( A E) det det ( ) Dari bezeichet E die -Eiheitsmatri ud det steht ür Determiate Die Eigewerte sid die Nullstelle o χ(), also ( ) +, ± 5 Zur Abkürzug setze wir + 5 :, diese Lösug ist die Zahl des Goldee Schitts (φ,68 ) Die zweite Lösug ist 5 Damit sid die Eigewerte o A, Wir prüe im Nachhiei, ob das charakteristische Polom auch ollstädig i

3 Liearaktore zerlegbar ist ud zwar i geau die Liearaktore, die diese Eigewerte etspreche: ( )( ) ( + ) + ( ) ( ) / 4 ( + 5) / Die Rechug zeigt, dass dies der Fall ist Außerdem sehe wir, dass die Nullstelle des charakteristische Poloms o eiacher (algebraischer) Vielachheit sid Zur Bestimmug der Eigeektore ud löse wir das Gleichugssstem also A,,,,,,,, mit ud als Kompoete o Für de Eigewert φ lautet es + Wir setze aus der zweite Gleichug i die erste Gleichug ei ud erhalte ( + ) Da der Term i der Klammer Null ist ( + /φ φ), ka jede Wert aus R aehme Wir wähle ud erhalte damit /φ Der zu φ gehörede Eigeektor ist also / ud der etsprechede Eigeektorraum E A EA( ) t t R / Im Fall des Eigewertes /φ lautet das Gleichugssstem

4 + ( / ) ( / ) Auch hier erhalte wir ( + ) mit dem Wert Null ür die Klammer Wir wähle daher wiederum, woraus φ olgt Der zu /φ gehörede Eigeektor ist also ud der etsprechede Eigeektorraum ( / ) EA t t R Damit habe wir olgede Sachlage: Beide Eigeektorräume sid eidimesioal, ud die Nullstelle des charakteristische Poloms sid (siehe obe) o eiacher Vielachheit Die Lieare Algebra sagt, ei hireichedes Kriterium daür, dass A diagoalisierbar ist Für die Trasormatiosmatri erhalte wir S (, ) / Zur Berechug der ierse Matri S bilde wir zuächst die Determiate o S, det ( S) + 5 Damit wird S det( S) / 5 / Die Diagoalmatri ist da 5 / / + / 5 / D S AS + 5 / (/ ) + / + Die Nebediagoalelemete dieser Matri sid Null (eiache Recheübug) Die Elemete i der Hauptdiagoale lasse sich umorme:

5 + 5 / ( + 5) / Dieses Ergebis überrascht us icht De die (Diagoal-)Elemete eier Diagoalmatri sid ihre Eigewerte Wir sid jetzt (edlich) i der Lage, die Matri A au de Aagsektor + A SD S SD / SD 5 / S 5 ( / ) / + S + 5 ( / ) / ( / ) ( / ) + ( / ) Aus der uterste Zeile liest ma umittelbar ab + azuwede:

6 ( / ) 5 Mit ud ( / ) olgt schließlich , die Formel o Biet Literatur Die obige Zeile sid im Wesetliche dem Abschitt 33 des Vortragsmauskripts Diagoalisiere o Nikolai Nowaczk ud Lars Wallebor etomme (eie Art Ausarbeitug dieses Abschitts, die Bezeichuge wurde z T geädert):