Kinematik und Dynamik (Mechanik II)

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN Fakulä V Vekehs- und Maschinensysee - Insiu fü Mechanik FG Sysedynaik und Reibungsphysik Pof D e na V Popov wwweibungsphysikde Kineaik und Dynaik (Mechanik II) Volesungsnoizen SoSe 7

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3 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Kineaik eine eindiensionalen Bewegung: Geschwindigkei als Ableiung, Enfenung als Inegal, Beschleunigung Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, - I Kineaik und Dynaik Une de Kineaik veseh an ein aheaische und geoeische Mehoden zu Bescheibung von Bewegungen, wie Koodinaen, Vekoen, geoeische Bindungen ec Das Wo Dynaik, ode Englisch dynaics, wid in allen Wissenschafszweigen als Synony zu Bewegung vesanden An einigen deuschpachigen Technischen Univesiäen is fü die Dynaik auch ein andees Wo gebäuchlich: "die Kineik" I Sinne unsee Volesung sind "die Dynaik" und "die Kineik" Synonye Alle Fagen übe die Usachen und den Chaake von Bewegungen weden in de klassischen Mechanik ganz einheilich beanwoe: Geäß den Newonschen Gesezen Die Newonschen Geseze und deen Anwendung in veschiedenen Siuaionen sind das Hauphea de Veansalung Kineaik und Dynaik II Massenpunk De Begiff eines Massenpunkes is eine de Gundbegiffe de Mechanik Une eine Massenpunk veseh an einen Köpe, dessen Ausaße an bei de Bescheibung seine Bewegung venachlässigen kann Naülich häng die Möglichkei eine solchen Venachlässigung von den konkeen Bedingungen de Aufgabe ab So kann an zb die Planeen als Massenpunke annehen, wenn an ihe Bewegung u die Sonne unesuch, dagegen feilich nich, wenn an ihe ägliche Dehung beache III Eindiensionale Bewegung Wi beginnen i de Bewegung in eine Richung, wie in eine Wagen auf eine geaden Saße U Koodinaen angeben zu können, üssen wi ein Koodinaensyse wählen Bei eine eindiensionalen Bewegung eich die Angabe eine Koodinaenachse, die in die Bewegungsichung zeig: O Wi wählen auf diese Achse einen Koodinaenuspung Zu jede Zeipunk befinde sich de Wagen in eine besien Punk diese Achse Diesen Sachvehal eken wi uns, inde wi scheiben: () IV Geschwindigkei als Ableiung Die ilee Geschwindigkei auf de Zeiinevall (, ) wid als Vehälnis des zuückgelegen Weges zu de vesichenen Zei definie: ( ) ( ) v Die oenane Geschwindigkei is Genzwe dieses Vehälnisses fü : ( ) ( ) v li Das is nichs andees als die ese Ableiung de Koodinae nach de Zei: d v d In de Mechanik is es üblich die Ableiung nach Zei duch einen Punk übe de Buchsaben zu bezeichnen: v Nüzliche Regeln de Diffeenzial- und Inegalechnung Funkion () Ableiung d d Funkion g () Safunkion (unbesies Inegal) G( ) g( )d C C C u( ) f ( ) du df u( ) ( ) v u d v d C d d u( ) f ( ) du df paielle Inegaion f u d d du df f d u d uv C d d / C n u u( f ), f f () n n n du du df d df d / C n /( n ) C Subsiionsehode sin cos cos sin C cos e sin sin cos e e e C ln / / ln C acsin acsin

4 V Enfenung als Inegal Is die Geschwindigkei v () als Funkion de Zei bekann, so kann die Koodinae zu eine beliebigen Zeipunk besi weden Zwei Lösungsöglichkeien: Unbesie Inegaion Die Geschwindigkei is die zeiliche Ableiung de d() Koodinae: v () Die Koodinae zu d besien bedeue denach eine Funkion zu finden, deen Ableiung de gegebenen Funkion v () gleich is Diese Funkion nenn an Safunkion ode unbesies Inegal de Funkion v () Bezeichnung: ( ) v( )d C Die Inegaion is offenba eine Ukehopeaion zu Ableiung Die Tabelle de Ableiungen - gelesen in de ugekehen Richung - is gleichzeiig eine Tabelle de Inegale (s Tabelle) Besie Inegaion In eine kuzen Zeiabschni ände sich die Koodinae des Wagens u v Die gesae Ändeung de Koodinae auf eine längeen Zeiinevall kann an als Sue ( ) ( ) v( i ) beechnen Jedoch i is die i diese Mehode ehalene Koodinae nich ganz genau, weil sich die Geschwindigkei wähend des Zeiinevalls ände Wenn wi die Zei klein genug wählen, so is die Sue päzise: ( ) ( ) li v( ) i Den Genzwe nenn an besies Inegal: ( ) ( ) v( )d Die Bezeichnung des Inegals einne an seine Hekunf: Das wid zu d, u uns daan zu einnen, dass die Zei so geing is, wie öglich, und die Addiion wid als eine Sue i eine goßen "S" geschieben, das sich i Laufe de Zei ewas ausgeseck ha: Besie Inegale beechne an i de Haupsaz de Diffeenial- und Inegalechnung: Is G () eine Safunkion von g (), so gil: i b g( )d G( b) G( a) a VI Beschleunigung Ände sich die Geschwindigkei i de Zei: v v(), so spechen wi von eine beschleunigen Bewegung Die Beschleunigung is die zeiliche Ableiung de Geschwindigkei: dv a d Da die Geschwindigkei selbs die Ableiung de Koodinae nach de Zei is, is die Beschleunigung eine Ableiung de Ableiung ode, wie an sag, die zweie Ableiung de Koodinae nach de Zei Dies wid in eine de folgenden Foen geschieben: d d d a d d d Is die Abhängigkei de Koodinae von de Zei bekann, so kann an alle sonsigen wichigen kineaischen Gößen sofo beechnen: Nach einalige Ableiung haben wi die Geschwindigkei, nach de zweien Ableiung die Beschleunigung VII Kineaische Gundaufgaben a Das bedeue: a v dv / d Ese Inegaion: vcons vo (gleichföige Bewegung) Aus de Definiion v d / d ehalen wi nach de zweien Inegaion v C Die Inegaionskonsane ehäl an i Hilfe de Anfangsbedingung: v C v a a (gleichäßig beschleunige Bewegung) Zweifache Inegaion a a() Zweifache Inegaion 4 a a() v Wi scheiben die Beschleunigung als zeiliche Ableiung de Geschwindigkei: av () und ennen die Vaiablen: dv d dv d av () Inegaion dv C av () egib nun einen Zusaenhang zwischen de Zei und de Geschwindigkei Zu Beechnung de Koodinae inegie an Geschwindigkei nach de Zei 5 a a( ) Lösung duch Muliplikaion i v und Dasellung in de Fo vd v a( )d

5 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Ebene und äuliche Bewegung: Polakoodinaen, Kugelkoodinaen, Vekoen Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik II, 4 I Ebene Bewegung Kaesische und Polakoodinaen Die Lage eines Massenpunkes auf eine Ebene wid duch zwei Koodinaen beschieben Meisens weden dafü enwede kaesische ode polae Koodinaen benuz Kaesische Koodinaen: (,y) Polakoodinaen: (, ) De Zusaenhang zwischen beiden wid duch die folgenden Gleichungen gegeben: cos y sin Ugekeh gil: y acan y/ II Räuliche Bewegung Kaesische, zylindische und Kugelkoodinaen In dei Diensionen wid die Lage eines Massenpunkes i dei Koodinaen gegeben Definiion von kaesischen, zylindischen und Kugelkoodinaen sowie Zusaenhänge zwischen ihnen weden i den dei nachfolgenden Bilden illusie Kaesische Koodinaen: (,y,z) III Vekoielle Dasellung Ohonoiee Basen (,y,z) seien kaesische Koodinaen des Massenpunkes P in eine echshändigen Koodinaensyse Alenaiv kann die Lage des Punkes i de Radiusveko chaakeisie weden Definieen wi dei Vekoen e, ey, e z, die enlang de Koodinaenachsen geiche sind und je die Länge Eins haben Diese dei Einheisvekoen sind zueinande ohogonal und bilden eine ohonoiee Basis Jede Veko kann in seine kaesischen Koponenen zeleg weden: e ye ze, y, z y z y z Kaesische Koodinaen können als Skalapoduke des Vekos i enspechenden Basisvekoen besi weden: e, y ey, z ez In de beschiebenen Fall eine konsanen kaesischen Basis (Einheisvekoen de Basis sind "aufes") leie an den Radiusveko ab, inde an seine Koponenen ableie: e ye ze, y, z y z y z Zylindische Koodinaen: (,,z) Zusaenhang i kaesischen Koodinaen: cos y sin z z Kugelkoodinaen: (, ), Zusaenhang i kaesischen Koodinaen: coscos y cossin z sin Diese Gleichung kann an auch als v v vy vz ve vyey vzez v, vy, vz scheiben Eine weiee Ableiung egib die Beschleunigung: a v v v v v e v e v e v, v, v y z y y z z y z e ye ze, y, z y z y z a a a a e a e a e a, a, a y z y y z z y z IV Polae Basis Die ohonoiee Basis, in die an den Veko zeleg, uß nich unbeding konsan sein: Sie kann sich als Ganzes (als ohonoiees Deibein) bewegen; dabei änden sich die Richungen de Basisvekoen; beide Vekoen bleiben abe ohogonal zu einande und ihe Länge bleib Eins I Weieen unesuchen wi ebene Bewegung nähe Zu Bescheibung ebene Bewegung wid in de Mechanik seh of die soge-

6 nanne "polae Basis" benuz Als Basis füh an zwei Einheisvekoen: e in Richung des Radius- Vekos eines Massenpunkes und e senkech zu e (s Bild) Selbsvesändlich beweg sich die polae Basis zusaen i de Radiusveko De Radiusveko kann in de polaen Basis besondes einfach dagesell weden: e Bei de zeilichen Ableiung uss an abe beachen, dass sich auch die Basisvekoen i de Zei änden: ( ) ( ) e ( ) Bei Ableien uss an die Regel zu Ableien von Poduken benuzen: ( ) ( ) e( ) ( ) e( ) () U weie zu vefahen bauchen wi die zeiliche Ableiung von Basisvekoen Diese wid i de nachsehenden Skizze illusie ( ) ( ) ( ) ( ) a e e () adialekoponene zikulaekoponene Die zeiliche Ableiung des polaen Winkels nenn an Winkelgeschwindigkei Sondefall: Bewegung auf eine Keisbahn Beweg sich ein Massenpunk auf eine Keis i de Radius, so gil, Die Gleichung () ni die Fo v () e an Die Geschwindigkei is ie senkech zu Radius (und angenial zu Keis geiche) und beagsäßig gleich v Die Gleichung () ni die Fo a e ( ) e ( ) an Die Beschleunigung ha die Koponene in Tangenialichung a und die Koponene in adiale Richung v a Sie is nach innen - zu Zenu hin - geiche und heiß dahe Zenipealbeschleunigung de zeig in Richung e und ha die Länge d d Dahe: de de zeig in Richung de e und ha die Länge d d Dahe: de de Inde wi diese Gleichungen duch d dividieen und ekennen, dass d, ehalen d wi e e, e e Fü die zeiliche Ableiung des Radiusvekos (Gleichung ()) egib sich soi v ( ) ( ) e ( ) ( ) e Eine weiee Ableiung liefe den Bescheunigungsveko: a v ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e Sondefall: Zenalbewegung Bei de Zenalbewegung is de Beschleunigungsveko ses auf einen Punk, das Zenu Z, hin geiche Dies iff zu Beispiel fü die Bewegung de Planeen zu Bei eine Zenalbewegung veschwinde die zikulae Koponene de Beschleunigung, wenn wi den Koodinaenuspung in das Zenu legen: a d ( ) ( ) d cons Nach de Bild übeseich de Fahsahl in de Zei d die Fläche da d Die Flächengeschwindigkei d A/ d bleib dahe konsan (das Keplesche Gesez)

7 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Newonsche Geseze de Dynaik Besiung de Kaf bei vogegebene Bewegung, Besiung de Bewegung bei vogegebene Kaf Schiefe Wuf Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik II, - I Newonsche Geseze (Newon, 687) Newonsches Gesez: Wik auf einen Köpe keine Kaf, so füh e eine geadlinige, gleichföige Bewegung aus: v cons (Auch als Tägheisgesez bekann: Galilei, 68) Newonsches Gesez: a F ode dv F d : Masse al Beschleunigung gleich Kaf Dieses Gesez gil nu fü ein Ineialsyse Newonsches Gesez: Käfe, die zwei wechselwikende Köpe aufeinande ausüben, sind gleich goß, engegengeiche und haben eine geeinsae Wikungslinie Vaianen de Scheibweise des NG dv a F ode F d ode d F d ode v F ode F Scheibweise in Koponenen: a F v F F ay Fy ode vy Fy ode y Fy az Fz vz Fz z Fz Einhei de Kaf is kg N ( Newon) s Beekung zu Spachgebauch: Geschieben in de Fo F, sell das NG eine Diffeenialgleichung bezüglich () da, die als Bewegungsgleichung bezeichne wid (Engl: "equaion of oion") Den Radiusveko als Funkion de Zei () nenn an in diese Zusaenhang Bewegungsgesez II Besiung de Kaf bei vogegebene Bewegung is die einfachse Aufgabe de Dynaik Is das Bewegungsgesez () bekann, so beechne sich die Kaf nach de NG duch zweifaches Diffeenzieen Beispiel Ein Köpe (Masse ) füh eine eindiensionale Bewegung nach de Gesez ( ) asin (a und sind Konsanen) Zu besien is die auf ihn wikende Kaf Lösung: Die ese Ableiung de Koodinae nach de Zei liefe acos, nochaliges Diffeenzieen egib a sin Die Kaf is nach de NG gleich F a sin Beispiel Kuvenfah Ein Auo (Masse kg ) duchfäh eine Kuve (Radius R ) i de Geschwindigkei v /s (8 k/h) Wie goß is die Kaf, die auf es wik, wie is sie geiche, was is das fü eine Kaf? Lösung: Bei eine Bewegung auf eine Keisbahn i eine beagsäßig konsanen Geschwindigkei is die Beschleunigung zu Zenu des Keises geiche und is gleich a / v R Nach de NG ha auch die Kaf nu die adiale Koponene: v F a R v / s kg F kg 9 9 N R s Das is die Reibungskaf zwischen de Saße und den Reifen III Besiung de Bewegung bei vogegebene Kaf Is die Kaf, die auf einen Köpe wik, bekann (ode is das "Kafgesez" bekann), so kann an die Bewegung besien, inde an die Diffeenialgleichung F lös Zu eindeuigen Besiung des Bewegungsgesezes () üssen die Anfangsbedingungen - die Lage und die Geschwindigkei zu eine Zeipunk bekann sein Beispiel Zu besien is die eindiensionale Bewegung une de Einwikung eine konsanen Kaf Zu Zeipunk befand sich de Köpe i Punk und hae die Geschwindigkei v dv Lösung: Das NG laue F d Inde wi beide Seien i d uliplizieen dv Fd und unbesi inegieen dv Fd v F C ehalen

8 wi die Geschwindigkei Das Egebnis scheiben wi in de folgenden Fo: d F C Muliplikaion i d : d d F C d und zweie unbesie Inegaion liefen d F C C F C d C Die noch unbekannen Inegaionskonsanen C und C besien wi aus den Anfangsbedingungen: C, v C Daaus folg F v F v ode Fü die Geschwindigkei egib sich F v v Beekung: Diese Lösungsehode funkionie auch bei eine beliebigen, eplizi vogegebenen Kaf F () als Funkion de Zei Die Beschleunigung is dann auch eine gegebene Funkion de Zei Duch die ese Inegaion gewinn an die Geschwindigkei, duch die zweie die Koodinae Die beiden Inegaionskonsanen besien sich aus den Anfangsbedingungen Beispiel 4 Besweg bei Vollbesung Zu besien is de Besweg eines Auos i de Anfangsgeschwindigkei v bei Vollbesung De Reibungskoeffizien sei Lösung: Die auf das Auo wikenden Käfe weden duch den Feischni sichba geach NG laue: y g N N, R R Aus de esen Gleichung folg NN g Die Reibungskäfe bei Vollbesung ehalen wi nach de Gesez "Noalkaf Reibungskoeffizien": R N, R N Daaus folg R R N N g und fü die -Koponene des NG g Das is eine Bewegung une Wikung eine konsanen Kaf, dahe gil v v g v v g F Aus de esen Gleichung beechne sich die Zei bis zu Sillsand: v v g v / g Einsezen in die zweie Gleichung liefe den Weg bis zu Sillsand: v v v Bes g g g Fü v / s (8 k/h) is v / s Bes 45 g / s Fü v 5 / s (54 k/h) is Bes Fü v 8,5 / s (ca k/h),5 Bes Beispiel 5 Schiefe Wuf Ein Köpe i de Masse wid zu Zei une eine Winkel zu - Achse i eine Geschwindigkei v abgewofen Wenn de Lufwidesand venachlässigba is, wik als einzige Kaf das Gewich G in negaive z-richung Das NG in kaesischen Koodinaen laue, z G g Zweifache Inegaion füh nach Küzen von auf C, z g C C C, z g C C4 Die Anfangsbedingungen: () C vcos z() C vsin () C, z() C4 Einsezen liefe v cos, z g v sin, v cos, sin z g v Duch Eliinaion de Zei : / v cos ehäl an die Bahngleichung g z an v cos De Köpe beweg sich auf eine Paabel Die Wufweie folg aus de Bedingung w v z ( w) : w sin g Die göße Wufweie egib sich fü /4, und sie beäg v g Die Wufhöhe is gleich h w,a / z v g ( sin ) /

9 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 4 Käfe: Schwekaf, Reakionskäfe, Widesandskäfe, Fedekaf, Aufiebskaf, Scheinkäfe Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III,, 4 I Gaviaionskaf: Jedes Objek zieh jedes andee Objek i eine Kaf an, welche popoional zu beiden Massen und ugekeh popoional de Quada de Enfenung zwischen ihnen is Die Kaf is enlang de Vebindungslinie zwischen beiden Köpen geiche F G Gaviaionskonsane: G 6,67 kg s II Widesandskaf (ubulen) Ein fahendes Auo ode ein Flugzeug efahen eine Widesandskaf, die annähend i de folgenden Gleichung wiedegegeben wid: F c Av w Dabei is A die Pojekionsfläche des Köpes auf eine Ebene senkech zu Ansöichung, is die Diche des Medius (zb Luf), v is die Ansögeschwindigkei (bzw Fahgeschwindigkei) und de Widesandsbeiwe cw efass alle weieen Paaee E lieg zb bei odenen Pkw zwischen und 4 Das Kafgesez is nu gülig bei schnellen Bewegungen, bei denen sich eine ubulene Söung bilde III Widesandskaf (Laina) Beweg sich de Köpe in eine Flüssigkei ode eine Gas so langsa, dass sich keine Wibel bilden (lainae Usöung), so is die Widesandskaf, wie das beeis Newon heausgefunden ha, popoional zu Geschwindigkei: Fw w v Die Konsane häng von de Geoeie des usöen Köpes und von de Zähigkei des Medius ab, diesal abe nich von seine Diche Das Minus-Vozeichen zeig, dass die Kaf engegengesez zu Geschwindigkei geiche is Fü eine Kugel gil zb: Fw 6v (854 Sokes); is hie Radius de Kugel, - Viskosiä des Medius (ZB fü Was- se bei C is Pa s, fü die Luf 5 bei C,8 Pa s ) IV Hafeibung und Gleieibung Duch ausfühliche epeienelle Unesuchungen ha Coulob (76-86) fesgesell, dass die Reibungskaf R zwischen zwei Köpen, die i de Noalkaf N an einande gedück sind, in ese, gobe Näheung folgende einfache Eigenschafen ha: A Die Hafeibung (auch saische Reibungskaf) R s, die zu übewinden is, u den Köpe in Bewegung zu sezen, is popoional zu Anpesskaf N: R N s De Koeffizien s heiß saische Reibungskoeffizien E häng von de Maeialpaaung ab, weis abe dagegen fas keine Abhängigkei von de Konakfläche und Rauigkei de Obeflächen auf B Die Gleieibung (auch kineische Reibungskaf) R k is die Widesandskaf, die nach de Übewinden de Hafung wik - Gleieibung is popoional zu Anpesskaf N R N k - Die Gleieibung häng nich (bzw nu seh schwach) von de Gleigeschwindigkei ab V Elasische Kaf Alle Köpe in de Wel sind eh ode wenige defoieba Bei Feden is ihe Elasiziä besondes ausgepäg und wid echnisch genuz Veschieb an einen i eine Fede gekoppelen Köpe u aus seine Gleichgewichsposiion, so wik die Fede auf ihn i de Kaf F c Dabei is c die Seifigkei de Fede el s k

10 VI Aufiebskaf (a) Beweg sich ein nich syeische Köpe in eine Flüssigkei ode Luf, so is die auf ihn vo Mediu wikende Kaf i Allgeeinen nich engegengesez zu Geschwindigkei geiche Die engegengeseze Koponene de Kaf nenn an Widesandskaf (s oben) Die zu Bewegung senkech geichee Koponene heiß Aufiebskaf Beide sind bei ubulenen Usöungen ungefäh popoional zu Quada de Geschwindigkei Fü dünne solinienföige Köpe (wie ein Flügel) gil F v S A wobei S die Fläche des Flügels is und de sogenanne Ansellwinkel (b) Daübe hinaus gib es auch bei seh langsaen Bewegungen die engegen de Schweekaf geichee achiedische Aufiebskaf, die gleich de Gewich de vedängen Flüssigkei is VII Elekische, agneische Käfe Auf einen geladenen Köpe i elekischen Feld i de Feldsäke E wik die Kaf F qe, q is die elekische Ladung Auf einen geladenen Köpe i agneischen Feld i de Indukion B wik die Kaf F qv B ; sie is ses senkech zu Geschwindigkei geiche VIII Reakionskäfe (auch Fühungskäfe, Zwangskäfe) Wenn ein Massenpunk gezwungen is, sich auf eine vogegebenen Fläche ode Kuve zu bewegen, so spich an von eine gefühen ode gebundenen Bewegung In diese Fall een die sogenannen Reakionskäfe auf, welche geade die gefodee Bindung an eine Fläche ode Kuve bewiken Fü den Beag de Reakionskaf kann an kein spezielles Kafgesez angeben Sie zeig abe ie in die Richung, in de die Bewegung vehinde wid IX Scheinkäfe Das Newonsche Gesez gil nu in Ineialsyseen Manchal is es bequee, eine Bewegung elaiv zu eine sich beschleunig bewegenden ode oieenden Bezugssyse zu beachen (die Ede is zb auch kein ideales Ineialsyse) Man kann zeigen, dass an auch in eine beschleunigen Syse die Newonschen Geseze in gewöhnliche Fo anwenden kann, wenn an zusäzliche, sogenanne Scheinkäfe einfüh (a) In eine Bezugssyse, das sich elaiv zu eine Ineialsyse i de Beschleunigung A beweg, uss die Scheinkaf eingefüh weden Fansl A (b) In eine i eine Winkelgeschwindigkei oieende Bezugssyse üssen zwei Scheinkäfe eingefüh weden (diese Kafgeseze weden i Kus Mechanik III hegeleie): Zenifugalkaf F wik adial zenif von de Roaionsachse ( is de Absand zu Achse) Coiolis-Kaf F v C Beispiel Saellienbewegung Mi welche Geschwindigkei uläuf die Ede ein ednahe Saelli? De Radius de Bahn sei R 6, 4 k Lösung Die einzige Kaf, die auf den Saellien wik, is die Anziehungskaf de Ede (Schweekaf) Sie is ie zu Zenu de Ede geiche und in de Nähe de Edobefläche gleich F g Beweg sich de Saelli auf eine Keisbahn, so is seine Beschleunigung ebenfalls zu Zenu geiche und gleich a v R Nach de NG gil / / v R g Daaus folg v Rg s 6 6,4 9,8 8 / s

11 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 5 Das Newonsche Gesez: Anwendungsbeispiele Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III,, 4 Beispiel Geosaionäe Saellien Veläuf die Bewegung eines Saellien in de Äquaoebene de Ede und is die Ulaufzei gleich eine Tag, so "häng" de Saelli ie übe de gleichen Punk de Ede Die einzige auf ihn wikende Kaf is die zu Zenu geichee Gaviaionskaf F G Bei eine Bewegung auf M de Keis is Beschleunigung ebenfalls zu Zenu geiche und gleich a, wobei /T die Winkelgeschwindigkei is (T= Tag is die Udehungspeiode) Das NG besag, dass M T G () Die Fallbeschleunigung auf de Edobefläche is gleich g GM / R i R68 GM gr Ein- als Edadius Daaus folg sezen in () liefe GMT / 6 / gr T 9,8 6, k Das enspich eine Höhe übe de Edobefläche von ca 56k Beispiel Veikale Sa eine Rakee Zu beechnen is die Fluchgeschwindigkei bei eine veikalen Sa eine Rakee (Lufwidesand is zu venachlässigen) Lösung: Es lieg eine eindiensionale Bewegung vo Das NG fü die adiale Bewegung laue Die Beschleunigung GM is hie eine Funkion de Koodinae Man lös diese Diffeenialgleichung duch Muliplizieen beide Seien i de Geschwindigkei v und Beücksichigung, dass d d dv dv d dv a v d d d d Die Bewegungsgleichung ni die Fo dv GM v an d / Muliplizieen i d egib GM vdv d Eine besie Inegaion füh auf v v GM R Die gesuche Geschwindigkei is eine solche, bei de v wenn GM v gr, k / s R Beispiel Maiale Geschwindigkei eines Auos In de veikalen Richung gib es keine Bewegung Une Venachlässigung de Aufiebskaf gil dahe: N g Da sich das Auo i eine konsanen Geschwindigkei bewegen soll, laue die hoizonale Koponene des NG: Fw R, wobei R g die aiale eeichbae Reibungskaf zwischen den Räden und de Saße is und Fw cw Av die (ubulene) Widesandskaf Aus g c Av w folg g v c A Mi den chaakeisischen Ween: cw, 4, A,5,, kg /, 6kg, 8 ehalen wi v 46 / s 55 k/ h Beispiel 4 Feie Fall in eine viskosen Flüssigkei Zu besien is das Bewegungsgesez eine in eine Flüssigkei fei fallenden Kugel i den Anfangsbedingungen: v y, y Lösung Das N G laue: dvy g vy Muliplikaion i d d egib dvy g vyd Nach Tennung de Vaiablen und besie Inegaion ehalen wi d vy dvy g v y w

12 vy lng vy g ln vy vy e g Fü seh goße Zei eeich die Geschwindigkei den Genzwe Das Minusg Zeichen zeig, dass sich die Kugel in die negaive y-richung beweg Zu Besiung de Koodinae scheiben wi die Geschwindigkei als zeiliche Ableiung e, uliplizieen diese dy g d Gleichung i d und inegieen besi y g dy e d Egebnis: g y g e Beispiel 5 Ein Fede-Masse-Syse Zu besien is das Bewegungsgesez eine i eine Fede gekoppelen Masse Die Anfangsbedingungen: fü lauen v() ; () Lösung: Wi beachen nu die Bewegung in hoizonale Richung und venachlässigen Reibung in diese Richung Die einzige Kaf, die une diesen Voaussezungen auf den aus de Ruhelage ausgelenken Köpe wik, is die Fedekaf F k Das NG sieh wie folg aus: a k a k / Mi de Bezeichnung in de Fo a k/ ode scheiben wi es dv d Mi de Ideniä dv dv d dv v egib sich d d d d dv v Muliplikaion i d und besie Inegaion d egib v vdv v d Daaus egib sich die Geschwindigkei als Funkion de Koodinae: v Wi scheiben nun die Geschwindigkei als zeiliche Ableiung de Koodinae: d, ennen die Vaiablen und d inegieen besi: d d Mi de Subsiuion acsin / sin acsin z z d cos z dz cos z ehalen wi acsin / d acsin cos z dz z cos z acsin( / ) / Daaus folg sin / d / / z : / / z / / acsin acsin z acsin / Ukehen diese Funkion egib sin cos Beispiel 6 Scheinkäfe acsin / acsin dz z A Wann kipp ein Auo u? Gleichgewich de Kafoene bezüglich des echen Rades (i oieenden Bezugssyse!!): v / R h gd B Neigung eines Mooadfahes v Rgd / h C Zenifuge Duchesse = 45 c,4 Udehungen po Minue Zu besien is die effekive Fallbeschleunigung in de i de Zenifuge vebundenen Bezugssyse

13 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 6 Ipuls, Kafsoß, Schwepunksaz, Ipulsehalung, Soß Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, 5,, 5 I Ipuls Die vekoielle Göße p v heiß Ipuls des Köpes De Gesaipuls eines Mehköpesyses beechne sich als Sue de Ipulse seine Besandeile: p v II Ipulssaz Geschieben in de Fo d p F äg das d Newonsche Gesez den Naen Ipulssaz III Kafsoß Duch Muliplizieen i d und Inegaion kann de Ipulssaz in de folgenden Inegalfo dagesell weden: p( ) d p F( )d p( ) i i p( ) p( ) F( )d Die Ändeung des Ipulses is soi gleich de Göße F F( )d, die Kafsoß heiß IV Abgeschlossenes Syse Ein Mehköpesyse heiß abgeschlossen, wenn die zu ih gehöigen Köpe nu ieinande wechselwiken V Ipulsehalungssaz Beachen wi ein abgeschlossenes Syse besehend aus zwei Köpen Diese Köpe wechselwiken nu i einande Die Wechselwikungskäfe genügen de Newonschen Gesez (acio=eacio) Das Newonsche Gesez fü jeden Köpe kann denach wie folg geschieben weden: dv F d dv F d Suieen beide Gleichungen egib dv dv ode d v v d d d In de Klae seh de Gesaipuls des dp Syses: d Daaus folg: p v v cons De Ipuls eines abgeschlossenen Syses bleib ehalen (Ipulsehalungssaz) Diese Saz gil fü ein abgeschlossenes Syse besehend aus beliebige Zahl von Köpen VI Innee und äußee Käfe Die Käfe, i denen die Köpe, die zu eine Syse gehöen, i einande wechselwiken, nennen wi innee Käfe Die Käfe, i denen die Köpe des Syses i den Köpen außehalb des Syses wechselwiken, nennen wi äußee Käfe Diese Definiionen sind syseabhängig So is zb die Wechselwikungskaf zwischen de Sonne und de Ede eine innee Kaf, wenn wi die Sonne und die Ede als ein Syse beachen Beachen wi dagegen nu die Ede als "Syse", so is das eine äußee Kaf VII Ipulssaz fü ein Mehköpesyse Beachen wi jez ein nich abgeschlossenes (offenes) Syse, dh ein Syse, dessen Köpe auch i Köpen außehalb des Syses wechselwiken F und F sind hie innee Käfe F und F sind äußee Käfe Das Newonsche Gesez fü die beiden Köpe laue: dp dp F F ; F F d d Addiion diese Gleichungen egib dp F F Fe d F e is die Sue alle äußeen Käfe Ipulssaz: Die zeiliche Ableiung des Ipulses eines Syses is gleich de Sue alle äußeen Käfe, die auf dieses Syse wiken Teilehalung des Ipulses: Is die Pojekion de esulieenden äußeen Kaf auf die -Achse Null, so bleib die - Pojekion des Ipulses ehalen

14 dp Beweis: De Ipulssaz Fe in de Pojekion auf die -Achse laue: d dp d Daaus folg cons p VIII Schwepunksaz De Radiusveko des Schwepunks eines Syses wid wie folg definie: ii ii Rs, M wobei M die Gesaasse des Syses is Die Geschwindigkei des Schwepunkes beechne sich als zeiliche Ableiung dieses Vekos: v i i p Vs Rs M M Beachen wi zwei Fälle: a) Abgeschlossenes Syse drs v v p cons : d M Schwepunk eines abgeschlossenen Syses beweg sich i konsane Geschwindigkei b) Offenes Syse dv dp / d Fe ode d M M i M d R d F e Schwepunksaz: De Schwepunk eines Syses beweg sich so, als ob die Gesaasse in ih veeinig wäe und alle äußeen Käfe an ih angeifen IX Plasische Soß Beachen wi den Zusaensoß zweie Köpe, nach de sie sich als ein Ganzes bewegen (an einande kleben) Solch einen Soß nenn an plasische Soß Die Wechselwikungskäfe zwischen beiden Köpen, unabhängig von deen Göße und physikalische Hekunf sind innee Käfe Wiken a Syse keine weieen Käfe, so is das ein abgeschlossenes Syse De Ipuls des Syses bleib deshalb ehalen Insbesonde gil das fü beliebige Zeipunke vo und nach de Soß: Ipuls vo de Soß: v v Ipuls nach de Soß v Wenn keine äußeen Käfe gewik haben: v v v v v v X Zefall (zb duch eine Eplosion) Ipuls "vo": Ipuls "nach": v v Ipulsehalungssaz: v v v v XI Mielwe eine Kaf Beachen wi eine von de Zei abhängige Kaf F () Den Mielwe diese Kaf auf de Zeiinevall von bis können wi besien, inde wi das Zeiinevall in eine seh goße Zahl N von Teilinevallen uneeilen (offensichlich gil N ) Den Mielwe F (de Sich übe de Buchsaben bedeue "Mielwe") beechne an Fi i i de bekannen Regel F Inde N wi diese Gleichung i uliplizieen und dividieen, ehalen wi F N i N F () i F d N Nach de Ipulssaz in de Inegalfo gil F() d p p, wobei p und p Ipulse des Syses zu den Zeipunken und sind Fü den Mielwe de Kaf egib sich soi p p F De Mielwe de Kaf is gleich Ändeung des Ipulses dividie duch das Zeiinevall, in de diese Ändeung sagefunden is

15 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 7 Abei, kineische und poenielle Enegie, Elasische Soß Lieau: Hauge, Schnell und Goß Technische Mechanik III, 7 I Mechanische Abei, Abeissaz Beachen wi einen Köpe i de Masse, de sich une de Wikung eine (i Allgeeinen zei- ode osabhängigen) Kaf F beweg Das zweie Newonsche Gesez fü den Köpe laue: dv F d Inde wi diese Gleichung i v uliplizieen, ehalen wi dv v F v (Skalapoduk!) () d Die linke Seie de Gleichung kann in de Fo dv dv d v v v d d d dagesell weden Die eche Seie scheiben d wi wie folg u: F v F d Die Gleichung () ni die Fo d v F d an Besie Inegaion egib v d v F d ode v v v F d () v Die Göße K is die kineische Enegie des Köpes Das Inegal W F d nenn an die von de Kaf F auf de Weg zwischen und geleisee Abei Gleichung () sag aus, dass Ändeung de kineischen Enegie eines Objekes gleich de duch die einwikenden Käfe geleiseen Abei is K K W (Abeissaz) II Eigenschafen de Abei -Abei is als Inegal W -Bei eine konsanen Kaf gil F d definie W F d F F F W F cos - Wann is W=? F ode ode 9 - Die Abei von A nach B is gleich Minus die Abei von B nach A -Die Abei is eine addiive Göße (Die Abei ehee gleichzeiig wikende Käfe is gleich de Sue de Abeien einzelne Käfe) Folg aus de Definiion III Leisung Beachen wi die Bewegung innehalb eines infiniesial kleinen Zeiinevalls d, so kann an den Abeissaz in de Diffeenialfo scheiben: dk dw Dividieen duch d egib dk dw () d d Die Göße dw / d heiß Leisung de Kaf Gleichung () bedeue, dass die zeiliche Ändeung de kineischen Enegie eines Objekes gleich de duch die einwikenden Käfe aufgebachen Leisung is Einheien: [ Abei ] Newon Mee {Joule} [ Leisung ] Joule po Sekunde {Wa} 6 Kilowasunde 6 J =,6 Joule IV Poenielle Enegie, Enegieehalungssaz Beachen wi eine eindiensionale Bewegung une de Einwikung eine Kaf F( ), die nu von de Koodinae abhäng Das zweie Newonsche Gesez laue: v F Muliplizieen i v egib dv d v F ode vdv F d d d Besie Inegaion egib v v F d U U, (4) U F d Safunkion zu wobei Funkion F ( ) is (unbesies Inegal)

16 (4) kann wie folg ugeschieben weden: v v U U (5) Die Göße U( ) heiß poenielle Enegie und v die Sue E U K U - volle Enegie des Syses Gleichung (5) besag, dass die volle Enegie des Syses ehalen bleib (Enegieehalungssaz): E K U kons De Enegieehalungssaz in diese Fo gil nu dann, wenn die Käfe nu von de Koodinae abhängen (i Allgeeinen Fall gil das fü konsevaive Käfe, s nächse Volesung) Beekung: Aus de Definiion de poeniellen Enegie folg, dass F Diese U Gleichung nenn an Saz von Casigliano V Beispiele Poenielle Enegie de Schweekaf Die Schweekaf is gleich F g Die Poenielle Enegie is denach U gdh gh C C is eine beliebige Konsane, die zb gleich Null gesez weden kann De Enegieehalungssaz ha v die Fo gh kons Poenielle Enegie eine elasischen Fede Die Fedekaf is gleich F c Die poenielle Enegie denach U cd c v Enegieehalungssaz: c kons Poenielle Enegie de Gaviaionskaf i allgeeinen Fall M F G M M U G d G Enegieehalungssaz: v M E G kons Is ein Pepeuu obile öglich? Die auf de geschlossenen Weg geleisee Abei is gleich W GM Käfe, deen Abei auf jede geschlossenen Weg Null is, heißen konsevaiv VI Ein Pendel Zu besien is das Bewegungsgesez und die Sangenkaf fü ein Pendel besehend aus eine leichen Sab und eine Kugel, die an als einen Massenpunk beachen kann Zu Zeipunk wid es aus de Ruhelage u den Winkel ausgelenk und feigelassen Lösung: Wi scheiben zunächs den Enegieehalungssaz gh gh v v Une Beücksichigung de geoeischen Beziehung hl( cos ) und v egib v sich gl( cos ) gl( cos ) Daaus folg v gl cos cos Wi wollen das Newonsche Gesez in polae Basis scheiben Die zikulaen und adialen Koponenen de Beschleunigung sind gleich a l, a l Fü die zikulaen und adialen Kafkoponenen haben wi: F g sin F g cos F Das NG is dann: cos N l g F N l g sin, Aus de zweien Gleichung können wi die Sangenkaf als Funkion des Winkels beechnen: v FN g cos g cos cos l Das Bewegungsgesez bekoen wi aus de d Gleichung v l gl cos cos d duch Tennung de Vaiablen und Inegaion

17 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 8 Abei, kineische und poenielle Enegie, konsevaive Käfe, Enegieehalungssaz Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, 7 I Konsevaive Käfe Gegeben sei ein Kaffeld F, y, z F Das Kaffeld (ode einfach die Kaf) heiß konsevaiv, wenn die von diese Kaf auf eine beliebigen geschlossenen Weg geleisee Abei gleich Null is: W Fd Schlussfolgeung: Die Abei zwischen und häng nich vo Weg ab! Konsevaive Käfe: Gaviaionskaf, elasische Kaf, elekosaische Käfe Nichkonsevaive Käfe: Widesandskaf, Reibungskaf ode U ( P) W( P Q) U( Q) Daaus folg W( P Q) U( P) U( Q) Bei eine Bewegung une de Wikung von konsevaiven Käfen gil K K W U U Daaus folg de Enegieehalungssaz K U K U kons III Wie sell an fes, ob eine Kaf konsevaiv is? Ein hoogenes Kaffeld is konsevaiv W F d F Eine zenale Kaf, die nu vo Absand zu eine Zenu abhäng, is konsevaiv Die Sue konsevaive Käfe is wiede eine konsevaive Kaf: Gaviaionskaf eine beliebigen Massenveeilung Elekosaische Kaf eine beliebigen Veeilung von Ladungen Elasische Käfe (lezendlich nichs andees als elekische Käfe) Eine beliebige Kobinaion aus elekischen, elasischen und Gaviaionskäfen IV Poenielle Enegien: a) Eine elasischen Fede i Seifigkei c: II Poenielle Enegie eine konsevaiven Kaf U ( ) c () Wi definieen eine neue Funkion: P b) I Gaviaionsfeld: U( P) F( ) d W ( O P) U() G () O Q U ( Q) F( ) d W ( O Q) c) De Zenifugalkaf in eine oieenden Bezugssyse: O Jez gehen wi den Weg P U() () O P Q O Die Abei is gleich V Käfe, die senkech zu Bewegungsichung Q geiche O) sind, leisen keine Abei und Q W( O P) W( P Q) W( O bauchen wede i allgeeinen Abeissaz, noch i Enegieehalungssaz beücksichig zu weden: P Q R - Zwangs- ode Reakionskäfe - agneische Käfe F qv B - Coioliskaf i oieenden Bezugssyse F v - (aeodynaische) Aufiebskaf Eläueung zu Abei von Zwangskäfen Zwangskäfe in echanischen Syseen sind Käfe, die ses senkech zu Bewegungsichung geiche sind Daaus folg fü die Abei: W Fd F F d Zwangs eingepäg F d F d F d Zwangs eingepäg eingepäg

18 Bei Beechnung de Abei können Zwangs- (Reakions-)käfe auße Ach gelassen weden VI Abeissaz in Anwesenhei von konsevaiven und nich konsevaiven Käfen? De Abeissaz in de allgeeinen Fo K K W gil ie Die Abei können wi scheiben als K K W Wkons Wnichkons Fü die Abei de konsevaiven Käfe gil W U U De Abeissaz ni die kons Fo K K U U Wnichkons an ode K U K U Wnichkons VII Gaviaionsfeld eine Kugel Eine dünne Kugelschale i Masse Masse des infiniesialen Ringes: da had sin d d 4a 4a Die duch den Ring ezeuge poenielle Enegie: du G' d ' sind G R Ra cos a Die volle poenielle Enegie: G' sind U R Ra cos a G' ( R a) ( R a) Ra a R a: U G' / R B Ein Fadenpendel wid nach links bis zu Höhe h ausgelenk und losgelassen In de veikalen Posiion söß de Faden auf ein Hindenis Welche aiale Höhe eeich das Pendel in de echen Posiion? Lösung: A Anfang: K, U gh A Ende: K, U gh Zwangskäfe bleiben unbeücksichig Aus de Enegieehalungssaz folg h h B I Absand h übe de Ende eine ungespannen Fede befinde sich eine Masse Sie wid ohne Anfangsgeschwindigkei losgelassen Wie goß is die aiale Zusaendückung de Fede? Lösung: Sowohl die Gaviaionskaf als auch die elasische Kaf sind konsevaiv Es gil de Enegieehalungssaz A Anfang: K, U gh A Ende: K, U g c Enegiesaz: gh g c Daaus g hc Sondefall: Bei h c g is g / c - zwei Mal göße, als bei saische Belasung h h b R a: U G' / a IX Anwendungsbeispiele B Wie goß is die Fluchgeschwindigkei fü eine Rakee, die une eine Winkel zu Veikale gesae wid? Lösung: v M A Anfang: K, U G R A Ende: K, U v Enegieehalungssaz: v M G R GM Daaus v gr - häng vo Winkel nich R ab! R

19 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 9 Enegieehalung, Ipulsehalung Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, 7, 5 I Schleifenfah (Looping) Ein Köpe gleie von eine Höhe h i de Anfangsgeschwindigkei v eine schiefe Ebene hinab, die in eine Keisschleife ausläuf Es soll diejenige Höhe besi weden, fü die kein Ablösen von de Keisbahn i de Radius R eini Bedingung dafü is, daß de Bahnduck i höchsen Punk P de Keisbahn veschwinde, dh v g R Eine Enegiebilanz zwischen de Anfangspunk und de höchsen Punk in de Schleife liefe: v gh gr h 5/ R Daaus folg die Höhe II Elasische Soß (a) geade, zenische Soß Geschwindigkeien vo de Soß: v und v Geschwindigkeien nach de Soß: v und v In eine abgeschlossenen Syse bleib Ipuls ehalen: v v v v () Bei eine elasischen Soß bleib Enegie ehalen: v v v v () Diese Gleichungen können ugeschieben weden: v v v v v v v v Wi eilen die zweie Gleichung duch die ese: v v v v v v v v () ode De Beag de elaiven Geschwindigkei ände sich bei elasischen Soß nich Aus de lineaen Gleichungssyse () und () folg: v v v v v v v v (b) Nich geade, zenische Soß (hie nu Sondefall, v ) De Ipulsehalungssaz ni die Fo v v v v an Enegieehalung: v v v v Bei gleichen Massen bedeue das v v v und v v v Aus de esen Gleichung is esichlich, dass die Vekoen v, v und v ein Deieck bilden Die zweie Gleichung is de Pyhagoas-Saz Daaus folg, dass dies ein echwinkliges Deieck is ( 9): nach eine elasischen Soß fliegen die Kugeln une eine echen Winkel zu einande III Enegieändeung bei plasischen Soß Beachen wi noch einal einen plasischen Soß, dh einen Zusaensoß zweie Köpe, nach de sie sich als ein Ganzes bewegen (an einande kleben) Die Wechselwikungskäfe zwischen beiden Köpen, unabhängig von deen Göße und physikalische Hekunf sind innee Käfe Wiken a Syse keine weieen Käfe, so is das ein abgeschlossenes Syse De Ipuls des Syses bleib deshalb ehalen Insbesonde gil das fü beliebige Zeipunke vo und nach de Soß: Ipuls "vo": v v Ipuls "nach" v Wenn keine äußeen Käfe gewik haben: v v v ;

20 v v v Wie seh es i de Enegie de Köpe? Die Enegieändeung is gleich v v v K K K v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v und is ie negaiv: Bei eine plasischen Soß geh Enegie veloen! v v v v v v IV Kineische Enegie eines Mehköpesyses i v v ivi i v i v v i i Kineische Enegie des Schwepunkes Kineische Enegie i Schwepunk Syse = innee Enegie z B Wäe 5 4 v v K? falsch! Wi beachen zwei Koodinaensysee: Labosyse (,y) und ein Syse, das sich i de Geschwindigkei v des Schwepunkes beweg (Schwepunksyse) Gegeben sind: die Geschwindigkeien v i i Schwepunksyse und die Geschwindigkei v des Schwepunkes Zu besien is gesae kineische Enegie Die Geschwindigkeien i Labosyse sind vi' vi v Die gesae Kineische Enegie is gleich v T ivi i vi v iv ' i i i vi v

21 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Teilelasische Soß, Soßzahl Köpe i veändeliche Masse Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, 6, 7 I Elasische und nich elasische Soß v v -absolu elasische Soß v -absolu plasische Soß v e v - eilelasische Soß e = Soßzahl Bei elasischen Soß bleib Enegie ehalen Ein Modell fü einen eilelasischen Soß Ein Köpe i Masse is i eine Fede (Seifigkei c) und eine Däpfe (Däpfungskonsane d) vesehen E söß gegen eine sae Wand i de Geschwindigkei v Mi den Mehoden, die späe bei de Schwingungsheoie eläue weden (Volesung ) kann an zeigen, dass fü d c de Soß absolu plasisch is: De Köpe sping nich zuück Fü d c is de Soß eilelasisch und die Soßzahl kann duch die Gleichung e ep 4 c / d angenähe weden (Bild oben) Beispiel : Man läss eine elasische Kugel aus eine Höhe h auf eine sae ebene Fläche fallen Nach de Soß eeich sie eine Höhe h Wie goß is die Soßzahl? Lösung: Die Geschwindigkei vo de Soß is gleich v gh Die nach de Soß v gh Die Soßzahl is gleich e v / v h / h Bei h/ h 78 is e 88 Nach vie Sößen wid die Höhe 4 78 h 7h sein II Teilelasische Soß zweie Köpe Bei eilelasischen Soß veinge sich de Beag de elaiven Geschwindigkei: e v v v v Aus diese Gleichung zusaen i de Ipulsehalungssaz v v v v kann an v und v besien: v v e v e v v e v e III Köpe i veändeliche Masse a) Rakee i Welau Eine Rakee söß Vebennungspoduke i eine Absoßgeschwindigkei c aus Die vebliebene Masse de Rakee sei () Das Massendiffeenial d is eine negaive Göße Deshalb is die abgesoßene Masse gleich d Wi gehen in ein Ineialsyse übe, das sich zu Zeipunk i de Rakee beweg Ipulsehalung bei Absoß eine kleinen Gasasse d : Ipuls "vo" Ipuls "nach" dv cd dv cd / ; () Diese Ändeung de Geschwindigkei gil naülich in jede Ineialsyse, auch i "uhenden" Inegaion von () füh zu Ziolkowski-Gleichung: d v c cln cln Beispiel Wie schwe uss eine Rakee indesens sein, dai sie eine Kapsel i de Masse bis zu Geschwindigkei v beschleunigen kann? Anwo: e v/ c ; Beispiel: v=fluchgeschwindigkei (, k/s) c=, ode 4 k/s,/,/,/ 4 e 7; e 4 ; e 6

22 b) Rakee i Schweefeld Das Syse is nich abgeschlossen, de Ipuls bleib nich ehalen De Ipulssaz gil abe fü alle Sysee, auch nich abgeschlossene: Ipuls "vo" dv c d Ipuls "nach" Die Ändeung des Ipulses is gleich Kaf al Zei: dp dv cd Fd ( d) gd g d dv d Daaus folg g c d d () d q is die po Zeieinhei d ausgesoßene Masse Die Gleichung () ni die Fo an: dv g cq Fs S d F s is die Schweekaf, S is de Schub Angenoen, die Massenändeung q is konsan Dann gil: q dv cq cq g g d q cq q v g g c log q Genzfall: kleine q cq g v g c Ein Sa is nu dann öglich, wenn cq g g M S M (Null nach de Schwepunksaz) Aus de Gleichungssyse folg L M Lösung (b): Mi Widesandskaf Das NG fü den Menschen und das Boo: N M M N ode M C Aus den Anfangsbedingungen folg C Soi M A Ende des Pozesses sind, Soi is : Das Boo is a Ende in deselben Lage wie a Anfang! Beispiel Ein Mensch (Masse ) geh vo Bug eines (a Anfang uhenden) Booes (Länge L) zu Heck übe Wie veschieb sich das Boo une den folgenden Annahen: (a) Es gib keine Reibung zwischen de Boo und de Wasse, (b) Es gib eine Widesandskaf popoional zu Geschwindigkei? Lösung (a): keine Reibung Die Länge des Booes is L Veschiebung des Schwepunkes:

23 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Dehipuls, Dehipulssaz (Dallsaz) Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, 6, I Dehipuls (Dall) eines Massenpunkes Den Veko L = p = v bezeichne an als Dehipuls des Massenpunkes is dabei de Radiusveko des Massenpunkes von eine fesen Bezugspunk, de fei wählba is De Dehipuls häng soi von de Wahl des Bezugspunkes ab II De Dehipulssaz (Dallsaz) Zeiliche Ableiung des Dehipulses egib: ɺ d d d L = ( v ) = v + v = d d d = v v + F = + M ( ) M is hie das Kafoen bezüglich desselben Koodinaenuspunges Fü die zeiliche Ableiung des Dehipulses gil soi: ɺ L = M Die zeiliche Ableiung des Dehipulses i Bezug auf einen aufesen Punk is gleich de Moen de a Massenpunk angeifenden Kaf bezüglich desselben Punkes (Dehipulssaz) III Dehipulsehalung Veschwinde das Moen M ɺ, so is L = ode L = cons - de Dehipuls bleib ehalen Andes als bei Ipulsehalungssaz kann de Dehipuls auch in eine nich abgeschlossenen Syse ehalen bleiben Dafü is es nowendig, dass das Kafoen veschwinde (nich abe unbeding die Kaf selbs!) IV Bewegung in eine Zenalfeld Zeig bei eine Bewegung de Kafveko ses zu eine Zenu O hin, so veschwinde das Moen bezüglich O, denn in diese Fall haben F und ses die gleiche Richung, soi gil F De Dehipuls bezüglich des genannen Kafzenus bleib soi ehalen V Ebene Bewegung Lieg die gesae Bahn in eine Ebene (sagen wi (,y)) und wählen wi als Bezugspunk einen Punk in deselben Ebene, so ha de Dehipuls eine einzige Koponene L z Inde z wid in diese Fall eisens ausgelassen Fü die einzige Dallkoponene ehalen wi L = vsinθ = v = ω Beispiel Eine Masse, die von eine Faden gehalen wid, beweg sich i de Winkelgeschwindigkei ω auf eine glaen, waageechen Keisbahn i de Radius De Faden wid duch ein Loch A in de Mie de Keisbahn gefüh a) Wie goß is die Winkelgeschwindigkei ω, wenn de Faden so angezogen wid, dass sich die Masse i Absand beweg? b) Wie ände sich dabei die Fadenkaf? Lösung: Die Spannkaf des Fadens zeig ses zu Punk A Sie ha bezüglich A kein Moen De Dehipuls bezüglich A bleib soi ehalen: De Dehipuls i Anfangszusand: L = ω De Dehipuls i Endzusand: L = ω Aus de Dehipulsehalung ϕ ω = ω folg ω = ω Das NG fü eine Bewegung auf eine Keisbahn une de Wikung de adialen Spannkaf S laue: 4 4 S = ω = ω = ω = S Beispiel Geschwindigkei eines Saellien in Anwesenhei eines kleinen Widesandes Auf die ednahen Saellien wik eine seh kleine Widesandskaf, die sich es übe goße Zeiäue beekba ach Wie ände sich die Geschwindigkei eines Saellien une de Wikung de Widesandskaf?

24 Lösung: In ese Annäheung beweg sich de Saelli auf eine Keisbahn, deen Radius sich abe seh langsa ände De Dehipuls des Saellien is gleich L = v Aus de NG v M fü die Keisbewegung folg = G Inde wi aus diese Gleichung den Radius besien und in die Gleichung fü den Dehipuls einsezen, ehalen wi L = GM v Die Widesandskaf üb auf den Saellien ein kleines negaives Kafoen aus De Dehipuls wid dahe langsa abnehen Das bedeue, dass die Geschwindigkei göße wid: Reibung füh zu "Beschleunigung" des Saellien! VI Dallsaz fü ein Mehköpesyse Beachen wi ein Zweiköpesyse, dessen Köpe sowohl ieinande, als auch i Köpen außehalb des Syses wechselwiken De gesae Dehipuls des Syses is L = p + p = v + v Seine zeiliche Ableiung is gleich L ɺ = v ɺ + ɺ v + v ɺ + ɺ v Nach de NG gil v ɺ = F = F + F, e, v ɺ = F = F + F e, Fü L ɺ egib sich soi L ɺ = F + F + v v + F + F + v v ( e ) ( e ),, ode ɺ L = ( F + Fe, ) + ( F + Fe, ) = = ( ) F + Fe, + Fe, Da und F die gleiche Richung haben (das Newonsche Gesez!) ehalen wi endgülig ɺ L = ( F + Fe, ) + ( F + Fe, ) = = Fe, + Fe, = M e, + M e, = M e ɺ L = M e Die zeiliche Ableiung des gesaen Dehipulses eines Mehköpesyses bezüglich eines fesen Punkes is gleich de esulieenden Moen alle äußeen Käfe bezüglich desselben Punkes (Dehipulssaz) VII Dehung eines Massenpunksyses u eine fese Achse Wi beachen ein Syse von Massen, die alle sa i eine Achse vebunden sind Alle Massen fühen eine ebene Bewegung aus und bewegen sich i de gleichen Winkelgeschwindigkei ϕɺ De gesae Dehipuls (genaue gesag, seine z-koponene) is in diese Fall gleich La = i ɺ i ϕ = Θ ɺ aϕ () Die Göße a i i i i Θ = bezeichne an als Massenägheisoen des Syses bezüglich de gegebenen Achse Leie an () une Beachung von Θ = cons nach de Zei ab, so folg a Θ ɺɺ aϕ = M a Auch diese Gleichung nenn an of Dehipulssaz, obwohl dies lediglich eine spezielle Fo des Dehipulssazes is Beispiel Das in A aufgehänge Pendel beseh aus eine saen, asselosen Sange, an de die Massen und angebach sind Es is die Bewegungsgleichung fü eine ebene Bewegung des Pendels aufzusellen Lösung: Das Massenägheisoen des Syses u den Punk A is gleich ( ) ( 4 ) Θ = l + l = + l Das Kafoen is M = glsinϕ glsinϕ = gl + sinϕ ( ) De Dehipulssaz laue: + 4 l ɺɺ ϕ = gl + sinϕ ( ) ( ) g ( + ) ɺɺ ϕ = sinϕ l ( + 4 )

25 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Kineaik de ebenen Roaion Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III,, 4 I Sae Köpe Einen saen Köpe kann an als ein Syse von Massenpunken definieen, deen Absände unveände bleiben Ein sae Köpe kann i Rau dei unabhängige Tanslaionsbewegungen und dei Roaionen ausfühen Soi is jede sae Köpe ein echanisches Syse i 6 Feiheisgaden II Ebene Roaion Besondes einfach läss sich eine ebene Bewegung eines saen Köpes bescheiben, dh eine Bewegung, bei de sich jede Punk des Köpes in eine Ebene beweg Is ein Punk (O i Bild) des saen Köpes unbeweglich, so kann de Köpe nu eine Roaionsbewegung u diesen Punk ausfühen ( P) sei de Radiusveko vo unbeweglichen Zenu zu eine beliebigen Punk P Es gil: ( P) = e, wobei e ein Einheisveko in ( P) Richung is Fü die Geschwindigkei des Punkes P ehalen wi ( P) ɺ = ɺ e + e ɺ = ɺ ϕe ϕ = ωe ϕ Die zeiliche Ableiung des Winkels ɺ ϕ = ω heiß Winkelgeschwindigkei des Köpes (sie is gleich fü alle Punke des Köpes) III Zusaengeseze Bewegung Zu Bescheibung eine beliebigen Bewegung eines saen Köpes fühen wi zwei Koodinaensysee ein: Ein "aufeses" Syse (,y) und ein i de saen Köpe fes vebunde- ɶ, yɶ Bezeichnungen: A sei ein nes Syse ( ) beliebige Refeenzpunk i Köpe, P is ein beliebige Punk des Köpes, is de Radiusveko des Punkes P i beweglichen (in den Köpe "eingefoenen") Syse P sei de Radiusveko desselben Punkes i aufesen Syse, A sei de Radiusveko des Bezugspunkes A i aufesen Syse Offenba gil: P = A + Die zeiliche Ableiung egib die Geschwindigkei: ɺ P = ɺ A + ɺ = ɺ A + ɺ ϕe () ϕ ɺ A nenn an Geschwindigkei de Tanslaionsbewegung des Köpes, ɺ ϕ = ω die Winkelgeschwindigkei IV Moenanpol Die den zwei Koodinaensyseen enspechenden Einheisvekoen bezeichnen wi als e, e y, e ɶ, e Fü den Radiusveko yɶ des P Punkes P bezüglich des aufesen Koodinaensyses gil dann = + = + e ɶ + ye ɶ P A A ɶ y ɶ Pojekionen auf die Koodinaenachsen (,y): P = P e = ( A + e ɶ ɶ + ye ɶ yɶ ) e = e + e ɶ e + ye ɶ e A ɶ yɶ yp = P ey = ( A + e ɶ ɶ + ye ɶ yɶ ) ey = y + e ɶ e + ye ɶ e A ɶ y yɶ y Daaus folg: = + ɶ cosϕ yɶ sinϕ P A yp = ya + ɶ sinϕ + yɶ cosϕ Die Geschwindigkei des Punkes P ehalen wi duch Ableiung de Koodinaen nach de Zei (dabei wid beücksichig, dass ϕ = ϕ( ) und die Keenegel benuz): ɺ = ɺ + ɶ sinϕ yɶ cosϕ ɺ ϕ P P A A ( ) ( cosϕ sin ) yɺ = yɺ + ɶ yɶ ϕ ɺ ϕ Is ɺ ϕ, so kann an ie einen Punk M finden, dessen Geschwindigkei Null is: ɺ = ɺ + ɶ sinϕ yɶ cosϕ ɺ ϕ = M A ( ) ( ϕ ) yɺ = yɺ + ɶ cos yɶ sinϕ ɺ ϕ = M A Auflösung dieses Gleichungssyses nach ɶ, yɶ gib die Lage von diese Punk in de ( ) sa i de Köpe vebundenen Koodinaensyse: ɶ = M ( ɺ A sinϕ ya cosϕ ) ϕ ɺ, ɺ yɶ = M ( ɺ A cosϕ ya sinϕ ) ϕ + ɺ ɺ Diese Punk heiß Moenanpol des Köpes Da sich Moenanpol nich beweg, kann sich de Köpe nu u diesen Punk dehen

26 Eine beliebige Bewegung eines saen Köpes kann soi (auf kuzen Zeiabschnien) als eine eine Dehung angesehen weden Die Lage des Moenanpols läss sich auch geoeisch besien Aus de vekoiellen Gleichung (): ɺ P = ɺ A + ɺ ϕe ϕ = v A + ωe folg ϕ fü den Moenanpol: ɺ M = v A + ωe ϕ = Daaus folg v e A ϕ = : ω De Veko e ϕ is engegengesez zu v geiche Das bedeue, dass de Veko e, de ie senkech zu e ϕ seh, senkech zu Richung von v A seh In de Pojekion auf die Richung v A laue die Gleichung (): va = ω Daaus = v / ω A Beekung De Moenanpol kann auch außehalb des saen Köpes liegen Beekung De Moenanpol is ein Punk, de sich zu gegebenen Zeipunk nich beweg Die Lage des Moananpols kann sich abe änden Das bedeue, dass sich de Köpe i nächsen Zeipunk u eine ewas veschobene Achse deh usw Die Gesahei alle oenanen Dehzenen nenn an Raspolbahn V Wie finde an den Moenanpol? Sind die Richungen de Geschwindigkeien von zwei Punken eines saen Köpes gegeben (Bild (a)), so lieg de Moenanpol auf de Schni de Senkechen zu den jeweiligen Geschwindigkeien Sind die Geschwindigkeien von zwei Punken paallel zu einande (Bild (b)), so lieg das Moenanzenu auf de Schnipunk de Senkechen zu den beiden Geschwindigkeien i de Vebindungsgeaden de Pfeilspizen beide Geschwindigkeien A Roll ein Köpe auf eine unbeweglichen Fläche ohne Gleien, so befinde sich de Moenanpol i Konakpunk (Bei eine Rollen eines Rades kann an sich vosellen, dass die sae Unelage und das Rad ieinande vezahn sind De Konakpunk kann sich soi elaiv zu Unelage nich bewegen) Beispiel Eine Leie is gegen eine Wand gesüz und geä ins Ruschen Wo lieg de Moenanpol? Lösung: Die Geschwindigkeien des obeen und des uneen Endes de Leie sind enlang de Wand bzw de Boden geiche De Moenanpol lieg auf de Schni de Senkechen zu den Geschwindigkeien Beispiel Ein Sab gleie von eine Sufe (Höhe h) ab Wo lieg das Moenanzenu? Lösung: I Punk A gleie de Sab enlang de Boden, i Punk C in seine eigenen Längsichung Offenba is a / = / h Daaus folg a = / h und y = h + / h Beispiel An eine Achse (A) is unbeweglich ein Zylinde i de Radius a befesig U die gleiche Achse deh sich eine Sange AB i de Winkelgeschwindigkei ω A andeen Ende de Sange is fei dehba ein Rad i de Radius b angebach, das an de unbeweglichen Zylinde ohne Ruschen oll Zu besien is die Winkelgeschwindigkei ω des Rades Lösung: Punk A is de Moenanpol de Sange Fü die Geschwindigkei des Punkes v = ω a + b De Kon- B egib sich soi ( ) B ) akpunk des Rades i de Zylinde is de Moenanpol des Rades Dahe vb = ωb Aus de Vegleich beide Ausdücke folg: ω = ω a + b b ( ) / Weiee Beispiele s Hauge, Schnell, Goss, Technische Mechanik (Beispiele, 4)

27 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Dehung in dei Diensionen, Dehipulssaz, kineische Enegie und Abei bei eine Roaion u eine fese Achse Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III,, I Reine Roaion eines saen Köpes Bei eine Roaion u den Winkel u die Achse veschieb sich de Punk senkech zu Ebene (Achse - Radiusveko) u den Beag sin Wenn wi einen Veko so definieen, dass e enlang de Achse geiche is und den Beag ha, so gil: Fü die Geschwindigkei v egib sich v wobei / die Winkelgeschwindigkei de Roaion des saen Köpes is II Allgeeine Bewegung Zu Bescheibung eine beliebigen Bewegung eines saen Köpes fühen wi zwei Koodinaensysee ein: Ein "aufeses" Syse (,y,z) und ein i de saen Köpe fes vebundenes Syse,, Bezeichnungen: O is ein P beliebige Refeenzpunk i ' R Köpe, P is ein beliebige Punk des Köpes, is de Radiusveko des Punkes P i beweglichen (in den Köpe "eingefoenen") Syse is de Radiusveko desselben Punkes i aufesen Syse, R is de Radiusveko des Bezugspunkes O i aufesen Syse Bei eine zusaengesezen Bewegung (Tanslaion des Punkes O und Roaion u diesen Punk): d ' dr d Mi Bezeichnungen: d dr v, V, d d d d ehäl an: v V Wählen wi jez den Nullpunk des i de Köpe vebundenen Koodinaensyses i Punk O ' i Absand a von O Den Radiusveko des Punkes P elaiv zu neuen Bezugspunk bezeichnen wi i '' a P v V ( '' a) V a '' O' a V' ' '', O V ' V a, ' Die Winkelgeschwindigkei häng nich vo Bezugssyse ab! III Eigenschafen des Vekopodukes (a) a b b a (b) a( b c) ab a c (c) ( a) b ( a b) (d) a( b c) ( ab) c ( c a) b (e) a ( b c) b( a c) c( a b) (f) aa (d) a ( ab) Vekopoduk in Koponenen ( i, j, k - sind Einheisvekoen): a ai ay j azk, b bi by j bzk A ab a b ( i i ) a b ( i j) a b ( i k) y z a b ( j i ) a b ( j j) a b ( j k) y y y a b ( k i ) a b ( k j) a b ( k k ) z z y z z A ( a b a b ) k ( a b a b ) j ( a b a b ) i y y z z y z z y A a b a b y z z y A a b a b y z z A a b a b z y y IV Beschleunigung bei eine Roaion u eine fese Achse Inde wi die Gleichung v nach de Zei ableien, ehalen wi v Bei eine konsanen Winkelgeschwindigkei: v Es is leich zu sehen, dass diese Veko in de gleichen Ebene lieg wie und und ie senkech zu Achse geiche is: v = (Skalapoduk y z i y k z j

28 is Null) De Beag nach is diese Veko gleich v De Beschleunigungsveko bei eine Roaion i eine konsanen Winkelgeschwindigkei is ie senkech zu Achse geiche und is gleich, wobei de küzese Absand vo gegebenen Punk zu Achse is V Gleichzeiige Roaion u zwei Achsen, () d d () d d d d d d ( a) d d a d d d d d Dasselbe gil fü die Winkelgeschwindigkeien: Beispiel Eine Scheibe deh sich i eine Winkelgeschwindigkei u eine veikale Achse, die sich iheseis i eine Winkelgeschwindigkei u eine veikale Achse deh Zu besien is die Winkelgeschwindigkei de Scheibe Lösung: In diese Fall Beispiel : Eine Scheibe deh sich i eine Winkelgeschwindigkei u eine Achse, die sich iheseis i eine Winkelgeschwindigkei u eine hoizonale Achse deh Zu besien is die oenane Winkelgeschwindigkei de Scheibe in de gezeigen Lage Lösung: VI Dynaik de Roaion u eine fese Achse Beachen wi die Roaion eines saen Köpes u eine fese Achse i Wi eilen den Köpe in kleine Eleene i i Fü die Pojekion des Dehipulses auf die Roaionsachse gil L M e, () De Dehipuls is gleich L v i i i i i i i i i i i Seine Pojekion auf die Roaionsachse L Le i e i i i e i i i i cos i i Die Göße i i nenn an Massenägheisoen bezüglich de Roaionsachse De Dehipulssaz () ni soi die folgende Fo an M e, ode M e, (Dallsaz) wobei M e, Kafoen alle äußeen Käfe bezüglich de Roaionsachse is VII Kineische Enegie bei eine Roaion u eine fese Achse v i i i i K ii K VIII Abei bei eine Roaion u eine fese Achse An eine Punk P eines saen Köpes i de Radiusveko geif eine Kaf F an Bei eine Roaion u die gezeige Achse u den Winkel d veschieb sich de Angiffspunk de Kaf u den Veko d d Die von de Kaf F geleisee Abei is da F d F d d F ode da d M zyklische Usellung F

29 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 4 Tägheisoene, Dynaik ebene Bewegung Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, I Analogie zwischen eine eindiensionalen Tanslaion und eindiensionalen Roaion Tanslaion Roaion Koodinae Winkel v Geschwin- Winkelgeschwin- digkei digkei Masse Tägheisoen Kaf Kafoen F M F p v Ipuls L Dehipuls Ipulssaz Dehipulssaz p F L M Kineische Kineische Enegie K v Enegie K v F das NG M sein Analog da Fd Abei da Md Abei II Beechnung de Tägheisoene Das Massenägheisoen eines Köpes bezüglich de z-achse wid definie als i i yi ode d y y dv B B B l l Md Ml d l B4 l/ l/ Md Ml d l l/ l/ Diche +d Sablänge l B5 Plae i den Seien a und b Bei eine Roaion u die Achse y schneiden wi die Voluen d d M l Sablänge l b Plae in dünne Seifen senkech zu y-achse Fü jeden Seifen gil a d d Nach Inegaion übe alle Masseneleene: a y b Bei Roaion u die Achse : B6 "Senkechen-Achsen-Saz" z Fü ebene Figuen (in y de Ebene (,y) liegend) gil z y Beweis: i yi zi y i i y i i zi i i z i i yi y B7 Plae i den Seien a und b senkech zu Plaenebene z y a y Aufgund von B5 und B6: a z b B8 Quade i den Seien a, b und c Tägheisoen bezüglich de z-achse: Wi schneiden den Quade in dünne Plaen senkech zu z-achse z Nach B7 gil fü jede Plae a d dz a b y b Nach Inegaion übe alle Plaen: c z a b a b Analog c, y c

30 B9 Keis i de Radius R Wi schneiden aus de Keis einen dünnen Keising i de inneen Radius und de äußeen Radius d Die Masse d des Keisinges is d d R R Das Tägheisoen des Keisinges is (nach B) gleich d d d Das R gesae Tägheisoen egib sich duch Inegaion von bis R: R R d R B Keis bezüglich eine in seine Ebene liegenden Achse Nach de "Senkechen-Achsen-Saz" (B6) gil R z y y R Daaus folg y 4 B Kugel i de Radius R Wi schneiden R die Kugel in dünne Keisscheiben senkech zu Roaionsachse z Die Masse eine Scheibe is d dz Das Tägheisoen eine 4 d Scheibe is d dz Mi R z egib sich fü das Gesaägheisoen z R z R 8 5 dz R () 5 R Die Diche kann an aus de Gleichung 4 V R ehalen und in () einsezen () ehäl dann die Fo 5 R y Saz von Seine Beachen wi das Tägheisoen s eines saen Köpes bezüglich eine Achse s-s, die duch den Schwepunk S geh und Tägheisoen a desselben Köpe bezüglich eine Achse a-a paallel dazu De Absand zwischen beiden Achsen sei a Zwischen den beiden Tägheisoenen beseh ein Zusaenhang, de duch den Saz von Seine gegeben wid: a s s wobei die Masse des Köpes is Beweis: Das Tägheisoen bezüglich de Achse a is gleich i si a a i si si a i si a i si i i ai a a a s III Dynaik eine ebenen Bewegung Beachen wi die Bewegung eines saen Köpes in eine Ebene (,y) une de Einwikung von äußeen Käfen F Fü ein beliebiges Syse - auch einen saen Köpe - gil ie de Schwepunksaz: s F, wobei s Radiusveko des Schwepunks und F die Sue alle äußeen Käfe is Beachen wi jez die Bewegung des Köpes aus eine Bezugssyse, das eine Tanslaionsbewegung i de Schwepunk des Köpes ausfüh In diese Syse beweg sich de Schwepunk nich und eine beliebige Bewegung is eine eine Roaion u den Schwepunk Dieses Syse is abe ein sich beschleunig bewegendes und soi kein Ineialsyse Fü eine Roaion u den Schwepunk gil de Dehipulssaz in de Fo L s Ms Mschein, wobei Moene alle physikalischen äußeen Käfe und de Scheinkäfe bezüglich des Schwepunks beücksichig weden üssen Das Moen de Scheinkäfe is abe bezüglich des Schwepunkes gleich Null, da die Scheinkäfe i Schwepunk angeifen Soi fallen sie aus de Dehipulssaz aus und e ni die Fo L s Ms an Die Bewegungsgleichungen fü eine ebene Bewegung sind soi s F, ys Fy, s M s

31 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 5 Ebene Dynaik eines saen Köpes: Beispiele Die Gleichungen () und () nehen nun die I Bewegungsgleichungen fü Tanslaionsbewegung und fü Roaionsbewegung Fo Die Bewegungsgleichungen fü eine ebene s g sin N, Bewegung sind s N s F, ys Fy, s M s ode II Hinabollende Kugel s g sin cos, s g cos an H y III Schiefe Ebene i veschiedenen Rollköpen (Epeien) N g Fü einen oaionssyeischen Köpe i Fü eine ebene Bewegung gelen die dei Bewegungsgleichungen s F, ys Fy, de Außenadius R gil s gsin s M s Dabei sind s und y s Koodinaen s / R des Schwepunks und s is das Tägheisoen de Kugel bezüglich des Schweschleunigung (Bei Holzylinde kleine, als Je göße s / R, dh je weie die Masse von 5 de Achse veeil is, deso kleine is die Bepunks Die og Gleichungen lauen: bei Doppelkegel) s g sin H, () N g cos N g cos () s H () Bei Rollen ohne Gleien is de Beühungspunk de Kugel i de Ebene de Moenanpol De Absand des Zenus vo Moenanpol is Soi is die Geschwindigkei des Zenus gleich s (4) Aus de Gleichungssyse ()-(4) folg fü die Beschleunigung 5 s g sin g sin und fü die s / 7 Hafeibung H (/ 7) g sin Das gil abe nu solange diese Hafeibung asächlich ealisie weden kann, dh solange H H N an Is diese Bedingung nich efüll, so wid die Kugel duch- N 7 uschen ZB uss fü eine sählene Kugel 7 i an und 45sein Beginn die Kugel zu uschen, so seig die Reibkaf nich weie, sonden bleib gleich H N IV Enegieehalungssaz Die kineische Enegie eines Köpes beechne sich als die kineischen Enegie de Tanslaionsbewegung des Schwepunks plus die kineische Enegie de Roaionsbewegung bezüglich des Schwepunks v s s K Gib es i Konak kein Gleien (eines Rollen), so leisen die Reibkäfe i Konak keine Abei und die Enegie bleib ehalen Beispiel Roll eine Kugel ohne Gleien wie in (I) aus de Höhe h, so laue de Enegieehalungssaz zwischen de Anfangszusand und de Endzusand a Fuße de geneigen Ebene wie folg: v s s gh Une Beücksichigung de kineaischen Beziehung vs ni de Ehalungssaz die vs svs vs Fo gh s / an V Ein Fahzeug i eine Vode- bzw Hineadanieb a g h H N N

32 Die beiden "Schwepunkgleichungen" lauen H und N N g De Dehipulssaz bezüglich des Schwepunkes is: N N hh Hieaus folg a a g h g h N H, N H a a Die aiale Hafkaf genüg de Bedingung g h Ha N Ha H a (5) a g H a Die aiale Beschleunigung is soi a Dies h/ a g h/ a gil nu solange N is Die aiale Reibkaf is enwede duch die Bedingung (5) beschänk ode duch die Bedingung, dass die Vodeäde nich abheben: g h ga N H, H I zweien Fall a h wäe die aiale Beschleunigung gleich ga a Die aiale Beschleunigung is h gleich de kleinsen von zwei gefundenen Ween I Fall des Vodeadaniebs genüg die aiale Hafkaf de Bedingung Ha N g Daaus folg H g a h/ a N (kleine als bei Anieb übe die Hineäde) VI Schaukeln auf eine Recksange i de Apliude 9 Zu besien is de aiale We de hoizonalen Koponene de Lageeakion Modellieen wi den Menschen als einen hoogenen Sab i de Masse A l N y A y A Ehalungssaz: l g sin ode gl sin Diffeenzieen nach de Zei egib gl cos Die hoizonale Kafkoponene egib sich aus de Schwepunksaz: A s Fü s gil s ( l/ )cos Zweialiges Diffeenzieen egib ( l / )cos ( l / )sin s gl 9 sin g sin 8 8 Die Reakionskaf A (9/ 8) g sin eeich ihen (beagsäßig) aialen We (9/8)g bei 45 VII Ruschen eine Leie Zu besien is die Geschwindigkei v des l M Schwepunks als Funkion des Winkels Lösung: De Moenanpol befinde sich i Punk M De Absand vo Moenanpol zu Schwepunk is gleich l / Die kineische Enegie is gleich l K l l M 6 Enegieehalungssaz: g( l / )sin l / 6 gl / ( g/ l)( sin ) Die Schwepunkgeschwindigkei is soi gleich l vs ( gl / 4)( sin ) g Die Winkelgeschwindigkei kann aus de Enegiesaz besi weden Enegie "vo": U, K Enegie bei : U g( l / )sin, K /

33 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 6 Dehipulsehalungssaz, Ezenische Soß Lieau: Hauge, Schnell und Goss Technische Mechanik III, I Dehipulsehalung: Aus de Dehipulssaz L M folg, dass wenn das gesae Moen alle an eine Syse angeifenden äußeen Käfe bezüglich eines Bezugspunkes gleich Null is, de Dehipuls bezüglich desselben Punkes konsan bleib Beekung : Das Syse uss nich abgeschlossen sein Nu das Moen de einwikenden Käfe uss veschwinden! Beekung : Die Ehalung des Dehipulses gil auch fü einzelne Richungen, auf welchen die Pojekion des Moenenvekos gleich Null is B Bei Dehung u eine fese Achse ohne Reibungsoen gil L cons Veinge sich das Tägheisoen, so wid die Winkelgeschwindigkei göße (Epeien i Dehscheel) B Häl an in den Händen eine Einichung i eine Roo und vesuch an, die Roaionsachse zu änden, so enseh eine Roaionsbewegung in de engegengesezen Richung ( Epeien i Dehscheel) B Ein Sab iff i de Geschwindigkei v auf ein Lage A und wid do eingeknick Zu besien is die Winkelgeschwindigkei nach de Aufpall Lösung: l Das Kafoen bezüglich l/ A des Punkes A v is gleich Null Deshalb bleib de Dehipuls ehalen Bei eine Tanslaionsbewegung is L v v v i i i i i s Fü den Dehipuls haben wi deshalb: l "vo": L v 6 "nach": l l L l 6 9 L L v l Wie goß is Enegievelus bei diese Soß? l l K v, v v K 9 8 l 8 /4 de Enegie geh veloen B4 Zu beechnen sind lineae und Winkelgeschwindigkei sowie die Lage des Moenanpols nach eine plasischen Soß v l Lösung: Die Enegie bleib hie nich ehalen Abe de Ipuls und de Dehipuls bleiben ehalen, und zwa bezüglich eines beliebigen Bezugspunkes, da dies ein abgeschlossenes Syse is Ipuls "vo": v l Ipuls "nach": v v Ipulsehalung: l v v l v v v Sellen wi den Dehipulssaz bezüglich des Schwepunkes des Sabes auf: l Dehipuls "vo": v l l Dehipuls "nach": v Sab Dehipulsehalung: ( l /) v ( l /) ( l /) v v' Sab ode Sab v ( l / ) v l Mi Sab l / folg daaus v l v Lösung des uahen Gleichungssyses 6 v egib und v v 5 l 5 De Moenanpol befinde sich une de v Schwepunk i Absand l l 6 Diesen Punk nenn an Soßielpunk Wid de Köpe in diese Punk gelage, so een bei Soß keine Lageeakionen auf B5 In welche Höhe h uss eine Billadkugel hoizonal angesoßen weden, dai sie auf glae Bahn nach de Soß oll? F Lösung: Die Rollbedingung bedeue, S h dass de Konakpunk i de Bo- A

34 den de Moenanpol is Dahe gil v () s Schwepunksaz: vs F () s F h () Dividieen von () duch () egib s 7 h vs 5 Dasselbe Egebnis ehäl an auch, wenn an den Dallsaz bezüglich des Moenanpols scheib (is in diese Fall ichig, abe nich epfohlen) Dehipulssaz: B6 Ein geschlossenes zylindisches Gefäß (innee Radius R, Höhe h, Tägheisoen ) gefüll i Wasse wid schnell bis zu eine Winkelgeschwindigkei beschleunig Welche Winkelgeschwindigkei wid sich i Zusand einsellen, in de sich das Gefäß und das Wasse als ganzes dehen? Reiboen in de Achse is zu venachlässigen Lösung: Nachde das Gefäß in die Roaion gesez wude, ha es den Dehipuls L I Endzusand is de Dehipuls gleich L R Da auf das Syse (bezüglich de Achse) keine äußeen Moene wiken, bleib de Dehipuls ehalen: L L Daaus folg Da- R auf beuh zb die Mehode, i de an ein ohes Ei von eine gekochen Ei unescheiden kann B7 Ballisisches Pendel Die Geschwindigkei eine Kugel kann geessen weden, inde sie in ein "Ballisisches Pendel" (auch Soßpendel) geschossen und dessen Ausschlagwinkel geessen wid Wie häng die Geschwindigkei de Kugel von de aialen Winkel ab? (Gegeben: Das Tägheisoen des Pendels bezüglich des Aufhängepunkes, Masse M des Pendels, de Höhenabsand h zwischen de Aufhängepunk und de Punk, wo die Kugel das Pendel iff, Absand l zwischen de Aufhängepunk und de Schwepunk des Pendels, Masse de Kugel) Lösung: Wi beachen dei Zusände: Diek vo de Zusaensoß Diek nach de Zusaensoß Maiale Auslenkung des Pendels Zwischen und ände sich de Winkel nich (dh e bleib Null) Das Kafoen alle Käfe bezüglich des Aufhängepunkes is Null, soi gil de Dehipulsehalungssaz: hv hv h () h Ab diese Moen (zwischen und ) bleib die Enegie ehalen: hv h h cos g Ml () Aus () und () folg v h g Ml h cos h B8 Eine Kugel söß elasisch i eine Wand zusaen Zu besien sind die Geschwindigkei und die Winkelgeschwindigkei nach de Abpall (kein Gleien i Konak) v Bezüglich des Konakpunkes O is das Dehoen alle Käfe wähend des Soßes gleich Null Dehipulsehalung: vsin v sin s () Bei elasischen Soß bleib auch die Enegie ehalen: v v S an () Rollen ohne Gleien: v vsin () Aus diesen dei Gleichungen kann an dei Unbekanne v, und besien Mi () nehen () und () die Fo vsin vsin / S v v S sin / ZB wenn 9, so is sin 5/7, 45 und 7 v v' v H O N v'

35 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 7 Keiselbewegung, Tenso de Tägheisoene I Dehipuls bei eine Dehung u eine beliebige Achse cos a y sin y F L b b a F y b an a b L cos a Ly y y sin a sin a b a an an b cos b a b De Veko des Dehipulses deh sich u die Achse II Zeiliche Ändeung eines oieenden Vekos Wenn ein Veko A sich i de Winkelgeschwindigkei deh, so gil A A Beispiele: (a) Geschwindigkei v a v v (b) Beschleunigung (c) Ändeung des Dehipulses L L III Die in de Achse bei eine Roaion wikenden Käfe Nach de Dehipulssaz gil L L M Ände sich de Dehipuls, so uss ein Kafoen wiken! Die Ändeung des Dehipulses zeig in die Tafel In den Lagen uss soi ein Käfepaa wiken, wie i Bild gezeig Wohe sa dieses Kafoen? Beachen wi die Plae i oieenden Bezugssyse Duch die Zenifugalkäfe enseh ein Kafoen in de gezeigen Richung Die Reakionskäfe in den Lagen wiken in die engegenseze Richung Was geschieh, wenn die Achse nich fesgehalen wid? IV Syeische Keisel Definiion: y z Zu Beispiel: A Reguläe Päzession (Nuaion) eines syeischen Keisels L L L L Winkelgeschwindigkei de Dehung u die Syeieachse: L Lcos Lsin P sin Daaus P L Die Keisachse bescheib einen Keiskegel u die Richung L V Päzession une de Einwikung eines Kafoenes Wenn wi die Keiselachse gleichäßig u die veikale Achse dehen, wie ände sich de Dehipuls? VI Spielkeisel -F L in die Tafel geiche F L L M Wenn die Käfe in veikale Ebene wiken, so beweg sich die Achse in de hoizonalen Ebene P h L g

36 L PLsin gl sin gl gl P L Asonoisches Beispiel: Päzession de Ede Sonne Peiode de asonoischen Päzession 58 Jahe VII Päzession und Nuaion P äz Nu VIII Saz vo gleichsinnigen Paallelisus de Dehachsen (Foucaul) Die Keiselachse vesuch sich gleichsinnig paallel i de Achse de Zwangsdehung zu sellen

37 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 8 Die Euleschen Gleichungen, Lageeakionen bei Rooen Lieau: Hauge, Schnell und Goss: 4, 4, 44 I Tägheisenso (dieses Seese ohne Heleiung) Die neunkoponenige Göße y z ij y yy yz z zy zz i ij ij i j heiß Tägheisenso Die Diagonaleleene, yy, zz sind aiale Tägheisoene, nich diagonale Eleene y usw sind Deviaionsoene In eplizie Fo y z ik y yy yz z zy zz y z y z y z yz z zy y Fü ein Koninuu ik dv ik i k De Dehipuls beechne sich i Hilfe des Tägheisensos als L i ij j j, y, z ode ausfühlich: L j j y y z z j L y yj j y yy y yz z j L z zj j z zy y zz z j Die kineische Enegie beechne sich als K iji j iji j i, j, y, z II Haupägheisachsen und Haupägheisoene Man kann ein kaesisches Koodinaensyse ie so wählen, dass de Tägheisenso eine Diagonalfo anni Diese Koodinaenachsen heißen Haupägheisachsen und die Diagonaleleene des Tensos Haupägheisoene In Haupachsen veschwinden alle Deviaionsoene: ik De Dehipuls und die kineische Enegie haben dann eine besondes einfache Fo: L L y y y L z z z, () K y z III Die Euleschen Gleichungen Wenn an den Dehipuls bezüglich de Haupachsen beechne, so uß an bei Beechnung de zeilichen Ableiung noch die Dehung de Achsen selbs beücksichigen dl dl L M d d Sind, und Roaionsgeschwindigkeien bezüglich de Haupachsen des Tägheisensos, so kann an den Dehipulssaz in de folgenden Fo scheiben (Eulesche Gleichungen): M M M Beispiel : De oenenfeie syeische Keisel (ein Köpe in kadanische Lageung ode auch ein fei fliegende Köpe) Wenn is, dann is Dh u die Syeieachse deh sich de Köpe i eine konsanen Geschwindigkei Beispiel : Bei kleinen Roaionsgeschwindigkeien sind alle dei Roaionen unabhängig! Beispiel : Kolleühle Ein u eine hoizonale Achse A fei dehbaes Rad oll längs eines Keises ab Die Achse A wid duch eine zwangsläufige Fühung übe eine veikale, angeiebene und i eine A

38 Kadangelenk vesehene Achse B eingeleie und unehalen (Winkelgeschwindigkei ) Zu besien is die vo Rad auf den Boden ausgeübe Kaf Lösung: Den Dehwinkel u die Syeieachse bezeichnen wi als Die Winkelgeschwindigkeien u die dei Haupachsen sind dann: R cos sin sin Die Euleschen Gleichungen: M M R sin M R cos De Beag des Kafoenes is R M N GR M N G G g R Bei schnelle Roaion kann die Duckkaf viel göße als die Gewichskaf weden! Beispiel 4: Keiselwikung bei Lufschaube Bei eine Rechskuve wid die Flugzeugnase nach unen gedück und bei eine Linkskuve nach oben Bei zweiooigen Flugzeugen und gegenseiig laufenden Lufschauben weden die Tagflügel vedeh IV Lageeakionen bei ebene Bewegung Deh sich de Köpe u eine fese Achse z, gil,, z Fü den Dehipuls y haben wi L L i ij j ij j j, y, z j j y y zz j R N G y yj j y yy y yzz j z zj j z zy y zz z j L L Die Ändeung des Dehipulses beechne sich dl als L L ode d L L L L z z y y yz z z z z y z z z yz z yz z z z L L Lz zzz Ly yl zzz Aus de Dehipulssaz folg M, z z z yz yzz zz M y, zz z M z, Die die Gleichung is die übliche Fo des Dallsazes bei eine ebenen Roaion u eine fese Achse Die esen zwei Gleichungen geben die seiens de Achse wikenden Reakionsoene Die Reakionsoene een nu bei eine Abweichung von eine syeischen Fo auf (wenn Deviaionsoene nich gleich Null sind) Beispiel 5: Auswuchen eines Rades An eine Auoad (Dehachse z) befinde sich eine Unwuch i de Masse Welche Massen und üssen an den Sellen () und () angebach weden, dai das Rad ausgewuche is? Lösung: Das Rad is ausgewuche, wenn de Schwepunk auf de Dehachse lieg und die Deviaionsoene veschwinden: zy e e e Auflösen liefe die gesuchen Massen e e e e, e e e e

39 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 9 Schwingungen, Fedezahlen, iaginäe Eponenen Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 5, 5, 5 Beispiele fü Schwingungen - Masse an eine Fede - Schwingungen in elekischen Keisen - Elekonen in eine Ao - Regelungssysee - Ökologische Sysee - Wischafliche Sysee - I Peiodische Schwingungen: T - Peiode T f - Fequenz (Einhei Hez: Hz=/s) T Ia Haonische Schwingungen Asin Keisfequenz T ; f T ; Allgeeine Fo von haonischen Schwingungen: C cos Ccos cos Csin sin Acos Bsin ; A Ccos, B Csin ; C A B, acan B A II Haonische Schwingung und Keisbewegung C cos Phasenwinkel (ode Phase) Keisfequenz und Winkelgeschwindigkei sind in diese Fall Synonye III Einassenschwinge Beachen wi eine Masse gekoppel an eine sae Wand i eine linea elasischen Fede Beachen wi dieses Syse zunächs une Venachlässigung de Schweekaf Das zweie Newonsche Gesez laue: c c ode Die allgeeine Lösung diese Gleichung is Acos Bsin Die Konsanen A und B beechnen sich i Hilfe von Anfangsbedingungen: v Daaus folg, A, B v/ Die Lösung laue soi v cos sin Die Apliude de Schwingung is gleich / C v, die Phase acan v c/ wid Eigenkeisfequenz genann Kineische und poenielle Enegie oszillieen, wobei ihe Sue konsan bleib: E T U c C sin Enegie cc cc cos cons IV Physikalisches Pendel Beache wid ein beliebige sae Köpe, de eine ebene Bewegung u eine fese Achse A ausfüh De Dehipulssaz bezüglich de Roaionsachse laue: A gl sin Fü kleine veeinfach sich die Gleichung zu gl ode i A gl / A Fü den Sondefall eines aheaischen Pendels ehalen wi gl / gl / l g / l A V Fedezahlen elasische Sysee Bei eine linea elasischen Fede gil F c l De Seifigkeiskoeffizien kann soi definie weden als c F / l

40 Dehnfeden Elasiziäsodul E E F l AE E F l A l l Biegefeden (Blafeden) Elasiziäsodul E, geoeisches Tägheisoen des Queschnis is I AE c l Aus de Saik is bekann, dass die Veschiebung des Endpunkes des Balkens is gleich Fl EI EI F c EI l l Eine auf beiden Enden gesüze Blafede F In diese Fall is Veschiebung wie bei eine einseiig eingespannen Balken de Länge l / une de Wikung eine Kaf F /: l / Fl F EI 48EI 48EI c l VI Paallelschalung von Feden Gesaseifigkei c* c c VII Reihenschalung von Feden Gesaseifigkei c* c c l VIII Lineae Diffeenialgleichungen i konsanen Koeffizienen A Hoogene Gleichungen n n d d d an an a a n n d d d Allgeeine Lösungsansaz: Ce, cons A F/ F/ F l/ l/ c l c c c F Einsezen in die Gleichung egib die chaakeisische Gleichung: n n n an an an a Dies is eine algebaische Gleichung n -e Odnung Sie ha genau n Wuzeln:,, n (Theoe von Gauß) Die allgeeine Lösung de Diffeenialgleichung is: n C e C e C e n Beispiel 5 6 ; ) e ) 5 6 ) ; ; Allgeeine Lösung: Ce Ce Beispiel 9 ; Chaakeisische Gleichung: 9 ; 9 ; ; ; Allgeeine Lösung: C e C e Beispiel 9 ; Chaakeisische Gleichung: 9 ; 9 ; i ; i ; Hie i is iaginäe Einhei: i i Allgeeine Lösung: C e C e IX Iaginäe Eponenen 4 e!! 4! i 4 e i i i i i!! 4! 4 i ; i i i i ; i 4 5 i i i!! 4! 5! 4 6! 4! 6! 5 7 i! 5! 7! cos isin : i e cos isin (Eulesche Foel) Beispiel Fosezung i i C e C e C cos i sin C cos i sin C C cos ic ic sin A Acos Bsin B

41 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Gedäpfe Schwingungen Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 5 I Gedäpfe Schwingungen Bewegungsgleichung (das NG): d c Fedekaf Däpfungskaf (viskose Reibung) Sandadfo: d c - die Bewegungsgleichung fü feie Schwingungen eines gedäpfen Einassenschwinges II Lösung i de Eponenialansaz Gegeben sei die DGL Lösung: Ansaz Ae Die Chaakeisische Gl ha zwei Wuzeln, Die Allgeeine Lösung is Ae Be Dei Fälle: A Kleine Däpfung, i * ; i * i* i* C e C e i * i * C e e C e e e Acos * Bsin * Ce cos * Das is eine Schwingung i de Keisfe- quenz * und eine nach de Gesez e abnehenden Apliude heiß Abklingkoeffizien [ s ] Die "Peiode" (zb Zei zwischen zwei Maia) T / * / seb bei gegen B Goße Däpfung Beide, sind eell (und negaiv) Ae Be Anfangsbedingungen: v, Zwei Eponenen Ae Be A B A e B e A B v v A v ; B v v e e z B fü, v v v e e e e Übegedäpfe Schwingungen C Apeiodische Genzfall, In de lezen Gleichung des Abschnis B sezen wi und lassen gegen Null seben:

42 v e e e e v v e v e Die allgeeine Lösung is in diese Fall Ae Be e v e Abhängig von den Anfangsbedingungen können sich folgende Bewegungen egeben: III Enegie bei nich gedäpfen und gedäpfen Schwingungen Fü ungedäpfe Schwingungen gil E T U c C sin Enegie cc cc cos cons Die Enegie bleib ehalen De Mielwe de kineischen Enegie is dabei gleich de Miewe de poeniellen Enegie: K U E / Fü gedäpfe Schwingungen uliplizieen wi d c i : d c d d c d d d d de d K 4 K d Mielung übe eine Peiode egib: de d 4 K E Die Enegie ni soi nach de Gesez E E e ab IV Schwingungen in Anwesenhei ockene Reibung Ein Kloz (Masse ) bewege sich auf eine Unelage (Reibungskoeffizien ) Die Reibungskaf R g is ses gegen die Geschwindigkei geiche Das NG liefe: c R, c R,,, R / Bei den Anfangsbedingungen, beweg sich de Kloz nach links, ; / is eine Paikulalösung de nich hoogenen Gleichung Die allgeeine Lösung is Acos Bsin / ; Einsezen de Anfangsbedingungen: A / B egib B und A / Die endgülige Lösung is: / cos / ; Diese Lösung gil solange / sin Die Geschwindigkei wüde ih Vozeichen änden, wenn sin Das geschieh zu Zeipunk / In diese Moen is / / / Dh nach eine halben Peiode ha de Ausschlag u / abgenoen In de nächsen halben Peiode wid offenba dasselbe passieen Nach eine endlichen Zahl von Halbpeioden ko de Köpe vollsändig zu Sillsand

43 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Ezwungene Schwingungen, Resonanz Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 5 I Ezwungene Schwingungen ohne Däpfung Feischni: Fel Bewegungsgleichung: c F c F Angenoen die äußee Kaf ände sich nach de Gesez F F cos Bewegungsgleichung: c F cos Lösungsansaz: Ccos Einsezen in die Bewegungsgleichung liefe Ccos cc cos F cos C c F F F F C c c Zu besien is ihe Bewegung une de Wikung de Kaf F F cos Lösung: Aus () folg () A F F () A sin B cos sin B F Daaus folg: B, A Die Lösung laue F F cos cos F cos cos coscos () cos cos a b F Die Lösung: cos () heiß Paikulalösung de DGL Aus () folg: wenn, ha dasselbe Vozeichnen wie F Koodinae und Kaf schwingen in gleiche Phase wenn, ha engegengesezes zu F Vozeichnen Die Koodinae schwing in Gegenphase zu Kaf Apliude wid, wenn - RESONANZ Die Allgeeine Lösung sez sich aus de allgeeinen Lösung de hoogenen Gleichung und eine Paikulalösung zusaen: F Acos Bsin cos () Beispiel: Zu Zeipunk befinde sich die Masse in Ruhe i Gleichgewich: (Anfangsbedingungen: (), v() ) Sondefall (Resonanz) In () sezen wi ein und lassen F F cos cos cos( ) cos F cos( ) cos F sin sin F (Resonanzfall) (Bild d oben) sin c sin Resonanzfall d

44 II Schwebungen Of weden Schwingungen i veschiedenen Fequenzen übelage Ezwungene Schwingung ohne Däpfung is ein ( ) C cos cos Beispiel hiefü: Wi unesuchen den Fall, wo die beiden Fequenzen fas gleich sind: ( is eine kleine Fequenzdiffeenz, ) /, wobei de Mielwe de beiden Fequenzen is Fü den uns ineessieenden Ausduck cos cos egib sich coscos Es gil /, sin sin / cos / cos / cos cos / cos cos / sin sin / cos cos sin sin / Diese A von Schwingung heiß Schwebung (Bild b oben) III Ezwungene Schwingungen i Däpfung Bewegungsgleichung: c d F, cos F / cos F F Dies is eine lineae, nich hoogene DGL Tigonoeische Funkionen und iaginäe Eponenen e e e Schnelle Schwingungen i i i cos isin cos isin i i i e cos cos ( e e ) /, i i i i e e i sin sin ( e e ) / Paikulalösung Wi sellen cos als Sue von Eponenialfunkionen da: cos ( e e )/ und i i lösen dann die Gleichung i i f / ( e e ) langsa oszillieende Apliude F Fede Wegen de Lineaiä können wi die Aufgabe Feischni: F F Däpfe in geenne Lösungen von zwei Aufgaben eilen f / e i und i f / e Diese Gleichungen lösen wi i de Eponenialansaz: () e i i, () e i f / i f / f / i, f / i Die paikuläe Lösung is: f/ i f/ i () e e i i 4 e i f / i i 4 i e f cos sin cos Dies is eine haonische Schwingung i de f Apliude 4 und de Phasenveschiebung : an Das Vehälnis ( ) V () 4 heiß Vegößeungsfunkion Sie zeig, u wie viel göße die Schwingungsapliude veglichen i de saischen Fall is De aiale We de Vegößeungsfunkion: ( ) Va Q heiß die Güeziffe () des Schwinges

45 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Ezwungene Schwingungen i Däpfung (Fosezung) Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 5 I Ezwungene Schwingungen i Däpfung Feischni: F Bewegungsgleichung: c d F, cos F F F / cos f cos Genauso, wie bei feien gedäpfen Schwingungen is es beque koplee Zahlen zu benuzen II Lösung von lineaen, nich hoogenen Diffeenialgleichungen Eine lineae, nich hoogene Gleichung n n d d d an an a a f ( ) n n d d d is leich lösba i Fall, wenn die Funkion f() eine Eponenialfunkion is: p f () Fe ( p is eine beliebige Konsane) Allgeeine Lösungsehode: Suche paikuläe Lösung in de gleichen Eponenialfo: p Ce Einsezen in die DGL liefe: n n n C a p a p a p a F n n n Daaus folg F C a p a p a p a n n n n n n Diese Mehode funkionie auch bei haonischen Funkionen f(), da igonoeische Funkionen übe die Eulesche Foel i de Eponenialfunkion vebunden sind III Koplee Zahlen Koplee Zahlen sind Zahlen de Fo z iy " i " is hie die iaginäe Einhei: i heiß Realeil, y Iaginäeil de Zahl: Re( z), y I( z) Die zu z kople konjugiee Zahl is z* iy Die kople konjugiee Zahl beko an duch Ändeung des Vozeichens vo " i " Beag eine kopleen Zahl: Offenba gil F Fede z z* iy iy y z z y F Däpfe Polae Dasellung von kopleen Zahlen Eine koplee Zahl is eindeuig duch Angabe ihe Real- und Iaginäeile definie, dh duch die Angabe eines Paas (,y) Jede kopleen Zahl kann eindeuig ein Punk auf de Ebene (,y) zugeodne weden (und ugekeh) Jede Punk auf de Ebene kann abe auch eindeuig duch seine Polakoodinaen definie weden: cos, y sin Die koplee Zahl ha dann die Fo i z cos i sin e is offenba gleich de Beag de kopleen Zahl z y heiß Phase de kopleen Zahl: an y / I( z) / Re( z) i cos Re( e i ), sin I( e ) Lösungsweg (de bese Weg) cos wid als Realeil eine kopleen Eponenialfunkon gesehen Beispiel Gegeben sei eine peiodische Göße, zb Kaf F( ) F cos Sie kann als Realeil eine kopleen Funkion i F() F e beache weden: F( ) Re F( ) Beispiel Gegeben sei eine Kosinus-Funkion i eine Phasenveschiebung: i cos Re i i ReF e e ˆ i Re F e F F F e F is die koplee Apliude ˆ i F F e Meke: De Koeffizien vo de kopleen Eponenialfunkion kann auch eine koplee Zahl sein! De Hinegund de Mehode: Wi beachen die Gleichung f ( ) Angenoen, eine paikuläe Lösung de Gleichung fü f( ) cos is ( ) und fü f( ) sin geade ( ) Die Lösung fü f ( ) af( ) bf( ) is dann ( ) a( ) b( ) Insbesondee fü die Kaf i f ( ) f cos if sin f e laue die Lösung ( ) f( ) if( )

46 Dh: De Realeil de Lösung bei eine kopleen Kaf is gleich de Lösung une de Wikung des Realeils de Kaf Lösungsschie: Schi : Wi ekennen eine eelle peiodische Kaf F cos als Realeil eine kopleen i Funkion: Fcos ReFe Schi : Die gegebene eelle Kaf esezen wi duch die koplee: i F / e Schi : Eponenialansaz e : ˆ i i i e F / e ˆ i Schi 4 : Koplee Apliude: F ˆ () i Dai is die Lösung de Esazgleichung F i () e i Schi 5 : Die koplee Apliude () sellen wi in polae Fo da: ˆ e i i ˆˆ* an Re F, 4 I ˆ i Schi 6 : Reˆ e i i Ree e cos Egebnis : ( ) cos Schwingungsapliude: F 4 Phasenveschiebung: acan IV Die allgeeine Lösung sez sich aus eine paikuläen Lösung de nich hoogenen Gleichung und de allgeeinen Lösung de hoogenen Gleichung zusaen ZB fü kleine Däpfungen: ( ) cos e Acos * Bsin * Nach eine auseichend lange Zei wid das zweie Glied abklingen Dann wid die Lösung nu duch die paikulae Lösung de nich hoogenen Gleichung besi Beispiele fü Übegangspozesse (Einschwingvogang): V Beispiele fü ezwungene Schwingungen Beispiel: "Fußpunkeegung" Bewegungsgleichung: c d, c d c F c d c cos, dh idenisch i de Fall eine Eegung duch eine Kaf F( ) c cos F Beispiel: Eegung übe einen Däpfe Bewegungsgleichung: c d d F, c d d sin, dh idenisch i de Fall eine Eegung duch eine Kaf F( ) d sin Zu beechnen is die Schwingungsapliude Lösung F( ) I( d i e ) ˆ i Schwingungsapliude: 4 Vegößeungsfunkion: V 4 F cos F cos

47 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung Schwingungen von Syseen i zwei Feiheisgaden Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 54 I Zwei gekoppele Pendel lsin In diese Fall kann an die allgeeine Lösung aufscheiben ohne die Bewegungsgleichungen aufzusellen Bei kleinen Auslenkungen is dies ein lineaes Syse Wenn wi einige "Lösungen" eaen haben, dann is auch ihe Supeposiion i beliebigen Koeffizienen eine ögliche Bewegung Fall (a) Wenn beide Pendel u den gleichen Winkel ausgelenk weden ( ), so laue de Dehipulssaz fü jedes Pendel l M gl sin Fü kleine Winkel: g/ l is dies die Schwingungsgleichung i de Fequenz g/ l Fall (b) Wenn die Pendel u den gleichen Winkel in engegengesezen Richungen ausgelenk weden, laue de Dehipulssaz: l gl sin kd sin cos Bei kleinen Winkeln esezen g kd wisin, cos : l l Dies is eine Schwingungsgleichung i de Fequenz g kd l l Bezeichnen wi die Auslenkung des esen Pendels i und des zweien i Unsee zwei "Lösungen" (zwei ögliche Schwingungsfoen) (a) und (b) lassen sich wie folg scheiben: "Lösung " (Bewegungsa ): () () () A cos B sin () () () cos sin A B a b "Lösung " (Bewegungsa ): () () () A cos B sin () () () cos sin A B Diese zwei Bewegungsfoen nenn an "noale Moden" ode "noale Foen" ode "Eigenfoen" ode "Haupschwingungen" des Syses Die (Keis)Fequenzen und sind Eigen(keis)fequenzen "Allgeeine Lösung": () () () () A cos B sin A cos B sin () () () () cos sin cos sin A B A B Beispiel Zu besien is das Bewegungsgesez von zwei gekoppelen Pendeln i den folgenden Anfangsbedingungen: (), (), (), () Aus de allgeeinen Lösung folg () () () A A A () A () () () / () A A () () () B B B () B () () () () B B Die Lösung laue soi ( ) cos cos ( ) cos cos Wenn is, so bescheiben beide Gleichungen die Schwebungen II Wie finde an die Eigenfoen? Lösungsehode

48 Beachen wi das oben gezeige Zweiassensyse und sellen fü dieses die Bewegungsgleichungen auf: k k( ) k k( ) Suieen beide Gleichungen egib d k d Subahieen: d k d Bezeichnungen: X, Y Gleichungen A und B nehen die Fo d X dy kx und ky an d d Ihe Lösung: () () X ( ) A cos B sin () () k/ k Y ( ) A cos B sin i, / Ukehansfoaion: X Y X Y, III Reguläe Lösungsehode Wi beachen das folgende Syse: Die Bewegungsgleichungen lauen k k( ) k( ) Suchen wi Lösungen in de Fo: X cos, Y cos Einsezen in die Bewegungsgleichungen liefe X kx k( Y X ) Y k( Y X ) ode nach Ufoung k X ky (5) kx k Y (6) Bedingung fü die Lösbakei des Syses: k k k k Die äquivalene, fequenzabhängige Seifigkei is gleich 4 ( ) * k k k k k k k Eigenfequenzen sind solche Fequenzen, bei denen die äquivalene, fequenzabhängige Seifigkei Null wid: k k Das 4 is genau die chaakeisische Gleichung, die wi oben auf eine andeen Weg ehalen haben (chaakeisische Gleichung) 4 4 k k k k Eigenfequenzen:, k k k k 5 (7) 6, 6 i k/ Eigenfoen beko an, inde an (7) in Y / k X (5) ode (6) einsez: k 5 5 Y X 6X k 5 5 Y X 6X Man kann die Lösungen auch in de Maifo dasellen: C cos 6 C cos 6 Auf ähnliche Weise kann an zeigen, dass de sin-ansaz zu gleichen Egebnis füh Es gib zwei weiee unabhängige Lösungen: C sin 6 4 C4 sin 6 4 Die allgeeine Lösung laue: 4 Sie enhäl 4 Konsanen, die an aus den vie Anfangsbedingungen besien kann IV Lösung i kopleen Fedezahlen

49 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 4 Ezwungene Schwingungen i zwei Feiheisgaden Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 54 I Ezwungene ungedäpfe Schwingungen Wi beachen das skizziee Syse: Die Bewegungsgleichungen lauen k k( ) k( ) F( ) k k ( ) k F() ( ) Die allgeeine Lösung diese nich hoogenen DGL is gleich de Sue eine Paikulalösung de nich hoogenen Gleichung und de allgeeinen Lösung de hoogenen Gleichung (a) Lösung de hoogenen Gleichung In ungedäpfen Syseen kann an auf gleiche Weise einen Sinus- ode Kosinus- ode Eponenialansaz vewenden Nehen wi den cos-ansaz: X cos, Y cos Einsezen in die Bewegungsgleichungen liefe X kx k( Y X ) Y k( Y X ) ode nach Ufoung k X ky () kx k Y Bedingung fü die Lösbakei des Syses (chaakeisische Gleichung): k k k k k k Eigenfequenzen: 4 () k k k k 5, 6 k/, 6 k/ () Eigenfoen beko an, inde an () in Y / k X () einsez: F() Die Deeinane () kann an nach de Theoe von Vie ufoen (wid späe benuz): (4) (b) Paikulalösung de nich hoogenen Gleichung Die äußee Kaf sei F( ) F cos In ungedäpfen Syseen weden die Lösungen in de gleichen Fo wie die Kafeegung gesuch: X cos, Y cos Einsezen in die Bewegungsgleichungen liefe k k X Y k k F X Y f Die Deeinanen X und Y sind k, k X f, k f,, Y f k, f Soi X k/ X f, (5) Y k/ Y f (6) X und Y weden goß bei und (zwei Resonanzen) Nueisches Beispiel Beachen wi folgendes nueisches Beispiel:, k k Die Eigenfequenzen sind:, 6s 6s Die Schwingungsapliuden (5) und (6) sind X f (7) 6 6 Y f 6 6 (8) (S Bild) Aus den Gleichungen (7) und (8) kann an folgende Schlussfolgeungen ziehen:

50 Beide Apliuden weden bei den beiden Eigenfequenzen 6 und 6 unendlich (Resonanz) Das Vehälnis de Apliuden is Y/ X Y / X 6 Y/ X 6 Das bedeue, dass bei jede de zwei Resonanzen genau die jeweilige Eigenfo angeeg wid Mehode zu epeienellen Unesuchung von Eigenfoen (epeienelle Modalanalyse) Die Schwingungsapliude X is ie von Null veschieden Die Schwingungsapliude Y dagegen wid Null bei [I k k / ] Das bedeue, dass oz de anegenden Kaf, die auf den zweien Köpe wik, sich diese nich beweg! Dies is de sogenanne Tilgeeffek Die enspechende Fequenz is die Tilgefequenz Pakische Anwendung zu Schwingungsilgung allgeeinen Fall II Schwingungen eines saen Köpes i Feiheisgaden Zu besien sind die feien und die ezwungenen Schwingungen des skizzieen Syses ohne Beücksichigung de Schweekaf fü F( ) F cos Y Fü die elasischen Fedekäfe gil F c ( l), F c De Schwepunksaz fü den saen Köpe: X c c c l F, () De Dallsaz bezüglich des Schwepunks: c ll lf() ( l / is das Tägheisoen des Sabes) (a) Feie Schwingungen c c c l, l c c cl cl l Wi suchen eine Lösung in de Fo Acos, Bcos: c c c A A lb (9) c c B A B l Chaakeisische Gleichung: c c c l c c l 4 4c c c Beachen wi den Sondefall c c c 4, c,,7 c Die Schwingungsfoen ehalen wi aus de Gleichung (9): B A l c B, A/ l B, A/ l Die feie Schwingung des Sabes is i allgeeinen Fall eine Supeposiion aus zwei Schwingungen i den Fequenzen und (b) Ezwungene Schwingungen c c c F l cos, c c F cos l l Die Lösung wid gesuch in de Fo Acos, Bcos c c F A lb, c c F A B l l

51 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 5 Dynaische Sabiliä Lieau: Hauge, Schell und Goss Technische Mechanik III, 44 Beispiel Sabiliä des Keisels Die Euleschen Gleichungen: Eine Lösung is die Bewegung u eine Haupachse (zb i de Tägheisoen ) i eine konsanen Winkelgeschwindigkei: kons, Poble: Was passie, wenn sich de Köpe nich ganz genau u die Achse deh? Das heiß:,,,, Einsezen in die Euleschen Gleichungen liefe: Wi venachlässigen Gliede zweie Odnung: kons Ein lineaes Gleichungssyse wid i eine Eponenialansaz gelös: Ae, Be A B B A Lösbakeisbedingung: ode Fall : *, Die allgeeine Lösung is * * Ae Be, * * Ae Be Sie beseh aus eine eponeniell abklingenden e * und eine eponeniell anwachsenden Teil e * Eine beliebig kleine Söung wid i de Zei anwachsen: Die Bewegung is insabil Fall : *, i i Die allgeeine Lösung is * * A cos B sin, * * cos sin A B In diese Fall bleib eine kleine Söung ie klein: Die Bewegung is sabil Die Bedingung is efüll wenn enwede das aiale ode das iniale Tägheisoen is Beispiel Sabiliä eines oieenden Pendels (Zenifugalegle, 789, Jaes Wa) Bild i oieenden (nich ineialen) Syse g De Dehipulssaz i oieenden Bezugssyse: l l cos gl sin ode g g cos sin sin sin cos l l l g Fü kleine l g (a) g/ l l Die Bewegung is eine haonische Schwin- * gung i de Fequenz g/ l und eine konsane Apliude: Die veikale Lage is sabil

52 (b) g l indiffeenes Gleichgewich / g (c) g/ l l Die Lösung ha die Fo g g l l Ae Be De Winkel wächs unendlich i de Zei: Die veikale Lage is insabil In de Ta wid die Lineaisieung igendwann ungülig: Es gib eine neue sabile Lage: g sin sin cos l cos g/ l Beispiel Angefache Schwingungen eines Dahes i Wind Wid ein Dah vo Wind uweh (in hoizonale Richung) und beweg e sich veikal i eine Geschwindigkei v so ha die Kaf, die die Luf auf den Dah ausüb sowohl eine hoizonale, als auch eine veikale Koponene Bei eine Dah i eine unden Queschni is die veikale Koponene engegen de Geschwindigkei geiche Bei eine nich syeischen Dah, wie unen i Bild, kann sie in die gleiche Richung zeigen, wie die Geschwindigkei (Das lieg a Ablösen de Söung an den Kanen) Bewegungsgleichung fü einen nich syeischen Dah i Wind: c d ode c d Einsezen des Eponenialansazes e ˆ füh zu chaakeisischen d c Gleichung Ihe Lösungen sind, d d c d c Fü * is das eine angefache Schwingung nach de Gesez d Ce cos * Beispiel 4 Sick-Slip-Bewegung Die Bewegungsgleichung fü den Block laue: F( ) k kv, Offenba ha sie ie eine saionäe Lösung v i F( v) / k Zu Unesuchung de Sabiliä de saionäen Lösung nehen wi an, dass die saionäe Lösung schwach gesö wid v i eine kleinen Abweichung Nach Einsezen in die Bewegungsgleichung und Lineaisieung bezüglich de Söung ehalen wi die folgende lineae Gleichung fü die Söung: df( ) k d v Nach Einsezen des üblichen Eponenialansazes e koen wi zu chaakeisi- schen Gleichung df k ( v) d Die Wuzeln de chaakeisischen Gleichung sind df df k, d d Haben beide chaakeisische Zahlen einen negaiven Realeil, so wid eine beliebige Söung de saionäen Lösung eponeniell abklingen und die saionäe Bewegung is (gegenübe kleinen Söungen) sabil Die Bedingung fü Sabiliä is in diese Fall nu efüll, df wenn ( v ), dh: Die Reibungskaf d wächs i de Gleigeschwindigkei

53 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Anhang Veschiedenes zu Thea Kineaik und Dynaik De Soff de folgenden Kapiel wid i Soeseese wegen des Zeiangels nich behandel Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 6* Newonsches Gesez: Anwendungsbeispiele Das NG egib: I Das zweie Keplesche Gesez fü Planeenbewegung a G v Wi beachen veeinfach eine Bewegung auf eine Keisbahn Das zweie Newonsche Gesez fü den esen Planeen laue: a F Es gib nu eine adiale Koponene de Kaf (Gaviaionskaf GM / ) und de Beschleunigung (Zenipealbeschleunigung ) Das NG ni die folgende Fo an: GM / GM / Daaus folg Die Winkelgeschwindigkei is gleich, wobei T die Ulaufpeiode T des esen Planeen is Soi gil / T GM / () Fü den zweien Planeen egib sich ähnlich / T GM / Dividieen de esen Gleichung duch die T zweie egib T Das is ein Sondefall des Kepleschen Gesezes fü die Planeenbewegung II Schiefe Wuf i Lufwidesand ode in Koponenen a v ay g vy Die Bewegungen in beiden Richungen sind völlig unabhängig! Fü beide haben wi die Lösungen: v cos g g y v sin Das is gleichzeiig auch die Balkenkuve in paaeische Fo Bewegung bei schiefen Wuf une Beücksichigung des Lufwidesandes Das NG in eine bewegen Basis III Planeen- ode Saellienbewegung Bezeichnungen: M is die Masse des zenalen Köpes, is die Masse des "ukeisenden" Köpes In Polakoodinaen i de Zenu i zenalen Köpe gil:

54 a e e Das Newonsche Gesez egib: F F G M ode Die lezee Gleichung kann als d d geschieben weden Daaus folg cons C Das is das Keplesche Gesez: d d da d A cons (die Flächengeschwindigkei is konsan) Die - Koponene des NG kann ugeschieben weden: C GM

55 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 7* Tägheisenso, die Euleschen Gleichungen I Tensoechnung i y Veko z y z ij y yy yz Tenso zweie Sufe z zy zz Muliplikaion eines Tensos und eines Vekos L ; i ij j j, y, z L j j y y z z j L y yj j y yy y yz z j L z zj j z zy y zz z j Einseinsche Konvenion: L i ij j ij j i, y, z Das Suaionszeichen wid ausgelassen und übe alle doppel aufeenden Indizes übe (,y,z) suie (Suaionsindizes) Beispiel: AB AB A B A B A B A B i i i i y y z z i Al Al Al A A A Die Bezeichnung de Suaionsindizes kann an beliebig veänden: AB i i AB l l AjBj Wichige Spezialensoen: A Einheisenso, i j ij ; ij Ai ijbj Bi, i j B Diagonalenso ij ; Li ij j, L, Ly y, Lz z C Syeische Tenso: ij ji y z ij y yy yz z yz zz Syeieachse Theoe: Jede syeische Tenso Sufe kann duch enspechende Wahl de Achsenichungen auf eine Diagonalfo gebach weden Bekanne Beispiele: Haupachsen des Spannungsensos, des Defoaionsensos II Beziehung zwischen Dehipuls und Winkelgeschwindigkei, Tägheisenso n n n L v v Inde n (Nue eines Eleenes) wid i Weieen ausgelassen L b a c -c a b -Regel Li i i j j i, y, z Suieung übe j! i ij j ij Li ij j i j j ij i j j L i ij j ij j j, y, z Tägheisenso ij ij i j zb: y z y usw y y z ik y yy yz z zy zz y z y z y z yz z zy y Die Diagonaleleene, yy, zz sind aiale Tägheisoene, nich diagonale Eleene usw sind Deviaionsoene y Bei eine Koninuu ik dv ik i k III Kineische Enegie K v Suieung übe alle Masseneleene

56 bac-cab-regel K i i i i, ii () i, y, z Soi kann die kineische Enegie () in de folgenden Fo ugeschieben weden: K i i i ij j i ij j Einseinsche Konvenion! K iij j i ij j ij i j i j Das Endegebnis: K iji j iji j i, j, y, z Einseinsche Konvenion Sue übe alle Masseneleene! ij IV Haupägheisachsen und Haupägheisoene De Tägheisenso is ein syeische Tenso Man kann ein kaesisches Koodinaensyse ie so wählen, dass diese eine Diagonalfo anni Diese Koodinaenachsen heißen Haupägheisachsen und die Diagonaleleene des Tensos Haupägheisoene In Haupachsen veschwinden alle Deviaionsoene: ik De Dehipuls und die kineische Enegie haben dann eine besondes einfache Fo: L L y y y L z z z, () K y z V Die Euleschen Gleichungen Den Dehipuls () wollen wi in den Dehipulssaz einsezen Dafü is abe eine vobeeiende kineaische Unesuchung nowendig Beachen wi zwei Koodinaensysee: Ein "uhendes" Syse K und ein "oieendes" Syse K' Wi beachen einen beliebigen, zeiabhängigen Veko A von beiden Syseen aus uhendes Wenn hie A kons dann is hie da A d Wenn sich A hie ände da, d dann is hie da da A d d Angewende an den Dehipuls: dl dl L M d d Wählen wi als "oieendes" das i den Haupägheisachsen vebundene Syse dl L L M d dl L L M d dl L L M d Wegen L, L, L M M M M M M oieendes S Die Euleschen Gleichungen - gekoppele, nichlineae Diffeenialgleichungen A

57 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 8* Ezwungene Schwingungen (Fosezung) I Eegung duch eine Unwuch Eegung duch eine oieende Unwuch finde an in Syseen i Rooen Sei die Koodinae des Schwepunks de c Masse Eine Unwuch (Masse ) deh sich i de Winkelgeschwindigkei u eine an de Masse befesigen Achse Zu besien is die ezwungene Schwingung de Masse Lösung: Die -Koodinae des Schwepunks des Gesasyses " u " is gleich ( cos ) u s u De Schwepunksaz laue c d u s u u cos c d d c cos u Die Paikulalösung is wie wi wissen cos Die Schwingungsapliude ehalen wi, inde wi einsezen: F u 4 u u 4 Dabei sind c u / u u F u u in, d /( u ) F II Ezwungene Schwingungen bei eine peiodischen, nich sinusföigen Anegung R L R l R cos sin l R sin l R / l sin R l R / l sin l sin l sin ( cos ) R R L R cos l cos 4l 4l R R R cos l cos 4l 4l Bewegungsgleichung c( ( )), R wobei ( ) R cos cos 4l ) Wenn ( ) R cos, dann c cr cos, und wi haben die Paikulalösung cr cos Rcos () c / ) Wenn R ( ) cos, is die Paikula- 4l lösung ) Wenn () L Schubkubelgeiebe R / 4l cos / R ( ) R cos cos, dann 4l R / 4l cos Rcos ( ) ( ) ( ) / / III Beispiel fü linea gedäpfe Schwingung,?, l Fel ka FDäpf d a

58 Dallsaz: M af af A el Däpf 9 a ka a d 9d k ; 4 4 Allgeeine Lösung: Ce cos * ; i * C e cos * *sin * C cos Ccos * Csin e C cos Ccos * Csin * C C * e sin * * IV Angefache Schwingungen Beispiel: Zeilich vezögee Regelung Senso Pozesso F c ( kleine Vezögeung) Bewegungsgleichung: c c c c c F Ako i, cos * sin * e A B Dies is eine Schwingung i eponeniell wachsende Apliude V Resonanz in elekischen Schalkeisen Die dei passiven Schaleleene: Kondensao Widesand Indukiviä (Spule) a) Spannung VC q / C b) Spannung VR RI R dq d c) Spannung VL Elekische Schwingungskeis d q dq q di L d d q L d L R V () ode d d C d q dq q V () R/ L ode d d CL L d q () dq V q d d L Bezeichnungen: /CL, / CL und R/ L Diese Gleichung ha die gleiche Fo, wie die Gleichung fü ezwungene Schwingungen eines Einassenschwinges Die Lösung de hoogenen Gleichung (in Abwesenhei des eegenden Poenials q qe cos * bescheib gedäpfe Schwingungen i de Fequenz * und de Abklingkoeffizienen R/L I Fall eines haonischen eegenden Poenials V ( ) V cos ni die Gleichung die d q dq V Fo q cos an d d L Ihe Paikulalösung q q cos bescheib eine ezwungene Schwingung i de Apliude q V / L 4 Ladung Kapaziä Widesand So

59 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung 9* Koplee Fedezahlen I Koplee Fedezahlen ) Fede une Wikung eine peiodischen Kaf F c () Den Popoionaliäskoeffizienen nennen wi Fedezahl ) Däpfe une Wikung eine peiodischen Kaf F d () Bei eine peiodischen, haonischen Kaf F F cos scheiben wi die Kaf in koplee Fo F F e und suchen die Lösung i i in de Fo e Egebnis: F( ) id( ), dh die Kaf is zu jede Zeipunk popoional zu Auslenkung, wie bei eine Fede De Koeffizien cd id, de die Kaf i de Auslenkung vebinde, is jez abe kople und häng von de Fequenz ab Wi nennen ihn koplee, fequenzabhängige Fedezahl ) Masse une Wikung eine peiodischen Kaf F F cos Bewegungsgleichung F cos esezen wi duch i F e und suchen eine Paikulalösung in de Fo p i e Dann gil F Auch in diese Fall is die Kaf popoional zu Auslenkung De Popoionaliäskoeffizien is zwa eell, abe negaiv und fequenzabhängig: c Beekung: Andes als bei Feden und Däpfen, is fü die Bewegung eine Masse nich ihe elaive, sonden absolue Beschleunigung aßgebend Deswegen uss an bei de effekiven Fede, die die Masse wiedegib, ie ein Ende an die fese Ugebung koppeln 4) Paallelgeschalee Fede und Däpfe une Wikung eine peiodischen Kaf c d F Fü eine Kaf i F F e egib sich wiede ein lineae Zusaenhang zwischen de Kaf und de Auslenkung: id c F Die Fedezahl is jez eine koplee Göße c* id c c i d Re( c*) i I( c*) 5) Allgeeine Fall Fü ein lineaes echanisches Syse (dh ein beliebig kopliziees Syse aufgebau aus lineaen Feden und lineaen Däpfen) gil bei i eine Eegekaf Fe ein lineae Zusaenhang F( ) c*( ) ( ), wobei c*( ) koplee Fedezahl des Syses is II Beechnung von ezwungenen Schwingungen i Hilfe von kopleen Fedezahlen Die Gleichung F( ) c*( ) ( ) bedeue in i eplizie Fo F e c*( ) Daaus folg F i F i e e c*( ) Re c* i I c* Die iaginäe Zahl c*( ) Re c* i I c* ha in polae Dasellung die Fo c*( ) c* e i i I c* Re c* c* Re c* I c* und an F F c*( ) c* Folglich is i i i e e De Realeil von diese Funkion gib die Lösung de uspünglichen (eellen) Gleichung: F ( ) cos cos c* Die Apliude de Schwingungen is denach F Apliude Re c* I c*

60 III Zusaengeseze Sysee aus eheen Feden und Däpfen A) Reihenschalung eine Fede und eines Däpfes Zu besien is die Schwingungsapliude une de Wikung eine peiodischen Kaf F F cos Lösung: Die koplee Fedezahl de Fede is c c Die koplee Fedezahl des Däpfes F is cd id Fü die Seifigkei de zusaengesezen Fede gil bei eine Reihenschalung c* cc F d cid cf cd c id De Beag diese kopleen Zahl is gleich cd c* c d Fü die Schwingungsapliude egib sich F c d cd B) Einfaches heologisches Modell fü Gui Elasoee (wie Gui) sind sogenanne viskoelasische Soffe, deen elasische Eigenschafen sich als eine Kobinaion aus Feden und Däpfen dasellen läss (ausfühliche in de LV "Konakechanik und Reibungsphysik" ode "Maeialheoie" i Haupsudiu) Zu beechnen is die Schwingungsapliude de gezeigen Fede-Däpfe-Kobinaion une Wikung eine peiodischen Kaf F F cos Lösung: Die gezeige Kobinaion is eine Reihenschalung de * Feden c c id und c Die gesae Seifigkei is soi * c c c idc cc idc c* * c c c id c c c id De Beag de kopleen Fedezahl is c* c d cc idc c c c id c c d Die Schwingungsapliude is denach F cc d c c d Fü Gui gil in de Regel c c (zb c c Bei seh langsaen Beanspuchungen gil c c F F Bei seh goßen cc c Fequenzen seb Apliude gegen einen seh F viel kleineen Genzwe c C) Ezwungene Schwingungen eines Zweiassensyses I links dagesellen Zweiassensyse esezen wi beide Feden und beide Massen duch äquivalene Feden Die Fedezahl des gesaen Syses is gleich c* c c c c c 4 Die Schwingungsapliude is denach F c 4 c c T Es gib dei chaakeisische Fequenzen: Bei und wid die Schwingungsapliude unendlich goß (Resonanzfequenzen) Nächses Mal weden wi sehen, dass dies die sogenannen Eigenfequenzen des Syses sind Bei de Fequenz T wid die Schwingungsapliude Null Dies is die Tilgefequenz

61 Kineaik und Dynaik - Mechanik II / Pof Popov / Volesung * Qualiaive Analyse von Schwingungssyseen I Wie lange daue ein Einschwingvogang? F Feischni: id c F Wi können asypoische Wee bei seh kleinen, seh goßen und Resonanzfequenz finden: F F F Fede Däpfe Bewegungsgleichung: ) klein c d F, F F cos c F ) goß F / cos f cos Lösung: F ) Resonanz ( ) cos e Acos * Bsin * id Die Apliude de "feien Schwingungsapliuden bei diesen wichigen Schwingungen" (allgeeine Punken kann an abe auch besien ohne Lösung de hoogenen die gesae Lösung zu kennen (zb auch dann, Gleichung) veinge sich wenn die eake Lösung nich bekann is) u das e-fache (,7) in de Bei kleinen Fequenzen kann an Tee i Zei / Geschwindigkei und Beschleunigung venachlässigen ( c F cos II Wie bei is das Resonanzaiu? ), bei seh goßen spiel Bei de Resonanzfequenz ni die senliche Rolle ( nu de de Te i Beschleunigung eine we- Schwingungsapliude F cos ), bei de Resonanzfequenz üssen alle Tee ausfallen i F Ausnahe des Geschwindigkeispopoionalen 4 Tes ( d F cos ) Das sieh an daan, F den We an Einen zweial kleineen We ni sie an, wenn ode ode Die Güezahl is soi Q / III Wie beeinfluss Däpfung den Fequenzgang de Apliude? Bei kleine Däpfung folg die Apliude als Funkion de Eegefequenz i Wesenlichen de Kuve ohne Dissipaion Nu die Spizen weden "abgesupf" IV Kann an die Höhe des Resonanzaius beechnen ohne die Bewegungsgleichung zu lösen? c d F cos Die Lösung de Esazdiffeenialgleichung i i de Kaf Fe füh zu Gleichung id c F i de Lösung dass die Enegie, die de Syse zugefüh wid, dann ih Maiu eeich, wenn die Kaf ie in Richung Geschwindigkei geiche is und soi den Köpe ie "beschleunig" Häen wi eine nich lineae konsevaive Kaf, G( ) d F cos, so können wi diese Gleichung nich analyisch lösen, abe die Genzfälle kleine und goße Fequenzen können auch in diese Fall eiel weden Häen wi eine lineae konsevaive Kaf abe eine nich lineae Däpfung, zb c k F cos, so könne an auf ähnliche Weise näheungsweise das Schwingungsgesez und die Schwingungsapliude bei de Resonanz eieln: k F cos F / k cos / V Seienbände bei Rundfunkübeagung Bei de Rundfunkübeagung, die die Apliudenodulaion (AM) benuz, wid das hochfequene Tägesignal duch die Schallapliude odulie