Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen

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1 Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Multivariate Bezier-Interpolation Transfinite Interpolation Spline-Funktionen Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester 2007 U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 1

2 Vorlesung 16 Allgemeines U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 2

3 Ankündigungen VL-Evaluierung spezielle Fragen? Literaturempfehlung: Bungartz, Griebel, Zenger: Einführung in die Computergraphik - Grundlagen, Geometrische Modellierung, Algorithmen; Vieweg, 1996 U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 3

4 Zum Thema: Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Modellierung von Freiformkurven und -flächen: Bezierkurven U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 4

5 Von Kurven zu Flächen transfinite Interpolation Coons-Patch Tensorproduktansatz U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 5

6 Erinnerung:Bilineare Interpolation Überstrichene Fläche bei der Bewegung von P 1 und P 2 auf geradem Weg nach P 3 bzw. P 4, unter Mitführung der jeweiligen Verbindungsstrecke. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 6

7 Bilineare Interpolation Kann implementiert werden als zuerst lineare Interpolation in t, dann lineare Interpolation in s zuerst lineare Interpolation in s, dann lineare Interpolation in t oder direkt mit obiger Formel Kurve: einparametrige Schar von Punkten Fläche: einparametrige Schar von Kurven Tensorproduktansatz: Für jeden Parameter t : ist F(t, ) lineare Kurve (in s). Die Koeffizienten dieser Kurve hängen (linear) von t ab U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 7

8 Erinnerung: Bilineare Interpolation Vier Eckpunkte Der Interpolant ist U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 8

9 Flächenmodellierung und Freiformflächen Verallgemeinerung der bilinearen Interpolation: Tensorproduktfläche = Geometrischer Ort der Punkte einer Kurve, die sich durch den Raum bewegt und dabei ihre Gestalt ändert. Transfinite Interpolation in einer Richtung (Regelfläche): Kuven x(s,0) von P 1 nach P 2 und x(s,1) von P 3 nach P 4 Dann definieren wir die Regelfläche x s (s,t) = (1- t) x(s,0) + t C(s,1) Linear in einer Richtung, Kurven in der anderen U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 9

10 Flächenmodellierung Analog, transfinite Interpolation in der anderen Richtung: Kuven x(0, t) von P 1 nach P 3 und x(1, t) von P 3 nach P 4 Dann definieren wir die Regelfläche x t (s,t) = (1- s) x(0, s) + s x(1, s) Wie kann man nun die beiden jeweils einseitigen transfiniten Interpolationen kombinieren? Die Summe x t (s,t) + x s (s,t) enthält am Rand gerade die bilinearen Anteile zu viel. Lösung: das Coons-Patch U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 10

11 Flächenmodellierung Das Coons-Patch (manchmal auch als die transfinite Interpolation bezeichnet): x(s,t) := x t (s, t) + x s (s, t) - x st (s, t) wobei x st (s, t) der bilineare Interpolant zu den vier Randpunkten ist. Der Coons-Patch stimmt am Rand exakt mit den vier Randkurven überein. Das Flächeninnere wird dabei mit Hilfe linearer Interpolation definiert. Dies kann noch weiter verallgemeinert werden: z.b. kubisches Coons-Patch. Bei Verwendung von Bezier-Kurven entstehen dabei Bezier-Flächen, siehe folgende Folien. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 11

12 Zum Thema: Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Modellierung von Freiformkurven und -flächen: Bezierkurven U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 12

13 Bernstein-Polynome Basis für Polynome vom Grad n: Beispiel für n=4: U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 13

14 Bezierkurven U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 14

15 Auswertung von Bézierkurven Oder durch fortgesetzte lineare Interpolation (Algorithmus von de Casteljau): For i = 0,..., n: b i 0 = b i For k = 1,..., n: For i = k,..., n: b i k = (1-t) b i-1 k-1 + t b i k-1 U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 15

16 Auswertung von Bézierkurven b 3 3 = C( 2 / 3 ) Algorithmus von de Casteljau für t = 2 / 3 und n=3 U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 16

17 Tensor-Produkt-Bézier-Flächen Allgemeine Tensor-Produkt Bezier-Fläche vom Grad n und m: Die Kontrollpunkte spannen jetzt ein Kontrollnetz auf. Beispiel für Grad 3 (m=n=3). Kurven mit t = const sind Bezierkurven in s Kurven mit s= const analog U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 17

18 Tensor-Produkt-Bézier-Flächen Allgemeine Tensor-Produkt Bezier-Fläche vom Grad n und m : Formeigenschaften der Bézierkurven übertragen sich auf Bézierflächen Eckpunktinterpolation Tangentialebenen in den 4 Eckpunkten Affine Invarianz Konvexe Hülle jedoch nicht: Variationsreduktion U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 18

19 Algorithmen für TP-Flächen Allgemeines Vorgehen: Zwei Schritte: Kurven-Algorithums in t-richtung Kurven-Algorithmus in s-richtung (oder umgekehrt) Beispiel: Auswertung mit decasteljau Auf jede Spalte von Kontrollpunkten Kurven-deCasteljau in t-richtung Auf die erhaltenen Punkte einen Kurven-deCasteljau in s-richtung Weiteres Beispiel: Subdivision U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 19

20 Berechnung eines Flächenpunkts: Allgemeine Tensor-Produkt Bezier-Fläche vom Grad n und m: Wie bei anderen Tensor-Produkt Flächen sonst auch: Zuerst eindimensional in erster Richtung mit de Casteljau. Dann eindimensional in zweiter Richtung mit de Casteljau. Verwendet man alternativ Zuerst die rekursive Auswertung der Bernstein-Polynome (in s). Dann die Auswertung nach de Casteljau (in t). Dies kann man interpretieren als Berechnung der Kontrollpunkte für die zweite Interpolation nach de Casteljau U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 20

21 Flächenmodellierung und Freiformflächen Verallgemeinerung der bilinearen Interpolation: Tensorproduktfläche = Geometrischer Ort der Punkte einer Kurve, die sich durch den Raum bewegt und dabei ihre Gestalt ändert. Transfinite Interpolation in einer Richtung (Regelfläche): Kuven x(s,0) von P 1 nach P 2 und x(s,1) von P 3 nach P 4 Dann definieren wir die Regelfläche x s (s,t) = (1- t) x(s,0) + t C(s,1) Linear in einer Richtung, Kurven in der anderen U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 21

22 Flächenmodellierung Analog, transfinite Interpolation in der anderen Richtung: Kuven x(0, t) von P 1 nach P 3 und x(1, t) von P 3 nach P 4 Dann definieren wir die Regelfläche x t (s,t) = (1- s) x(0, s) + s x(1, s) Wie kann man nun die beiden jeweils einseitigen transfiniten Interpolationen kombinieren? Die Summe x t (s,t) + x s (s,t) enthält am Rand gerade die bilinearen Anteile zu viel. Lösung: das Coons-Patch U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 22

23 Flächenmodellierung Das Coons-Patch (manchmal auch als die transfinite Interpolation bezeichnet): x(s,t) := x t (s, t) + x s (s, t) - x st (s, t) wobei x st (s, t) der bilineare Interpolant zu den vier Randpunkten ist. Der Coons-Patch stimmt am Rand exakt mit den vier Randkurven überein. Das Flächeninnere wird dabei mit Hilfe linearer Interpolation definiert. Dies kann noch weiter verallgemeinert werden: z.b. kubisches Coons-Patch. Bei Verwendung von Bezier-Kurven entstehen dabei Bezier-Flächen, siehe folgende Folie. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 23

24 Dreieckige Bezierflächen Für die Flächenmodellierung sind in der Regel zusätzlich dreieckige Flächen erforderlich. Dabei benötigen wir sowohl baryzentrische Koordinaten und spezielle Bernsteinpolynome in baryzentrischen Koordinaten. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 24

25 Dreieckige Bezierflächen Spezielle Bernstein-Polynome in baryzentrischen Koordinaten: Die Punkte b ijk heißen wieder Bezier-Punkte und spannen ein dreieckiges Kontrollnetz auf U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 25

26 Dreieckige Bezierflächen Die Punkte b ijk heißen wieder Bezier-Punkte und spannen ein dreieckiges Kontrollnetz auf U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 26

27 De Casteljau für dreieckige Bezierflächen Fortgesetzte lineare Interpolation im Dreieck mit baryzentrischen Koordinaten U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 27

28 Stetige Übergänge zwischen benachbarten Bezier-Flächen Wenn sich benachbarte Bezier- Patches die Kontrollpunkte teilen, dann ist ein stetiger Übergang gewährleistet. Zum Erzeugen eines glatten Übergangs müssen zusätzliche Bedingungen eingeführt werden U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 28

29 Geometrische Modellierung Zu diesem interessanten Kapitel der angewandten Informatik gibt es im Hauptstudium Spezialvorlesungen, die auf dem Grundwissen aus der Algorithmik III aufbauen. Bezierkurven (und -flächen) werden in der Computergraphik verwendet. Wichtig ist dann, dass man noch höhere Glattheitsbedingungen an den Übergangsstellen stellen kann. Dies führt uns auf die sogenannten Splines, die wir in Zusammenhang mit der Spline-Interpolation als eines der nächsten Themen studieren werden. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 29

30 Zum Thema: Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Spline-Interpolation U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 30

31 Motivation: Warum Splines? Aus Thomas A. Grandine: The Extensive Use of Splines at Boeing, SIAM News, May 2005 (im Netz unter Splines are used extensively at Boeing... this means that Boeing uses something like 500 million spline evaluations every day and the number is increasing. Very different kind of applications: Computer Aided Design - Geometric Modelling Computer Aided Manufacturing, e.g. to represent machine tool cutter paths Engineering Analysis and Simulation Embedded Systems, e.g. in navigation and guidance systems Represent airplane performance data U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 31

32 Motivation: Warum Splines? (weitere Zitate) Paul Davis, B-Splines and Geometric Design, SIAM News 29(5), June 1996:... the morphing of Arnold Schwarzenegger's adversary into the various forms he takes on in Terminator 2 is really a bit of mathematical magic: It is B-splines that drive the sophisticated computer graphics.... asking about the impact of B-splines in geometric design, says Ray Sarraga of General Motors Research, "is like asking 'What is the impact of the gasoline engine in the use of cars? U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 32

33 Polynom-Splines Die Hauptnachteile der Polynom-Interpolation zur Erinnerung: Anzahl der Stützpunkte und Polynomgrad sind starr aneinander gekettet. Für größeres n (und somit für den in der Praxis oft auftreten Fall einer größeren Zahl von Stützpunkten) ist die Polynominterpolation unbrauchbar. Idee zur Abhilfe: Klebe Polynomstücke niedrigen Grades aneinander, um so einen globalen Interpolanten auch für eine große Zahl von Stützpunkten zu konstruieren. Genau dies machen Polynom-Splines oder kurz Splines, die wir jedoch allgemein - zunächst ohne konkreten Bezug zur Interpolationsaufgabe einführen. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 33

34 Quadratischer Spline U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 34

35 Definition der Polynom-Splines (2) Wir betrachten nur den Fall einfacher Knoten, d.h. x i x j für i j. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 35

36 Polynom-Splines Zwischen je zwei benachbarten Knoten ist s also ein Polynom vom Grad m-1 global (also insbesondere auch in den Knoten selbst!) ist s m-2-mal stetig differenzierbar. Man sagt auch s ist stückweise polynomiell Was kann man mit Splines machen: Geometrisch Modellieren meist B-Splines ( Vorlesung Geometrisches Modellierung) Interpolieren Achtung - die Stützstellen können, müssen aber mit den Knoten nicht identisch sein. Approximieren U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 36

37 Beispiele Wie sieht ein Polynom-Spline aus? Wir betrachten hierzu die einfachsten Fälle: m = 1: s ist eine Treppenfunktion stückweise konstant, nicht einmal Stetigkeit in den Knoten ist gegeben m = 2: s ist ein Polygonzug stückweise linear, stetig in den Knoten m = 3: s ist ein quadratischer Spline stückweise (höchstens) quadratisch, global einmal stetig differenzierbar m = 4: s ist ein kubischer Spline stückweise (höchstens) kubisch, global zweimal stetig differenzierbar U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 37

38 Eigenschaften zum Namen: Das englische Wort Spline bezeichnet eine elastische Holzlatte, wie sie beim Schiffsbau eingesetzt wird bzw. wurde. Bei festen Knoten und festem Grad bildet die Menge aller Splines offensichtlich einen Vektorraum. Dimension ist n+m-2 Ein globales Polynom vom Grad m-1 legt m Freiheitsgrade fest. Dazu kommt für jeden inneren Knoten x 2,..., x n-1 ein Freiheitsgrad für den Sprung in der m-1-ten Ableitung. Alle niedrigeren Ableitungen sind stetig und damit die Freiheitsgrade festgelegt. Die verbleibenden n+m-2 Freiheitsgrade können eingesetzt werden um an der gleichen Zahl von Stützstellen zu interpolieren. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 38

39 Interpolation mit kubischen Splines Jetzt wollen wir Splines konkret zur Interpolation einsetzten. Für Interpolationszwecke weit verbeitet und außerdem sehr schön zu konstruieren und zu analysieren sind kubische Splines, also der Fall m=4. Betrachte deshalb folgenden Spezialfall: Die Stützstellen sind gerade die Knoten, also lauten die Interpolationsbedingungen: U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 39

40 Interpolation mit kubischen Splines Damit gilt: Wir haben n+m 2 = n+2 Freiheitsgrade für die Festlegung des konkreten Spline (Dimension des zugrunde liegenden Vektorraums, s.o.). Davon werden n durch die obigen Interpolationsbedingungen aufgebraucht. Somit bleiben 2 offene Freiheitsgrade, die wir für weitere Forderungen an s verwenden können. Zuerst machen wir uns an daran, unseren kubischen Spline zu konstruieren. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 40

41 Lokale Polynomsegmente Definiere auf jedem Teilintervall [x i, x i+1 ] das lokale kubische Polynom als Funktion der vier Parameter y i und y i+1 (Funktionswerte in den beiden tangierten Stützstellen) sowie y i und y i+1 (Ableitungen auch in den beiden Stützstellen) Interpolationsbedingungen: U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 41

42 Lokales Polynomsegment Das Polynom: Man sieht durch einsetzen von x= x i (äquivalent zu t=0) und x=x i+1 (äquivalent zu t=1), dass die Interpolationsbedingungen p i (x i )= y i und p i (x i+1 )= y i+1 erfüllt sind. Ebenso ist p i (x i ) = y i und p i+1 = y i+1 erfüllt Beachte, dass dieser Ansatz also bereits die globale Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit garantiert! U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 42

43 Zusammenfügen (1) Mit dem bisherigen Ansatz garantieren wir automatisch Die zweiten Ableitungen haben allerdings noch Sprünge Andererseits sind die y i noch freie Parameter (weil die Stützstellen einfache Stützstellen sind, an denen keine Ableitungen vorgegeben sind. Wir wählen diese Parameter so, dass auch die zweiten Ableitungen stetig werden. Dies sind n-2 Innenknoten zur Bestimmung von n Freiheitsgraden. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 43

44 Zusammenfügen (2) Wir erhalten daraus folgendes tridiagonale Gleichungssystem für die ersten Ableitungen y i : Das sind n-2 Gleichungen für n Unbekannte y 1,..., y n. Das passt mit der Dimension des Raumes für die kubischen Splinefunktionen von n+2 gerade zusammen. Man kann also noch weitere Forderungen stellen, also z.b. noch zwei weitere Stützpunkte x 0 und x n+1 interpolieren. Oft werden die zusätzlichen Freiheitsgrade jedoch durch andere Bedingungen bestimmt, siehe nächste Folie U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 44

45 Randbedingungen für Splinefunktionen (1) Eingespannt clamped: Die äußeren Stützstellen sind doppelt, d.h. dort werden nicht nur die Stützwerte y 1 und y n vorgegeben sondern auch die Ableitungen dy 1 und dy n. Das Gleichungssystem hat dann die Größe (n-2)x(n-2). Es hat reine Tridiagonalgestalt und ist positiv definit. Der Rechenaufwand ist also nur O(n). U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 45

46 Randbedingungen für Splinefunktionen (2) Natürliche Randbedingungen Man fordert, dass an den Rändern die zweiten Ableitungen verschwinden: also y 1 = 0 und y n = 0. Es ergibt sich ein tridiagonales positiv definites Gleichungssystem von der Größe nxn. U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 46

47 Randbedingungen für Splinefunktionen (3) Periodische Randbedingungen Voraussetzung ist dass y n = y 1 und man fordert noch y n = y 1 und y n = y 1 Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit extra Elementen in der rechten oberen und linken unteren Ecke der Koeffizientenmatrix, sonst auch tridiagonal von (n-1)x(n-1). Lösungsverfahren z.b. mit der Sherman-Morrison- Woodbury-Formel oder spezieller Ergänzung des Eliminationsverfahrens. Aufwand immer noch O(n). U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 47

48 Zusammenfassung Spline-Interpolierende liefert glatten Interpolanten (stückweise kubisches Polynom und global C 2 -stetig) Rechenaufwand ist O(n) (da tridiagonales System) Sehr gute Approximations-Eigenschaft: Falls Samples einer C 4 -stetigen Funktion f, dann s - f = O(h 4 ), s - f = O(h 3 ), s - f = O(h 2 ) Spline-Interpolation ist ein globales Verfahren, d.h. Vergleich mit Catmull-Rom Beide stückweise kubisch, beide O(n) C 2 vs C 1 sowie O(h 4 ) vs. O(h 3 ) (Spline vs Catmull Rom) global vs lokal U. Rüde, G. Greiner: Algorithmik III - SS VL 16 - Folie 48