Aufgaben, in denen die Nebenbedingung mithilfe des Strahlensatzes ermittelt wird.

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1 Differentilrecnung Extremwertufgben Arbeitsbltt Aufgben, in denen die Nebenbedingung mitilfe des Strlenstzes ermittelt wird. Vorwissen 1 Werden zwei Strlen und b mit dem gemeinsmen Anfngspunkt S von zwei prllelen Gerden gescnitten, so gilt der Strlenstz. Setze rictig ein. SA 1 SA 2 = und SA 1 A 1 A 2 = A 1 = SA 1 oder A 1 = SB 1 S B 2 A 1 b A 2 2 Setze rictig ein. x y = (x b) x b = b (y ) = b y x Aufgben 3 Der Spitzdcboden eines Huses soll usgebut werden. Die Querscnittsfläce des Dcbodens ist ein gleicscenkliges Drei eck mit der Bsis c = 10 m und der Höe = 6 m. Die Querscnitts fläce des Ausbus soll ein Recteck sein. Wie müssen die Seitenlängen des Rectecks gewält werden, dmit der Fläcen inlt mximl wird? y x Einem Kegel mit dem Rdius R und der Höe H soll ein Zylinder mit möglicst großer Mntelfläce eingescrieben werden. Berecne den Rdius r und die Höe des Zylinders. 5 Einem gleicscenkligen Dreieck mit der Höe = 6 und der Bsis c = 8 wird ein Recteck von mximlem Fläceninlt eingescrieben. Eine Seite des Rectecks soll uf der Bsis linie des Dreiecks liegen. Berecne die Mße des Rectecks. 6 Einem gleicscenkligen Trpez mit = 8, c = 5 und = 3 wird ein Recteck mit größtem Fläceninlt eingescrieben. Eine Recteckseite soll uf der Grundlinie des Trpezes liegen. 7 Beim Zuscneiden von Pressspnpltten fllen größere Mengen von rectwinkligen, gleicscenkligen Abfllstücken mit der Scenkellänge n. Aus diesen sollen wieder mög licst große recteckige Pltten gescnitten werden. Dzu entwickeln die Werkstecniker zwei Modelle. Berecne für beide Modelle, wie die recteckigen Pltten usgescnitten werden sollen, um den größtmöglicen Fläceninlt zu erlten. Skizziere für jedes Modell den Grpen der Zielfunktion und zeicne die Stelle der gesucten Lösung ein. Nimm dzu = 10 n. Dimensionen Mtemtik 7 1

2 Differentilrecnung Aufgben us der Verpckungsindustrie 8 www Minimle Oberfläce einer Getränkeverpckung 9 1 Liter Fructsft soll mit möglicst geringem Mterilverbruc im Squre- Formt (Quder mit qudrtiscer Grundfläce) verpckt werden. Welce Mße soll diese Verpckung ben? Wie groß ist der Oberfläceninlt? 10 www Minimle Oberfläce einer Dose mit gegebenem Volumen 11 Eine zylinderförmige Dose für 500 ml Limonde wird entworfen. Dbei soll möglicst wenig Mteril verbruct werden. Welce Mße (d, ) muss die Dose ben? 12 www Mximles Volumen eines eingescriebenen Zylinders 13 Einer Kugel vom Rdius R wird ein gerder Drezylinder von größtem Volumen eingescrieben. Berecne die Mße des Drezylinders. 14 Einer Kugel vom Rdius R wird ein gerder Drekegel von größtem Volumen eingescrieben. Berecne die Mße des Drekegels. Aufgben mitilfe eines elektroniscen Tools lösen 15 Für einen Torbogen ist der Umfng u vorgegeben. Wie müssen die Breite und die Gesmtöe gewält werden, dmit der Durcgng (d.. der Gesmtfläceninlt) mximl ist? 16 Ein Einmnnzelt soll eine Querscnittsfläce von A = 1 m 2 ben. Aus Mterilgründen wird der kleinstmöglice Umfng der Querscnittsfläce ngestrebt. Bestimme die Mße der Fläce, wenn diese die Form ) eines Rectecks mit ufgesetztem Hlbkreis, b) eines gleicscenkligen Dreiecks ben soll. 17 Ein kreisförmiges Stoffstück ) mit dem Rdius r = 10, b) mit dem Rdius r wird nc Herusscneiden eines Sektors zu einem kegelförmigen Lmpenscirm zusmmengebogen. Bei welcem Zentriwinkel α des Sektors t der Scirm mximles Volumen? 18 Eine Strßenlterne stet 5 m vor einem Hus. Der Punkt P m Boden wird je nc Höe der Lterne verscieden strk beleuctet. Die Intensität I der Beleuctung im Punkt P ist proportionl zu sin φ und umgekert proportionl zum Qudrt der Entfernung d. sin φ Es gilt: I = k, k ist dbei eine von der Lterne bängige Konstnte. d2 In welcer Höe muss die Lterne montiert werden, dmit die Beleuctungsintensität im Punkt P mximl wird? d 5m φ P 19 Für den Bu eines Tores steen für die senkrecten Begrenzungen zwei Pfosten mit 2 m Länge und für die oben ufgesetzten scrägen Begrenzungen zwei Dcpfosten mit je 4 m Länge zur Verfügung. Wie muss der Öffnungswinkel der Dcpfosten gewält werden, wenn ds Tor eine möglicst große Durclssfläce (Querscnittsfläce) ben soll? Dimensionen Mtemtik 7 2

3 Differentilrecnung 20 Zwei Orte A und B ben von einer (beine) gerdlinig verlufenden Autobn die Abstände AC= = 5 km und BD= b = 7 km. Ds Autobnstück zwiscen den beiden Orten ist CD= c = 12 km lng. Entlng der Strecke CD soll eine Autobnuffrt E so gebut werden, dss die Gesmtentfernung AE+ EB der Orte A und B von E möglicst klein wird. Ermittle die Länge des Weges AE+ EB. 21 Welcer Drekegel mit gegebener Mntelfläce M t ds größte Volumen? 22 Welce gerde qudrtisce Pyrmide t bei gegebener Oberfläce O ds größte Volumen? 23 Ein tricterförmiger, oben offener Beälter soll ein Volumen von 10 l ben. Wie groß ist der Öffnungswinkel β zu wälen, dmit die Mterilkosten zur Herstellung des Beälters möglicst gering sind? Anleitung: Berecne zunäcst Rdius und Höe des Beälters und erst mitilfe von Rdius und Höe den Öffnungswinkel. β r 24 Ds Volumen eines Slzstreuers in Form eines Zylinders mit ufgesetztem Kegel ist 20 cm 3. Die Kegelöe beträgt zwei Drittel des Bsiskreisdurcmessers. Wie müssen die Abmessungen gewält werden, dmit die Oberfläce des Slzstreuers ein Minimum wird? 25 Ein Bll wird mit einer Wurfgescwindigkeit v = 20 m/s unter einem Abwurfwinkel α und mit einer Abwurföe geworfen. Seine Flugbn wird durc die Funktion f (x) = x tn α g x 2 + bescrieben, wobei x die 2 v 2 (cos α) 2 orizontle und f (x) die vertikle Entfernung des Blles von der Abwurf stelle bescreibt. Die Erdbescleunigung g beträgt 9,81 m/s 2. Für die Abwurföe knnst du ier null einsetzen. (1) Zeicne mitilfe eines elektroniscen Tools die Grpen der Flugbn für α = 30, 40 und 60 und lies jeweils b, nc wie viel Meter der Bll m Boden ufsclägt. (2) Ermittle eine Funktion w (α), die llgemein die Wurfweite w in Abängigkeit vom Wurfwinkel α ngibt. Setze f (x) = 0. (3) Für welcen Winkel α wird die Wurfweite mximl? Dimensionen Mtemtik 7 3

4 Differentilrecnung Extremwertufgben Arbeitsbltt Lösungen 1 SA 1 SA 2 SB 2 und SA 1 A 1 A 2 B 2 A 1 A 2 B 2 = SA 1 SA 2 oder A 1 A 2 B 2 SB 2 2 x y = (x b), x b = y (y ), b (y ) = x y 3 x = 2,5 m; y = 3 m; A = 15 m 2 4 r = R 2 ; = H ; M = R H π l = 4 cm; b = 3 cm 6 0 < x 8 und 0 < y 3 y = 3 und x = 5; A = 15 7 Modell 1: Länge = 2 ; Breite = 2 ; A = Modell 2: Länge = Breite = ; A = www Minimle Oberfläce einer Getränkeverpckung 9 Würfel mit 10 cm Kntenlänge; O = 600 cm 2 10 www Minimle Oberfläce einer Dose mit gegebenen Volumen 11 r 4,3 cm; 8,6 cm; O 348,73 cm 2 12 www Mximles Volumen eines eingescrieben Zylinders R 13 r = 6 ; = 3 R R 14 r = 2 ; = R A = u 2 2 (π + 4) ; b = 2 r = 2 u π + 4 ; = r = u π ) r = 0,53 m; = 0,53 m; u = 3,78 m b) Gleicseitiges Dreieck mit = 1,52 m und u = 4,56 m 17 ) α = 293,94 b) α = 293,94 18 = 3,54 m 19 φ = Der Gesmtweg beträgt 16,97 km. 21 r = 0,429 M ; V = 0,117 M M 22 = O ; V = 2 O O 2 24 Dimensionen Mtemtik 7 4

5 Differentilrecnung 23 β = 70,53 24 r = 2,88 dm; = 4,32 dm; O = 156,3 dm 2 25 w (α) = 81,5494 sin α cos α; α = 45 ; Wurfweite = 40,8 m Dimensionen Mtemtik 7 5

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