Innere-Punkt-Methoden
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- Franziska Melsbach
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1 Innere-Punkt-Methoden Johannes Stemick Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
2 Übersicht 1 Lineare Optimierung 2 Innere-Punkt-Methoden Path-following methods Potential reduction methods Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
3 Übersicht 1 Lineare Optimierung 2 Innere-Punkt-Methoden Path-following methods Potential reduction methods Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
4 Lineares Optimierungsproblem Definition Gegeben seien m, n N, A R m n, b R m und c R n. Gesucht ist nun x R n so, dass min{c T x : Ax b, x 0} angenommen wird. Alternative Formulierung: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
5 Lineares Optimierungsproblem Definition Gegeben seien m, n N, A R m n, b R m und c R n. Gesucht ist nun x R n so, dass min{c T x : Ax b, x 0} angenommen wird. Alternative Formulierung: Minimiere c T x, wobei Ax = b, x 0 Dafür: Führe Vektor s = b Ax ein (Schlupfvariablen). Sei I die m m-einheitsmatrix. Neues System: ( ) ( ) x A I =: Ã x = b, x 0 s Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
6 Duales Optimierungsproblem Zurück zum Bauernhof: ( 1 3 A = 1 0 ), x = ( S K ) ( 8, b = 4 ) ( 2, c = 4 ) { } max c T x : Ax b, x 0 Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
7 Duales Optimierungsproblem Zurück zum Bauernhof: ( 1 3 A = 1 0 ), x = ( S K ) ( 8, b = 4 ) ( 2, c = 4 ) { } max c T x : Ax b, x 0 Nebenbedingungen sind: S + 3K 8 und S 4. Wir können c T x nach oben beschränken: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
8 Duales Optimierungsproblem Zurück zum Bauernhof: ( 1 3 A = 1 0 ), x = ( S K ) ( 8, b = 4 ) ( 2, c = 4 ) { } max c T x : Ax b, x 0 Nebenbedingungen sind: S + 3K 8 und S 4. Wir können c T x nach oben beschränken: c T x = 2S + 4K = 4 3 (S + 3K) S = Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
9 Duales Optimierungsproblem Zurück zum Bauernhof: ( 1 3 A = 1 0 ), x = ( S K ) ( 8, b = 4 ) ( 2, c = 4 ) { } max c T x : Ax b, x 0 Nebenbedingungen sind: S + 3K 8 und S 4. Wir können c T x nach oben beschränken: c T x = 2S + 4K = 4 3 (S + 3K) S = Scharfe Abschätzung für den Optimalwert Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
10 Duales Optimierungsproblem Zurück zum Bauernhof: ( 1 3 A = 1 0 ), x = ( S K ) ( 8, b = 4 ) ( 2, c = 4 ) { } max c T x : Ax b, x 0 Nebenbedingungen sind: S + 3K 8 und S 4. Wir können c T x nach oben beschränken: c T x = 2S + 4K = 4 3 (S + 3K) S = Scharfe Abschätzung für den Optimalwert Hier Glück gehabt. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
11 Duales Optimierungsproblem Können wir das Glück herausfordern? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
12 Duales Optimierungsproblem Können wir das Glück herausfordern? Idee: Schätze den Funktionalwert durch Linearkombination der Nebenbedingungen ab: c T x = 2S + 4K! Sy 1 + (S + 3K)y 2 = (y 1 + y 2 )S + (3y 2 )K 4y 1 + 8y 2 Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
13 Duales Optimierungsproblem Können wir das Glück herausfordern? Idee: Schätze den Funktionalwert durch Linearkombination der Nebenbedingungen ab: c T x = 2S + 4K! Sy 1 + (S + 3K)y 2 = (y 1 + y 2 )S + (3y 2 )K 4y 1 + 8y 2 Koeffizientenvergleich liefert unter der Annahme y 1, y 2 0: y 1 + y 2 2 und 3y 2 4 ( ) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
14 Duales Optimierungsproblem Können wir das Glück herausfordern? Idee: Schätze den Funktionalwert durch Linearkombination der Nebenbedingungen ab: c T x = 2S + 4K! Sy 1 + (S + 3K)y 2 = (y 1 + y 2 )S + (3y 2 )K 4y 1 + 8y 2 Koeffizientenvergleich liefert unter der Annahme y 1, y 2 0: y 1 + y 2 2 und 3y 2 4 ( ) Damit können wir folgern: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
15 Duales Optimierungsproblem Können wir das Glück herausfordern? Idee: Schätze den Funktionalwert durch Linearkombination der Nebenbedingungen ab: c T x = 2S + 4K! Sy 1 + (S + 3K)y 2 = (y 1 + y 2 )S + (3y 2 )K 4y 1 + 8y 2 Koeffizientenvergleich liefert unter der Annahme y 1, y 2 0: y 1 + y 2 2 und 3y 2 4 ( ) Damit können wir folgern: max{c T x : Ax b, x 0} min{4y 1 + 8y 2 : ( ) gilt und y1, y2 0} Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
16 Duales Optimierungsproblem Können wir das Glück herausfordern? Idee: Schätze den Funktionalwert durch Linearkombination der Nebenbedingungen ab: c T x = 2S + 4K! Sy 1 + (S + 3K)y 2 = (y 1 + y 2 )S + (3y 2 )K 4y 1 + 8y 2 Koeffizientenvergleich liefert unter der Annahme y 1, y 2 0: y 1 + y 2 2 und 3y 2 4 ( ) Damit können wir folgern: max{c T x : Ax b, x 0} min{4y 1 + 8y 2 : ( ) gilt und y1, y2 0} = min{b T y : A T y c, y 0} Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
17 Dualitätssatz Wann ist die Abschätzung scharf, das heißt wann ist das duale Minimum identisch dem primalen Maximum? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
18 Dualitätssatz Wann ist die Abschätzung scharf, das heißt wann ist das duale Minimum identisch dem primalen Maximum? Satz Seien n, m N, A R m n, b R m und c R n. Dann haben die beiden linearen Optimierungsprobleme max c T x Ax b x 0 und min b T y A T y c y 0 genau dann identische Optima, wenn beide Probleme zulässige Lösungen besitzen, d.h. x R n mit Ax b und x 0 bzw. y R m mit A T y c und y 0. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
19 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
20 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Idee der Simplex-Methode: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
21 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Idee der Simplex-Methode: 1 Starte bei einer Ecke Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
22 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Idee der Simplex-Methode: 1 Starte bei einer Ecke 2 Suche eine angrenzende Kante, an der der Wert von c T x abnimmt Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
23 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Idee der Simplex-Methode: 1 Starte bei einer Ecke 2 Suche eine angrenzende Kante, an der der Wert von c T x abnimmt 3 Gibt es keine solche Kante? Fertig, Optimallösung gefunden. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
24 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Idee der Simplex-Methode: 1 Starte bei einer Ecke 2 Suche eine angrenzende Kante, an der der Wert von c T x abnimmt 3 Gibt es keine solche Kante? Fertig, Optimallösung gefunden. 4 Ansonsten gehe zur neuen Ecke und starte bei 2). Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
25 Simplex-Methode min{c T x : Ax b, x 0} Wir wissen: Eindeutiges Optimum wird in Ecke des Polyeders angenommen. Idee der Simplex-Methode: 1 Starte bei einer Ecke 2 Suche eine angrenzende Kante, an der der Wert von c T x abnimmt 3 Gibt es keine solche Kante? Fertig, Optimallösung gefunden. 4 Ansonsten gehe zur neuen Ecke und starte bei 2). Löst kleine bis mittlere Probleme sehr schnell. Kein polynomieller Algorithmus, in der Praxis meist linearer Aufwand zur Lösung. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
26 Übersicht 1 Lineare Optimierung 2 Innere-Punkt-Methoden Path-following methods Potential reduction methods Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
27 path-following methods Grundidee: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
28 path-following methods Grundidee: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
29 path-following methods Grundidee: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
30 path-following methods Grundidee: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Löse diese Probleme für Folge t k Lösungsvektor x k konvergiert gegen Optimallösung von c T x Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
31 path-following methods Grundidee: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Löse diese Probleme für Folge t k Lösungsvektor x k konvergiert gegen Optimallösung von c T x Forderung: x k+1 soll iterativ aus x k berechenbar sein Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
32 path-following methods Grundidee: Fragen: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Löse diese Probleme für Folge t k Lösungsvektor x k konvergiert gegen Optimallösung von c T x Forderung: x k+1 soll iterativ aus x k berechenbar sein Welchen iterativen Löser? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
33 path-following methods Grundidee: Fragen: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Löse diese Probleme für Folge t k Lösungsvektor x k konvergiert gegen Optimallösung von c T x Forderung: x k+1 soll iterativ aus x k berechenbar sein Welchen iterativen Löser? Newton-Verfahren (quadratische Konvergenz) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
34 path-following methods Grundidee: Fragen: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Löse diese Probleme für Folge t k Lösungsvektor x k konvergiert gegen Optimallösung von c T x Forderung: x k+1 soll iterativ aus x k berechenbar sein Welchen iterativen Löser? Newton-Verfahren (quadratische Konvergenz) Wann ist t k+1 t k klein genug? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
35 path-following methods Grundidee: Fragen: Ersetze Nebenbedingungen durch einen neuen konvexen Term F (x) in der Zielfunktion Betrachte die neuen Probleme min{tc T x + F (x) : x R n } Löse diese Probleme für Folge t k Lösungsvektor x k konvergiert gegen Optimallösung von c T x Forderung: x k+1 soll iterativ aus x k berechenbar sein Welchen iterativen Löser? Newton-Verfahren (quadratische Konvergenz) Wann ist t k+1 t k klein genug? Wie sollte F gewählt werden? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
36 Self-concordance Eine strikt konvexe Funktion F, das heißt 2 F (x) > 0 für jedes x int X \{0}, definiert über u, v F,x = D 2 F (x)[u, v] := 2 F (x + tu + sv) s t = v T 2 F (x)u t=s=0 ein Skalarprodukt. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
37 Self-concordance Eine strikt konvexe Funktion F, das heißt 2 F (x) > 0 für jedes x int X \{0}, definiert über u, v F,x = D 2 F (x)[u, v] := 2 F (x + tu + sv) s t = v T 2 F (x)u t=s=0 ein Skalarprodukt. Idee: Untersuche Eigenschaften des Newton-Verfahrens bezüglich dieses Skalarprodukts! Definiere u F,x := u, u F,x. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
38 Self-concordance Definition Sei n N und X R n eine abgeschlossene konvexe Menge mit nichtleerem Inneren. Eine Funktion f : int X R heißt self-concordant (SC) auf X, wenn (i) f C 3 (int X ) gilt, f konvex ist und für x X gilt (ii) und f die Ungleichung lim f (x) = x x, x int X D 3 f (x)[h, h, h] 2 ( D 2 f (x)[h, h] ) 3/2 erfüllt. Barriere x int X h R n Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
39 Self-concordance Definition Sei n N und X R n eine abgeschlossene konvexe Menge mit nichtleerem Inneren. Eine Funktion f : int X R heißt self-concordant (SC) auf X, wenn (i) f C 3 (int X ) gilt, f konvex ist und für x X gilt (ii) und f die Ungleichung lim f (x) = x x, x int X D 3 f (x)[h, h, h] 2 ( D 2 f (x)[h, h] ) 3/2 erfüllt. (ii) entspricht L-Stetigkeit bzgl f,x. Barriere x int X h R n Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
40 Self-concordance Sei Q ein konvexes, nichtleeres Gebiet. Selbstkonkordante Funktionen f haben gutartige Eigenschaften: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
41 Self-concordance Sei Q ein konvexes, nichtleeres Gebiet. Selbstkonkordante Funktionen f haben gutartige Eigenschaften: Man kann zeigen: E f := {h R n : D 2 f (x)[h, h] = h f,x = 0} ist von x unabhängig. Weiter ist 2 f (x) s.p.d E f = {0}. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
42 Self-concordance Sei Q ein konvexes, nichtleeres Gebiet. Selbstkonkordante Funktionen f haben gutartige Eigenschaften: Man kann zeigen: E f := {h R n : D 2 f (x)[h, h] = h f,x = 0} ist von x unabhängig. Weiter ist 2 f (x) s.p.d E f = {0}. Für x Q ist der Dikin-Einheitsellipsoid {y Q : y x f,x 1} von f in Q enthalten. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
43 Self-concordance Sei Q ein konvexes, nichtleeres Gebiet. Selbstkonkordante Funktionen f haben gutartige Eigenschaften: Man kann zeigen: E f := {h R n : D 2 f (x)[h, h] = h f,x = 0} ist von x unabhängig. Weiter ist 2 f (x) s.p.d E f = {0}. Für x Q ist der Dikin-Einheitsellipsoid {y Q : y x f,x 1} von f in Q enthalten. Eine SC-Funktion f, für die E f = {0} gilt, heißt nichtentartet. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
44 Self-concordance Sei Q ein konvexes, nichtleeres Gebiet. Selbstkonkordante Funktionen f haben gutartige Eigenschaften: Man kann zeigen: E f := {h R n : D 2 f (x)[h, h] = h f,x = 0} ist von x unabhängig. Weiter ist 2 f (x) s.p.d E f = {0}. Für x Q ist der Dikin-Einheitsellipsoid {y Q : y x f,x 1} von f in Q enthalten. Eine SC-Funktion f, für die E f = {0} gilt, heißt nichtentartet. u f,x = u, u f,x ist eine Norm für jedes x Q! Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
45 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f eine SC-Funktion. Definiere c f,x := c T [ 2 f (x)] 1 c. Das Newtondekrement ist definiert über λ(f, x) := max{df (x)[h] : h R n, h f,x 1} f (x) f,x. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
46 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f eine SC-Funktion. Definiere c f,x := c T [ 2 f (x)] 1 c. Das Newtondekrement ist definiert über λ(f, x) := max{df (x)[h] : h R n, h f,x 1} f (x) f,x. Maß für die Nähe von x Q zum Minimierer x f von f auf Q: } λ(f,x) x f x f,x 1 λ(f,x) für λ(f, x) < 1 x f x f,xf λ(f,x) 1 λ(f,x) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
47 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
48 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. λ(f, x) ist endlich für jedes x Q. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
49 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. λ(f, x) ist endlich für jedes x Q. λ(f, ) ist stetig auf ganz Q. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
50 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. λ(f, x) ist endlich für jedes x Q. λ(f, ) ist stetig auf ganz Q. λ(f, x) = 0 genau dann, wenn x der Minimierer von f auf Q ist. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
51 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. λ(f, x) ist endlich für jedes x Q. λ(f, ) ist stetig auf ganz Q. λ(f, x) = 0 genau dann, wenn x der Minimierer von f auf Q ist. Das gedämpfte Newton-Verfahren wird nun definiert über x k+1 = x k λ(f, x k ) [ 2 f (x k )] 1 f (x k ) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
52 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. λ(f, x) ist endlich für jedes x Q. λ(f, ) ist stetig auf ganz Q. λ(f, x) = 0 genau dann, wenn x der Minimierer von f auf Q ist. Das gedämpfte Newton-Verfahren wird nun definiert über x k+1 = x k λ(f, x k ) [ 2 f (x k )] 1 f (x k ) Für k N und x k int X gilt [ λ(f, x k+1 ) 2λ 2 (f, x k ) λ(f, x k ) < 1 4 λ(f, x k+1) 1 ] 2 λ(f, x k) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
53 Gedämpftes Newton-Verfahren Sei f nichtentartet. λ(f, x) ist endlich für jedes x Q. λ(f, ) ist stetig auf ganz Q. λ(f, x) = 0 genau dann, wenn x der Minimierer von f auf Q ist. Das gedämpfte Newton-Verfahren wird nun definiert über x k+1 = x k λ(f, x k ) [ 2 f (x k )] 1 f (x k ) Für k N und x k int X gilt [ λ(f, x k+1 ) 2λ 2 (f, x k ) λ(f, x k ) < 1 4 λ(f, x k+1) 1 ] 2 λ(f, x k) Die garantierte Minimierung pro Newton-Schritt ist f (x k ) f (x k+1 ) λ(f, x k ) log(1 + λ(f, x k )) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
54 Self-concordant barriers Benötigen noch mehr für Konvergenz der Inneren-Punkt-Methode: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
55 Self-concordant barriers Benötigen noch mehr für Konvergenz der Inneren-Punkt-Methode: Definition Sei X eine abgeschlossene, konvexe und nichtleere Menge. Für ϑ 1 heißt F eine ϑ-self-concordant barrier (ϑ-scb) für X, falls F self-concordant auf X ist und zusätzlich DF (x)[h] ϑ ( D 2 F (x)[h, h] ) 1/2 x int X h R n erfüllt. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
56 Self-concordant barriers Benötigen noch mehr für Konvergenz der Inneren-Punkt-Methode: Definition Sei X eine abgeschlossene, konvexe und nichtleere Menge. Für ϑ 1 heißt F eine ϑ-self-concordant barrier (ϑ-scb) für X, falls F self-concordant auf X ist und zusätzlich DF (x)[h] ϑ ( D 2 F (x)[h, h] ) 1/2 x int X h R n erfüllt. ϑ liefert später Fehlerabschätzung für die Methode Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
57 Self-concordant barriers Benötigen noch mehr für Konvergenz der Inneren-Punkt-Methode: Definition Sei X eine abgeschlossene, konvexe und nichtleere Menge. Für ϑ 1 heißt F eine ϑ-self-concordant barrier (ϑ-scb) für X, falls F self-concordant auf X ist und zusätzlich DF (x)[h] ϑ ( D 2 F (x)[h, h] ) 1/2 x int X h R n erfüllt. ϑ liefert später Fehlerabschätzung für die Methode Für eine SCB F gilt: F auf X nach unten unbeschränkt λ(f, x) 1 x int X. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
58 Konvergenz der path-following-method Voraussetzungen für folgenden Satz: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
59 Konvergenz der path-following-method Voraussetzungen für folgenden Satz: X R n sei eine abgeschlossene, konvexe Menge mit nichtleerem Inneren. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
60 Konvergenz der path-following-method Voraussetzungen für folgenden Satz: X R n sei eine abgeschlossene, konvexe Menge mit nichtleerem Inneren. Weiter sei eine ϑ-scb F auf X gegeben. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
61 Konvergenz der path-following-method Voraussetzungen für folgenden Satz: X R n sei eine abgeschlossene, konvexe Menge mit nichtleerem Inneren. Weiter sei eine ϑ-scb F auf X gegeben. Die Mengen {x X : c T x α} seien beschränkt für jedes α R +. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
62 Konvergenz der path-following-method Voraussetzungen für folgenden Satz: X R n sei eine abgeschlossene, konvexe Menge mit nichtleerem Inneren. Weiter sei eine ϑ-scb F auf X gegeben. Die Mengen {x X : c T x α} seien beschränkt für jedes α R +. Wir betrachten nun das konvexe Problem min{c T x : x X }. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
63 Konvergenz der path-following-method Satz Gelten die erwähnten Voraussetzungen. Dann ist F nichtentartet, c T x nimmt sein Minimum auf X an und der zentrale Pfad x (t) := arg min x int X F t(x), F t (x) := tc T x + F (x), t > 0 ist wohldefiniert, alle Funktionen F t sind self-concordant auf X. Für den Fehler von c T x (t) zum Minimum von c T x auf X gilt ɛ(x (t)) := c T x (t) min x X ct x ϑ t. Falls weiterhin für t > 0 und x X die Ungleichung λ(f t, x) 1 2 gilt, dann ist ɛ(x) ϑ + ϑ. t Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
64 Path-following method Weiterhin gelten die erwähnten Voraussetzungen. Gegeben: (t 0, x 0 ) R + int X mit λ(f t0, x 0 ) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
65 Path-following method Weiterhin gelten die erwähnten Voraussetzungen. Gegeben: (t 0, x 0 ) R + int X mit λ(f t0, x 0 ) Iteration: t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
66 Path-following method Weiterhin gelten die erwähnten Voraussetzungen. Gegeben: (t 0, x 0 ) R + int X mit λ(f t0, x 0 ) Iteration: t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Wohldefiniert: Es gilt x k+1 int X und λ(f tk+1, x k+1 ) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
67 Path-following method Weiterhin gelten die erwähnten Voraussetzungen. Gegeben: (t 0, x 0 ) R + int X mit λ(f t0, x 0 ) Iteration: t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Wohldefiniert: Es gilt x k+1 int X und λ(f tk+1, x k+1 ) Für die Abweichung von c T x k zum Minimalwert von c T x gilt weiterhin für jedes k N die Abschätzung c T x k min x X ct x ϑ + ϑ ϑ + ϑ e k ϑ. t k t 0 Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
68 potential reduction methods t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
69 potential reduction methods t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Nachteile: ϑ sehr groß Zeitschritt sehr klein! Fehler kann sehr groß sein! Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
70 potential reduction methods t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Nachteile: ϑ sehr groß Zeitschritt sehr klein! Fehler kann sehr groß sein! Abhilfe: Primal-dual path-following methods, die das duale Problem parallel lösen Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
71 potential reduction methods t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Nachteile: ϑ sehr groß Zeitschritt sehr klein! Fehler kann sehr groß sein! Abhilfe: Primal-dual path-following methods, die das duale Problem parallel lösen komplex; SCB für duales Problem ist nicht sofort durch SCB des primalen gegeben (unschön). Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
72 potential reduction methods t k+1 = (t k, x k ) ( ϑ ) t k x k+1 = x k 1 1+λ(F tk+1,x k ) [ 2 F (x k ) ] 1 Ftk+1 (x k ) Nachteile: ϑ sehr groß Zeitschritt sehr klein! Fehler kann sehr groß sein! Abhilfe: Primal-dual path-following methods, die das duale Problem parallel lösen komplex; SCB für duales Problem ist nicht sofort durch SCB des primalen gegeben (unschön). Andere Möglichkeit: Zweite große Klasse von Verfahren - potential reduction methods Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
73 Konische Optimierung1 Konvexer Kegel Sei n N. Ein konvexer Kegel K R n ist eine nichtleere konvexe Menge, für die x K tx K t 0 gilt. Man nennt einen konvexen Kegel punktiert, falls er keine Geraden enthält. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
74 Konische Optimierung1 Konvexer Kegel Sei n N. Ein konvexer Kegel K R n ist eine nichtleere konvexe Menge, für die x K tx K t 0 gilt. Man nennt einen konvexen Kegel punktiert, falls er keine Geraden enthält. Dualer Kegel Der zu einem konvexen Kegel K R n duale Kegel ist gegeben durch K := {s R n : s T x 0 x K}. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
75 Konische Optimierung2 Konisches Optimierungsproblem Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit einem nichtleeren Inneren. Seien b, c R n und L R n ein linearer Unterraum. Das konische Optimierungsproblem lautet dann: Minimiere c T x, wobei x (b + L) K. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
76 Konische Optimierung2 Konisches Optimierungsproblem Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit einem nichtleeren Inneren. Seien b, c R n und L R n ein linearer Unterraum. Das konische Optimierungsproblem lautet dann: Minimiere c T x, wobei x (b + L) K. Verallgemeinerung des linearen Optimierungsproblems: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
77 Konische Optimierung2 Konisches Optimierungsproblem Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit einem nichtleeren Inneren. Seien b, c R n und L R n ein linearer Unterraum. Das konische Optimierungsproblem lautet dann: Minimiere c T x, wobei x (b + L) K. Verallgemeinerung des linearen Optimierungsproblems: L = {x R n : Ax = 0}, Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
78 Konische Optimierung2 Konisches Optimierungsproblem Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit einem nichtleeren Inneren. Seien b, c R n und L R n ein linearer Unterraum. Das konische Optimierungsproblem lautet dann: Minimiere c T x, wobei x (b + L) K. Verallgemeinerung des linearen Optimierungsproblems: L = {x R n : Ax = 0}, b = x 0, wobei x 0 spezielle Lösung von Ax = b, Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
79 Konische Optimierung2 Konisches Optimierungsproblem Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit einem nichtleeren Inneren. Seien b, c R n und L R n ein linearer Unterraum. Das konische Optimierungsproblem lautet dann: Minimiere c T x, wobei x (b + L) K. Verallgemeinerung des linearen Optimierungsproblems: L = {x R n : Ax = 0}, b = x 0, wobei x 0 spezielle Lösung von Ax = b, K = R n +. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
80 LHSCB Definition Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit nichtleerem Inneren. Eine ϑ-scb F für K heißt ϑ-logarithmisch homogen (kurz ϑ-lhscb), falls für jedes τ R + und für jedes x int K gilt F (τx) = F (x) ϑ log(τ). Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
81 LHSCB Definition Sei n N und K R n ein abgeschlossener, konvexer und punktierter Kegel mit nichtleerem Inneren. Eine ϑ-scb F für K heißt ϑ-logarithmisch homogen (kurz ϑ-lhscb), falls für jedes τ R + und für jedes x int K gilt F (τx) = F (x) ϑ log(τ). Schön: LHSCB für dualen Kegel K gegeben über [ ] F (y) = y T x F (x). sup x int K Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
82 Karmarkar-Verfahren Zu Grunde liegende Annahmen: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
83 Karmarkar-Verfahren Zu Grunde liegende Annahmen: Die Menge der Kandidaten für optimale Funktionswerte X := {x K : Ax = b} sei beschränkt. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
84 Karmarkar-Verfahren Zu Grunde liegende Annahmen: Die Menge der Kandidaten für optimale Funktionswerte X := {x K : Ax = b} sei beschränkt. Ein Startwert x, der im Inneren der Grundmenge liegt, sei gegeben. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
85 Karmarkar-Verfahren Zu Grunde liegende Annahmen: Die Menge der Kandidaten für optimale Funktionswerte X := {x K : Ax = b} sei beschränkt. Ein Startwert x, der im Inneren der Grundmenge liegt, sei gegeben. Der optimale Wert des Problems sei bekannt: c = 0. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
86 Karmarkar-Verfahren Zu Grunde liegende Annahmen: Die Menge der Kandidaten für optimale Funktionswerte X := {x K : Ax = b} sei beschränkt. Ein Startwert x, der im Inneren der Grundmenge liegt, sei gegeben. Der optimale Wert des Problems sei bekannt: c = 0. Der Kegel K besitze eine ϑ-lhscb F. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
87 Karmarkar-Verfahren Zu Grunde liegende Annahmen: Die Menge der Kandidaten für optimale Funktionswerte X := {x K : Ax = b} sei beschränkt. Ein Startwert x, der im Inneren der Grundmenge liegt, sei gegeben. Der optimale Wert des Problems sei bekannt: c = 0. Der Kegel K besitze eine ϑ-lhscb F. Ziel: Konstruiere eine Funktion φ(x), die ein direktes Maß für die Nähe von x zur Optimallösung x darstellt. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
88 Karmarkar-Verfahren Betrachte Problem der Form min{c T x : x L K, e T x = 1}, e R n Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
89 Karmarkar-Verfahren Betrachte Problem der Form Definiere Karmarkar-Potential: min{c T x : x L K, e T x = 1}, e R n φ(x) := F ( x c T x ) = F (x) + ϑ log(ct x) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
90 Karmarkar-Verfahren Betrachte Problem der Form Definiere Karmarkar-Potential: min{c T x : x L K, e T x = 1}, e R n φ(x) := F ( x c T x ) = F (x) + ϑ log(ct x) Es gibt Transformationen p und p 1 zwischen den beiden Mengen X 0 := {x K : Ax = b} int K, Z 0 := Z int K, Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
91 Karmarkar-Verfahren Betrachte Problem der Form Definiere Karmarkar-Potential: min{c T x : x L K, e T x = 1}, e R n φ(x) := F ( x c T x ) = F (x) + ϑ log(ct x) Es gibt Transformationen p und p 1 zwischen den beiden Mengen X 0 := {x K : Ax = b} int K, Z 0 := Z int K, wobei φ auf Z per Konstruktion nach unten unbeschränkt. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
92 Karmarkar-Verfahren Betrachte Problem der Form Definiere Karmarkar-Potential: min{c T x : x L K, e T x = 1}, e R n φ(x) := F ( x c T x ) = F (x) + ϑ log(ct x) Es gibt Transformationen p und p 1 zwischen den beiden Mengen X 0 := {x K : Ax = b} int K, Z 0 := Z int K, wobei φ auf Z per Konstruktion nach unten unbeschränkt. λ(φ, z) 1 z int Z. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
93 Karmarkar-Verfahren Betrachte Problem der Form Definiere Karmarkar-Potential: min{c T x : x L K, e T x = 1}, e R n φ(x) := F ( x c T x ) = F (x) + ϑ log(ct x) Es gibt Transformationen p und p 1 zwischen den beiden Mengen X 0 := {x K : Ax = b} int K, Z 0 := Z int K, wobei φ auf Z per Konstruktion nach unten unbeschränkt. λ(φ, z) 1 z int Z. Benutze gedämpftes Newton-Verfahren, um φ auf Z 0 gegen zu drücken. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
94 Karmarkar-Verfahren Satz Sei G die Einschränkung der ϑ-lhscb F auf Z. Dann reduziert das gedämpfte Newton-Verfahren auf X 0 x + : X 0 X 0, x p 1 (z + (p(x))), wobei z + einen Schritt des gedämpften Newton-Verfahrens bezüglich G und Z 0 darstellt, das Karmarkar-Potential φ(x) = G(p(x)) = G( x c T x ) = F (x) + ϑ log(ct x) in jedem Schritt um mindestens δ = 1 log(2). Weiter gilt für diese Folge (x k ) k N : ( c T x k = c T x k min x X ct x c T x exp ) F ( x) ˆF kδ. ϑ Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
95 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
96 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
97 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
98 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
99 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Einfach zu implementieren, aber sehr langsam primal-duale Verfahren Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
100 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Einfach zu implementieren, aber sehr langsam primal-duale Verfahren Karmarkar-Verfahren: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
101 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Einfach zu implementieren, aber sehr langsam primal-duale Verfahren Karmarkar-Verfahren: Konstruiere äquivalentes Problem auf unbeschränkter Menge Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
102 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Einfach zu implementieren, aber sehr langsam primal-duale Verfahren Karmarkar-Verfahren: Konstruiere äquivalentes Problem auf unbeschränkter Menge Laufe mittels des gedämpften Newtonverfahrens gegen Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
103 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Einfach zu implementieren, aber sehr langsam primal-duale Verfahren Karmarkar-Verfahren: Konstruiere äquivalentes Problem auf unbeschränkter Menge Laufe mittels des gedämpften Newtonverfahrens gegen LHSCB liefert ein direktes Maß für die Nähe zum Zielwert Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
104 Zusammenfassung Lineare Optimierung: primales/duales Problem, Dualitätssatz Path-following methods: Ersetze Nebenbedingung durch zusätzlichen Term F (x) (Barriere) Führe ein gedämpftes Newtonverfahren bezüglich speziellen Skalarprodukts durch Einfach zu implementieren, aber sehr langsam primal-duale Verfahren Karmarkar-Verfahren: Konstruiere äquivalentes Problem auf unbeschränkter Menge Laufe mittels des gedämpften Newtonverfahrens gegen LHSCB liefert ein direktes Maß für die Nähe zum Zielwert Leicht verbesserbar (z.b. durch line-search), konvergiert deutlich schneller, als die Theorie suggeriert, aber starke Voraussetzungen an Problem Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
105 Weiterführend Nicht behandelt: Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
106 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
107 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Ja, sofern wir auf einer abgeschlossenen, konvexen Menge arbeiten. Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
108 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Ja, sofern wir auf einer abgeschlossenen, konvexen Menge arbeiten. Wie kann ein Startpunkt im Inneren der zulässigen Menge gefunden werden? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
109 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Ja, sofern wir auf einer abgeschlossenen, konvexen Menge arbeiten. Wie kann ein Startpunkt im Inneren der zulässigen Menge gefunden werden? Startpunktwahl ist ein Thema für sich Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
110 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Ja, sofern wir auf einer abgeschlossenen, konvexen Menge arbeiten. Wie kann ein Startpunkt im Inneren der zulässigen Menge gefunden werden? Startpunktwahl ist ein Thema für sich Inwiefern verbessern primal-duale Algorithmen die Ergebnisse? Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
111 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Ja, sofern wir auf einer abgeschlossenen, konvexen Menge arbeiten. Wie kann ein Startpunkt im Inneren der zulässigen Menge gefunden werden? Startpunktwahl ist ein Thema für sich Inwiefern verbessern primal-duale Algorithmen die Ergebnisse? Keine besseren worst-case bounds, aber erlauben agressivere Aktualisierungsschemata Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
112 Weiterführend Nicht behandelt: Wie erhält man eine SCB? Gibt es immer eine SCB? Ja, sofern wir auf einer abgeschlossenen, konvexen Menge arbeiten. Wie kann ein Startpunkt im Inneren der zulässigen Menge gefunden werden? Startpunktwahl ist ein Thema für sich Inwiefern verbessern primal-duale Algorithmen die Ergebnisse? Keine besseren worst-case bounds, aber erlauben agressivere Aktualisierungsschemata Johannes Stemick () Innere-Punkt-Methoden / 28
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