3. Erfüllungsbetrag und Barwert von Pensionsverpflichtungen. S finanzmathematischer Barwert des Zahlungsstroms (T, S) zum Zeitpunkt t n. n 0.

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1 3. Erfüllugsberag ud Barwer vo Pesiosverflichuge 3.. Der Erfüllugsberag eier Verflichug S S S i, r= i, v= = r i T= Folge vo Zeiue i < ( ) S= S Folge vo Zahlberge u de Zeiue (T,S) : v S : Zahlugssro Wer der Zahlug S u Zeiu (= Sichag) = b v S fiaaheaischer Barwer des Zahlugssros (T, S) u Zeiu Wahrscheilicheisrau: ( Ω, A, P ) U: Zva Ugewisse Verflichug B: Zva Erfüllugsberag eier Verflichug U besi Realisieruge der For: ( ) u : = T, S. Das sid Zahlugssröe, die ur Erfüllug der Verflichug führe. U ( ) ( ) Vereilug vo U: P u = P U= u B besi dai die Realisieruge der For: ( ) ( ) b = v S Das is der fiaaheaische Barwer der ugewisse Verflichug = ( = ) ( ) Vereilug vo B: P b P B b B () u. 4

2 Bewerugsriiie ur Bildug eier Rücsellug: ) Rücsellug R wird so fesgeleg, dass P( B> R ) α i geeigee α> Perceilrii (Prii des vorsichige Kaufas) ) Rücsellug R wird so fesgeleg, dass [ ] R : = E B = b P B= b Erwarugswerrii Vorgehesweise ) Besiug der Zahlugssröe der ugewisse Verflichug ) Berechuge der Realisieruge des Erfüllugsberages 3) Berechug der Vereilug des Erfüllugsberages 4) Berechug der Rücsellug ach eie geeigee Bewerugsverfahre Beisiel: ebeslglich jhrliche vorschüssig ahlbare Ree Tod... - Realisierug: Tod i ()-e Jahr ach Reebegi Für diese ugewisse Verflichug U gib es abhlbar viele Realisieruge ( ) u : T, S ( ) = T S = N ( ) ( = ) sos ( =,) ( N ) : ( ) Tod i. Jahr S Tod i. Jahr sos allgeei S ( ) ( =,,...,) Tod i. Jahr ( N ) sos 5

3 Dai ergebe sich für de Erfüllugsberag B die Realisieruge ( ) ( ) N b = v S = v = = T ( ), also B =, wobei die Zva T die Aahl der volledee Jahre bis u Tod agib. Für die Vereilug vo T ud dai auch für B gil: ( = ) = = ( = ) P T q P B b also [ ] E B = b P B= b = q = : Es gil: o = v (siehe Aufgabe,. Übugsbla) Weiere Beisiele sid aus der Vorlesug ebesversicherugsaheai bea. 3.. Barwere bei jhrlicher Zahlugsweise I folgede wolle wir de Barwer eier ugewisse Verflichug gegeüber eier Perso allgeei darselle uer Zugrudelegug eier usaegesee Ordug vo h Ausscheideursache... ( i ) q Ausscheidewahrscheilicheie ( i=,,...,h) Versicherugsechisches Aler u Begi eier Verflichug ( ) Erwarugswer der eisuge, die durch Erreiche des Alers i der Haugesahei verursach werde, disoier auf de Begi des Jahres. ( i) Erwarugswer der eisuge, die durch das Ausscheide i, aus der Ursache i ausgelös werde, Alersiervall ] ] disoier auf de Begi des Jahres (, i=,,..., h). Erwarugswer der gesae eisuge, die durch Erreiche des, ausgelös werde a, disoier auf Alersiervalls ] ] de Begi des Jahres ( ). 6

4 ( ) (i) ( i) h ( ) = q i= Barwer der Gesaverflichug u Aler : h ( i) B = v = q ud = j i= j= eisugsbarwer u Aler : ( ) B = v Beisiel : Jhrlich vorschüssige Serberee bis u Aler Tod h=, q = q ( ) =, = v, = q v (=,,..., ) (beache : = ) B = v q = : = Beisiel : Aivegesahei i feser Alersgree : Zusage auf Alers-, Ivalide- ud Ehegaeree, lebeslglich jhrlich vorschüssig ahlbar R Jahresreeasruch bei Eiri des Versorgugsfalles ach Diesjahre ( ) w Höhe der Wiweree als Brucheil der Berechigeree h=, q = i, q = q aa Hier aufauchede Barwere < i : = R ( w ) ( = ) ( ) r rw i iw w r rw,, y, ud werde ser och geauer behadel. 7

5 i iw R v w ( < ) ( ) y( ) w R w h v < = ( = ) i aa q < = R : ˆ ( ) = = ( = ) i iw aa w i v w q w h v < y( ) = r rw ( w ) ( = ) a a B = v = v R = = Beerug: Is =, so gil D D : = l v v = D D D : = D v ˆ = v = D Mi = gil dai N : D D N B = v = = D D allgeei: B = v = v = D N 8

6 3.3. Barwere bei uerjhrlicher Zahlugsweise Beisiel: oaliche Zahlug der Höhe (Jahresree der Höhe ) deeriiere Flligei Allgeei: Zahlugsabschie ro Jahr, Zahlugsveor: R= ur R, R,...,R R R R... R Sei [ u] v v u : = (u ) i u u ( [ ]) Disoierug u u Jahre bei uerjhrig eifacher Verisug. Uer der Vorausseug der Gleichvereilug der Ausscheideeiue über das Jahr erhl a für de Barwer die Forel: r Barw R = R v = wobei = R q = i =... = = r = R R v r ( ) ( R) ( ) = = R i i uabhgig vo is. 9

7 Seialfall: ur R : = R,R,...,R = = i R : (,,..., ) r i : = ( R) = = i i () : = = r : = Barw R = v ( ) Für de Barwer eier lebeslgliche sofor begiede eibree der Höhe, uerjhrlich ahlbar der Höhe gil dai: () () : = v( ) = v v( ) = v : ( ( ) ) = v v = v v = = Zur Ierreaio vo () siehe auch Kaiel 3.4. Sa: (Ivariasa) Awarschafsbarwere laufeder Ree i gleichbleibeder Reehöhe ud deeriierer Flligei, hge ich vo der Zahlugsweise ab, we sowohl das auslösede als auch das beedede Ereigis ierhalb eies Jahres gleichvereil is. Beweissie: = Aahl der Zahlugsabschie ro Jahr R = Höhe der Jahresree R R R... R... ( T T )... =... T... T s : T : Zva Zeiu des auslösede Ereigisses 3

8 T : Zva Zeiu des beedede Ereigisses R R = { { } { }} T s T s fiaaheaischer Barwer: ( ) B = v s R R R B = v( s ) { T } v( s ) s { T s } = B = B j j E B = E B j=, E B = E B E B = E B E B 3.4. Barwere der RT 5 G Wir beschre us i der Darsellug uchs auf jhrlich gleichbleibede Ree der Höhe. Beiehe sich die i eier Forel verwedee Wahrscheilicheie alle auf eiud dieselbe Geeraioeserbeafel, so soll der Gebursjahrgag g ich elii aufgeführ werde. Ferer sei der eifachere Darsellug wege folgede Seug vereibar: q g = q ud r q i = q für. r. Barwere laufeder Ree - Barwer des Asruchs eier Perso des Besades b - b { r,g, w,i} - ud des Alers auf eie lebeslglich Jahre laufede Ree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. b b b { } = v b r, g, w,i b b ( ) b = = ( ) i v : Da folg: ( ) = v v = b b b b 3

9 - Barwer des Asruchs eier Perso des Besades b - b { a,i} - ud des Alers (< ) auf eie lgses : = Jahre laufede Ree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. b b b() : = { } = v b a,i i b b() : für < für = Da folg: b b ( ) b ( ) = v i = : : Hiweis: Neuburger verwede i [] sa die Schreibweise a : a. Awarschafsbarwere - Barwer der Awarschaf eies -jhrige Aive auf eie lebeslglich laufede Ivalideree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. ai a ai ai = = v = ( ) i ai i ai v, <, = Für < gil: = v i ai i i i i = v i v i = : also: ( ) ai ( ) i = v i ( < ) 3

10 Ierreaio vo : i i i i i i = v = v v i i i : = v also i i () = v : : Wer der i Jahr des Reebegis fllige Reerae u Ede des Jahres. Dies gil ier uer der Vorausseug, dass die Zva Zeiu des Eiris des auslösede Ereigisses ierhalb des Jahres gleichvereil is ud die Reerae bis u Ede des Jahres laufe (sowohl bei Eifach- als auch bei Mehrfachübergge). - Barwer der Awarschaf eies -jhrige Aive auf eie lgses bis u Aler laufede Ivalideree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. ai( ) a ai( ) = v = i ai ai : i v < ( = ) i i i i v v v ( ) : < (= ) - Barwer der Awarschaf eies -jhrige Aive auf eie lebeslglich laufede Alersree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. aa a aa = = v i (< ) (= ) aa r also: = v aa a r 33

11 - Barwer der Awarschaf eies -jhrige Aive auf eie lebeslglich laufede Alers- ud Ivalideree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. aia ai aa = : = ( ) aia ai aa - Barwer der Awarschaf eier Perso des Besades b - b { r, g, i} - ud des Alers i Gebursjahrgag g auf eie lebeslglich laufede Ehegaeree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. (Kolleivehode, Geeraioeserbeafel) { } für geeigee, (g) = v (g) (g) = (g) (b r, g,i ) bw b bw bw wobei ( ) bw bw w (g) = v (g) y( g, ) (g ') i g = g y(g, ) = v q (g) h (g) (g ) (g ) b w w y ( g, ) y g, b w w = v q (g) h (g) v (g ) y ( g, ) (g ) y g, = v q (g) h (g) (g ) b w y( g, ) w = : (g ) y( g, ) ( ) b w w = v q (g) h (g) v (g ) (g ) y g, y( g, ) - Barwer der Awarschaf eies Aive des Alers auf eie lebeslglich laufede Ehegaeree vo Jahresberag bei Tod als Aiver, vorschüssig ahlbar i Rae.a. (Kolleivehode) aaw aaw aaw a = = v = aaw aaw w v < y ( = ) Für < gil: aaw aa w w = v q h y y 34

12 = v q h aa w y w w w = y y y i v - Barwer der Awarschaf eies Aive des Alers auf eie lebeslglich laufede Ehegaeree vo Jahresberag bei Tod ach Erreiche der Alersgree als Aiver, vorschüssig ahlbar i Rae.a. (Kolleivehode) aaw a aaw a rw = = = v v wobei aaw < rw ( = ) - Barwer der Awarschaf eies Aive des Alers auf eie lebeslglich laufede Ehegaeree vo Jahresberag bei Tod als Aiver bw. ach Erreiche der Alersgree als Aiver, vorschüssig ahlbar i Rae.a. (Kolleivehode) aaw aaw aaw = - Barwer der Awarschaf eies Aive des Alers auf eie lebeslglich laufede Ehegaeree vo Jahresberag bei Tod als Ivalider, vorschüssig ahlbar i Rae.a. (Kolleivehode) aiw a aiw aiw = = v = wobei ai iw aiw w aiw v v < y ( = ) Für < gil: = v i v i q h aiw i iw i w w y y = v i iw i : v q h iw i iw i w w = y y 35

13 - Barwer der Awarschaf eies Aive des Alers auf eie lebeslglich laufede Ehegaeree vo Jahresberag, vorschüssig ahlbar i Rae.a. (Kolleivehode) aw () aiw () aaw : = Aive Ivalide aus Aive Aive- Alersreer 3 Ivalide- Alersreer Hierbliebee aus Ivalide Hierbliebee aus Iv.-Alersreer Hierbliebee aus Aive Hierbliebee aus Aive-Alersreer. ai( ) 6. aaw aa aaw ai aiw 3. ai ai( ) Übug Aufgabe aia 4. aaw aw 36

14 Beerug: Für gleichßig seigede Awarschafe gele die folgede Forel: (i) gleichßig, ersals i Aler, lealig i Aler -, seigede Awarschafe < () ai a ( ) ai = v = < () ai( ) a ( ) ai ( ) = v = < () aiw a ( ) aiw = v = (ii) gleichßig, ersalig i Aler, lealig i Aler, seigede Awarschafe < < () aia () ai aa = < ( ) aaw () aaw a ( ) aaw = v = < < < () aw () aiw () aaw = 37