Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen

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1 Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9. Summen 1

2 Zahlen 2

3 Zahlen 3

4 Zahlen Rechenoperationen: Addition +, Subtraktion -, Multiplikation, Division : / : 4

5 Zahlen -5 5

6 Zahlen und Rechnen 6

7 Zahlen und Rechnen Multiplikation aller Zahlen von 1 bis 6: Allgemein: Multiplikation aller Zahlen von 1 bis n wird bezeichnet mit: n! n-fakultät oder n-faktorielle Definition: 0! = 1 Rekursive Definition: n! = n (n-1)! für n>0 7

8 Potenzrechnung 8

9 Potenzrechnung 9

10 Potenzrechnung Rechenregeln für Potenzen bei gleicher Basis: 10

11 Potenzrechnung Rechenregeln für Potenzen mit gleichen Exponenten: 11

12 Potenzrechnung Potenzen einer Summe: Im allgemeinen gilt: Beispiel: 12

13 Potenzrechnung Anwendung in der Zinsrechnung: 13

14 Potenzrechnung Anwendung mit negativen Exponenten: 14

15 Wurzeln Potenzen: Was tun, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? 15

16 Wurzeln Es gelten die gleichen Rechenregeln wie bei klassischen Potenzen (Exponent ist natürliche Zahl)! Zu beachten wie bei klassischen Potenzen: 16

17 Wurzeln Quadratwurzel ist nichtnegativ! 17

18 Allgemeine Wurzeln Spezialfall: n=3 -> Dritte oder kubische Wurzel 18

19 Allgemeine Wurzeln 19

20 Allgemeine Wurzeln Anwendung mit rationalen Exponenten: Ein Betrag von auf einem Sparkonto ist in 15 Jahren auf angewachsen. Wie hoch war der konstante, jährliche Zinssatz p? 20

21 Allgemeine Wurzeln Potenzen mit Bruchzahl als Exponenten Definition: Folgerung: Beispiel: 21

22 Allgemeine Wurzeln Potenzen mit negativer Basis: 22

23 Elementare Rechenregeln Binomische Formeln: Rechnen mit negativen Klammern: 23

24 Algebraische Ausdrücke 24

25 Algebraische Ausdrücke Systematische Vorgangsweise zur Vereinfachung: 25

26 Algebraische Ausdrücke Beispiel: Systematische Vorgangsweise: 26

27 Ungleichungen Vergleichen von Zahlen und Termen: 27

28 Ungleichungen Rechenregeln für Ungleichungen: 28

29 Intervalle Alle diese Intervalle sind beschränkt. 29

30 Intervalle Symbol für den Begriff Unendlich. ist keine Zahl, sondern ein Symbol. Die üblichen Rechenregeln für Zahlen gelten nicht für. Unbeschränkte Intervalle: 30

31 Betrag Der Abstand zwischen einer reellen Zahl a und 0 heißt Absolutbetrag von a, bezeichnet mit a. Es gilt: Beispiel: 31

32 Betrag Abstand zwischen zwei Zahlen, d.h. Abstand zwischen zwei Punkten auf der Zahlengerade: 32

33 Betrag Beispiel: Bestimmen Sie alle x, für die gilt: 33

34 Lösen von Gleichungen Alle Werte der Variablen finden, welche die vorliegende Gleichung erfüllen. Ein Lösungswert ist nur zulässig, wenn für ihn alle Ausdrücke der Gleichung definiert sind. Es kann keine, genau eine (eindeutig), mehrere oder unendlich viele Lösungen geben. 34

35 Lösen von Gleichungen Spezialfall: Lineare Gleichung a und b sind reelle Zahlen und heißen Parameter. Es gilt stets: a 0 Allgemeine Lösung: Beispiele: 35

36 Lösen von Gleichungen Spezialfall: Quadratische Gleichung a, b und c sind reelle Zahlen und heißen Parameter. x ist die unbekannte Variable. Es gilt stets: a 0 Allgemeine Lösungsformel: 36

37 Lösen von Gleichungen Spezialfall: Quadratische Gleichung 37

38 Lösen von Gleichungen Faktorenzerlegung einer quadratischen Gleichung: 38

39 Lösen von Gleichungen Quadratische Gleichung: Satz von Vieta François Viète ( ) 39

40 Lösen von Gleichungen Lösung von 2 Gleichungen mit 2 Variablen: Beispiel: Einsetzungsmethode: 40

41 Lösen von Gleichungen Einsetzungsmethode: Beispiel Forts.: 41

42 Lösen von Gleichungen Produkt-Null Satz: Beispiel: Achtung: Keinen Faktor durch Kürzen entfernen! Dieser Faktor könnte 0 sein und eine Lösung liefern! 42

43 Logarithmen Potenz: Gegeben eine Basis a und ein Exponent u. Wie lautet das Ergebnis x für? Umkehraufgabe: Gegeben eine Basis a und ein Ergebnis x. Wie lautet der Exponent u, sodass? Definition: 43

44 Logarithmen Es gilt stets (für x > 0): Wenn dann ist Beispiele: 44

45 Logarithmen Spezialfall: Wenn die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e ist (e = 2,71828 ), dann nennt man log a den natürlichen Logarithmus, geschrieben als ln (logarithmus naturalis), also: Umgekehrt: Wenn Offenbar gilt: 45

46 Logarithmen Natürlicher Logarithmus Beispiele: 46

47 Logarithmen Rechenregeln für Logarithmen zur Basis a: 47

48 Logarithmen Es gilt: Warnung: Es gibt keine einfachen Formeln für 48

49 Logarithmen Beispiel: Lösung: ln auf jeder Seite 49

50 Logarithmen Zusammenhang zwischen ln und log: 50

51 Logarithmen Beispiel: Ein Euro wird auf einem Sparbuch mit 8% Zinsen angelegt. Wie lange dauert es, bis daraus 10 Euros geworden sind? Lösung: gesucht ist x, die Anzahl der Jahre, sodass gilt: 51

52 Summen Betrachte die Summe von 6 Zahlen, bezeichnet mit N 1 bis N 6 : 52

53 Summen Allgemeine Summationsgrenzen: 53

54 Summen Beispiele: 54

55 Summen Summe der Zahlen von 1 bis n: Carl Friedrich Gauß ( ) 55

56 Summen 56

57 Doppelsummen Beispiel: 57