PS1. Grundlagen-Vertiefung Version

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1 PS1 Grundlagen-Vertiefung Version

2 Inhaltsverzeichnis Freie Schwingung Gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung Freie mechanische Schwingung Lineares Federpendel Ebenes physikalisches Pendel Gekoppelte Pendel Gleichsinnige (gleichphasige) Schwingung Gegensinnige (gegenphasige) Schwingung Schwebungsfall Dopplereekt Ruhender Beobachter, bewegte Schallquelle Bewegter Beobachter, ruhende Schallquelle Allgemeiner Dopplereekt

3 1.1 Freie Schwingung Die Schwingung wird einmalig angeregt und verläuft dann ohne weitere äuÿere Anregungen, auch ohne Reibungskräfte. Man kann sie über die Summe aller auftretenden Kräfte beschreiben: m }{{ a} + D }{{ x} = 0 (1) Trägheitskraft Rückstellkraft oder unter Berücksichtigung der kinematischen Zusammenhänge: m ẍ + D x = 0 () Formelzeichen Einheit Bezeichnung m kg (oszillierende) Masse a, ẍ m s Beschleunigung D kg s Richtgröÿe x m Ort (Momentanauslenkung) Bei Gleichung handelt es sich es sich um eine lineare, homogene Dierenzialgleichung. Ordnung. Mit der Lösung dieser Gleichung wollen wir uns später befassen. Vorerst beachten Sie bitte die Unterschiede und Gemeinsamkeiten der verschiedenen Schwingungsarten und ihre mathematische Beschreibung. Die Richtgröÿe D ist eine Konstante und hängt von Systemgröÿen ab (z.b. ist D bei einem Federpendel die Federkonstante) Gedämpfte Schwingung Bei der gedämpften Schwingung treten Reibungskräfte auf. Dem System wird kontinuierlich Schwingungs-Energie entzogen. Als Beispiel wollen wir das Modell der Stokes'schen (oder viskosen) Reibung heranziehen, also eine von der Geschwindigkeit des reibenden Körpers abhängige Reibungskraft. Man kann die gedämpfte Schwingung über die Summe aller auftretenden Kräfte beschreiben: m a }{{} Trägheitskraft + b v }{{} Reibungskraft + D }{{ x} = 0 (3) Rückstellkraft - 1 -

4 Abbildung 1: links: Schwingfall, mitte: aperiodischer Grenzfall; rechts: Kriechfall; c nach Stöcker, Desk Top Physik, 1998 bzw. m ẍ + b ẋ + D x = 0 (4) Formelzeichen Einheit Bezeichnung m kg (oszillierende) Masse a, ẍ m s Beschleunigung b kg s 1 Dämpfungskonstante v, ẋ m s 1 Geschwindigkeit D kg s Richtgröÿe x m Ort (Momentanauslenkung) Auch hierbei handelt es sich um eine lineare, homogene Dierentialgleichung. Ordnung. Die Lösung hängt von der Dämpfungskonstante ab. Man unterscheidet den (schwach gedämpften) Schwingfall, den aperiodischen Grenzfall und den Kriechfall. Diese Lösungen und deren Herleitung sind in vielen Standardlehrbüchern gut beschrieben. Abb. 1 veranschaulicht die drei Fälle: Im Schwingfall nden mehrere Schwingungen mit abnehmender Amplitude statt, während im aperiodischen Grenzfall eine vollständige Schwingung nicht mehr erkennbar ist. In diesem Fall kehrt das System auch am raschesten in die Auslenkung 0 zurück Erzwungene Schwingung Die erzwungene Schwingung wird von einer periodischen externen Kraft angeregt. Unterliegt sie keiner (oder unzureichender) Dämpfung, kann es in Abhängigkeit der Erregerfrequenz zur Resonanzkatastrophe kommen. - -

5 Man kann sie wieder über die Summe aller auftretenden Kräfte beschreiben: bzw. m a }{{} Trägheitskraft + b v }{{} Reibungskraft + D }{{ x} = F 0 cos(ω t) }{{} Rückstellkraft periodische externe Kraft m ẍ + b ẋ + D x = F 0 cos(ω t) (6) (5) Physikalisch kann man das System folgendermaÿen beschreiben: Nach einem Einschwingvorgang wird sich eine Schwingung des Oszillators mit der Anregungsfrequenz ω einstellen. Amplitude und Phasendierenz zwischen Erregerschwingung und der Schwingung des erregtem Systems hängen von der Anregungsfrequenz ω und der Eigenfrequenz ω 0 ab. Von diesen hängt auch ab, wie viel Schwingungs-Energie vom Erreger aufgenommen werden kann. Entspricht die Erregerfrequenz ω genau der Eigenfrequenz des erregten Systems ω 0, so wird die meiste Energie aufgenommen. Kann diese nicht mehr ausreichend in Form von Reibung abgegeben werden bzw. werden die äuÿeren Kräfte zu stark im Vergleich zu den Materialeigenschaften des erregten Oszillators, so kann dieser Schaden nehmen (=Resonanzkatastrophe). 1. Freie mechanische Schwingung 1..1 Lineares Federpendel Abbildung : Federpendel Die Schwingungsfunktion x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) mit der Eigenfrequenz (Kreisfrequenz) ω 0 = π T = D m ist die Lösung der linearen, homogenen Dierenzialgleichung. Ordnung, die bereits beschrieben wurde: m ẍ + D x = 0 (7) Das können Sie durch Einsetzen von x(t) und ẍ(t) überprüfen

6 Amplitude A und Phasenwinkel ϕ werden durch die Anfangsbedingungen bei t = 0 festgelegt. Oft wählt man bei Schwingungsexperimenten im Praktikum bei t = 0 die maximale Auslenkung - also x 0 = A, sowie ϕ = 0 und ẋ(0) = 0. Sehen Sie sich dazu das Applet des Federpendels auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums an. 1.. Ebenes physikalisches Pendel Abbildung 3: ebenes physikalisches Pendel Ein ebenes physikalisches Pendel unterscheidet sich von einem Fadenpendel dahingehend, dass seine Masse nicht in einem Punkt konzentriert ist und die Aufhängung nicht masselos ist, wie man aus Abb. 3 erkennen kann. Daher verwendet man die analogen Drehgröÿen J (Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse) und ψ (Auslenkwinkel). D ist hier die Winkelrichtgröÿe. Die Schwingungsfunktion ψ(t) = ψ 0 cos(ω 0 t + ϕ) mit der Eigenfrequenz (Kreisfrequenz) ω 0 = π T = D J = m g l J - 4 -

7 ist die Lösung der linearen, homogenen Dierenzialgleichung. Ordnung, die analog zur jener des linearen Federpendels ist: J ψ + D ψ = 0 (8) wobei m die Masse des Pendels und l der Abstand 0S Drehachse - Schwerpunkt ist (siehe Abb. 3). Das können Sie durch Einsetzen von ψ(t) und ψ(t) überprüfen. Amplitude ψ 0 und Phasenwinkel ϕ werden durch die Anfangsbedingungen bei t = 0 festgelegt. Auch in diesem Fall wählt man bei Schwingungsexperimenten im Praktikum oft bei t = 0 die maximale Auslenkung, sowie ϕ = 0 und ψ(0) = Gekoppelte Pendel Eine Art gegenseitig erzwungener Schwingungen ndet man bei gekoppelten Schwingungssystemen, die periodisch ihre Schwingungsenergie austauschen. Im Fall gekoppelter Pendel hängt die rücktreibende Kraft auÿer von der Schwerkraft auch von der Kopplung ab. Bei den Pendeln im Praktikum (Abb. 4) ersetzt ein Kopplungsgewicht an einem Faden, angebracht bei der Kopplungslänge l, eine elastische Feder, bei der die Kraft proportional zur Dehnungslänge ist. Abbildung 4: gekoppelte Pendel - 5 -

8 Die Bewegung der beiden Pendel wird durch zwei gekoppelte Dierenzialgleichungen beschrieben (wobei das Reibungsglied vernachlässigt wird): J ψ 1 (t) }{{} = D ψ 1 (t) }{{} D (ψ 1 (t) ψ (t)) }{{} Trägheitskraft 1 Rückstellkraft 1 Kopplungskraft 1 J ψ (t) }{{} = D ψ (t) }{{} D (ψ (t) ψ 1 (t)) }{{} Trägheitskraft Rückstellkraft Kopplungskraft (9) (10) Formelzeichen Einheit Bezeichnung J kg m Trägheitsmoment ψ 1,ψ rad Winkel, Auslenkung D kg m s Winkelrichtgröÿe D kg m s Richtmoment der Kopplung D ergibt sich aus den physikalischen Bedingungen des Pendels, Schwerebeschleunigung g, Pendelmasse m und Pendellänge L: D = mgl (11) Ein System aus zwei gekoppelten Pendeln (Oszillatoren), wie hier beschrieben, besitzt zwei fundamentale Eigenschwingungen (Moden) und daher auch zwei Eigenfrequenzen ω 0 und ω 1. Durch Addition bzw. Subtraktion können diese Gleichungen entkoppelt werden und man erhält die beiden Eigenwerte des Systems: D D + D ω 0 = ω 1 = (1) J J Die Lösung ist sehr ausführlich in Walcher - Praktikum der Physik abgeleitet. Die Fundamentalschwingungen können durch spezielle Anfangsbedingungen (bei t 0 ) angeregt werden: Gleichsinnige (gleichphasige) Schwingung ψ 1 (0) = ψ (0) = ψ 0 ϕ 1 = ϕ = 0 (13) In das Gleichungssystem (Gleichungen 9 und 10) eingesetzt sieht man, dass der Einuss der Kopplung verschwindet und wir für beide Pendel die Form der bekannten Schwingungsgleichung erhalten (siehe ebenes, physikalisches Pendel): J ψ 1 + Dψ 1 = 0 (14) - 6 -

9 J ψ + Dψ = 0 (15) Die Lösung dieser freien, ungedämpften Schwingungen ergeben die Eigenfrequenz D ω 0 = (16) J und die Amplitudenfunktionen ψ 1 (t) = ψ (t) = ψ 0 cos(ω 0 t) (17) Sehen sie sich dazu das Video der gleichsinnigen Schwingung auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums an Gegensinnige (gegenphasige) Schwingung ψ 1 (0) = ψ (0) = ψ 0 ϕ 1 = 0 ϕ = π (18) In das Gleichungssystem (Gleichungen 9 und 10) eingesetzt ergibt sich : J ψ 1 = Dψ 1 D ψ 1 bzw. J ψ 1 + (D + D )ψ 1 = 0 (19) J ψ = Dψ D ψ bzw. J ψ + (D + D )ψ = 0 (0) die wiederum die Lösungen freier Schwingungen der Frequenz D + D ω 1 = J (1) besitzen und folgende Amplitudenfunktionen aufweisen: ψ 1 (t) = ψ 0 cos(ω 1 t) () ψ (t) = ψ 0 cos(ω 1 t) = ψ 0 cos(ω 1 t + π) (3) Sehen sie sich dazu das Video der gegensinnigen Schwingung auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums an

10 Andere Anfangsbedingungen als diese zwei Spezialfälle führen zu Bewegungen, die aus den beiden fundamentalen Eigenschwingungen zusammengesetzt sind, sogenannte Schwebungen Schwebungsfall Wir untersuchen jenen Fall, bei welchem ein Pendel zu Beginn maximal ausgelenkt wird, während das andere ruht. Dann kann man beobachten, wie die Schwingungsenergie periodisch von einem Pendel auf das andere übertragen wird. Beschreiben lassen sich die Bewegungen der Pendel jeweils als Überlagerung der beiden Eigenschwingungen. Die Anfangsbedingungen (ψ 1 (0) = ψ 0 und ψ (0) = 0) sind erfüllt, wenn und ψ 1 (t) = ψ 0 (cos(ω 0 t) + cos(ω 1 t)) (4) ψ (t) = ψ 0 (cos(ω 0 t) + cos(ω 1 t + π)) = ψ 0 (cos(ω 0 t) cos(ω 1 t)) (5) Nach Anwenden der Summensätze 1 und weiterer Umformungen für Winkelfunktionen lauten die Schwingungsgleichungen der Pendel: ( ω1 ω 0 ψ 1 (t) = ψ 0 cos ( ω1 ω 0 ψ (t) = ψ 0 sin t ) ( ω1 + ω 0 t cos ) ) t ( ω1 + ω 0 sin t ) (6) (7) Die Pendel schwingen mit der Frequenz: ω = π = ω 1 + ω 0 T (8) Das ist das arithmetische Mittel der beiden fundamentalen Eigenfrequenzen. 1 cosα + cosβ = cos α+β cos α β cosα cosβ = sin α+β sin α β cos ist eine symmetrische Funktion: cos( α) = cos(α) cos ( ω 0 ω 1 ) ( = cos ω1 ω 0 ) sin ist eine antisymmetrische Funktion: sin( α) = sin(α) sin ( ) ( ω 0 ω 1 = sin ω1 ω ) 0-8 -

11 Abbildung 5: Schwebung gekoppelter Pendel Die Faktoren ψ 0 cos ( ω 1 ω 0 ) bzw. ψ0 sin ( ω 1 ω 0 ) beschreiben die zeitliche Änderung der Schwingungsamplituden. Misst man die Schwebungsdauer T S, also jene Zeit zwischen zwei Stillständen ein und desselben Pendels, so ergibt sich als Kreisfrequenz der Amplitudenmodulationsfunktion: ω S = π T S = ω 1 ω 0 (9) ( gesamte Periode = Schwebungsbäuche = T S daher ist ω S = π ) T S Sehen sie sich dazu das Video der Schwebung und das Applet der gekoppelten Pendel auf der elearning Seite des Anfängerpraktikums an. Als Kopplungsgrad deniert man das relative Richtmoment der Kopplung K, also jenen Anteil, den das Richtmoment auf Grund der Kopplung an der Summe aller Richtmomente besitzt. Dieses lässt sich auch mit Hilfe der Schwingungsfrequenzen ausdrücken: K = D D + D = ω 1 ω 0 ω 1 + ω 0 = ω s ω ω s + ω (30) Schwebungen können im allgemeinen durch Überlagerung (= Addition) zweier harmoni

12 scher Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen hervorgerufen werden, wenn die Periodendauern T1 und T bzw. die Frequenzen ω 1 und ω in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen. Dann ist die Summen-schwingung ebenfalls periodisch. Ψ 1 (t) = Ψ 0,1 cos(ω 1 t) Ψ (t) = Ψ 0, cos(ω t) (31) Für den Fall, daÿ sich die Frequenzen der Einzelschwingungen unterscheiden und die Amplituden gleich sind (Ψ 0,1 = Ψ 0, = Ψ 0 ), erhält man eine Schwebung der Form Ψ = Ψ 1 + Ψ = Ψ 0 cos( ω 1 ω t) sin( ω 1 + ω t) (3) Das ist die Form einer harmonischen Schwingung mit der Kreisfrequenz ω = (ω 1 + ω )/, deren Amplitude sich periodisch mit der Kreisfrequenz ω S = (ω 1 ω )/ ändert (Amplitudenmodulation). Es handelt sich in diesem Fall um eine reine Schwebung, denn nur wenn die Amplituden gleich sind können sich die beiden Schwingungen in den Schwebungsknoten aufheben. Der zeitliche Abstand der Schwebungsknoten beträgt T S = π ω 1 ω (33) Die Überlagerung mehrerer harmonischer (sinusförmiger) Schwingungen beliebiger Frequenz und Amplitude ergibt einen periodischen, meist aber nicht harmonischen Vorgang der Form f(t + T ) = f(t). Umgekehrt läÿt sich jede periodische Schwingung f(t) mit der Periodendauer T = π/ω 0 durch eine Summe von Sinus- und Cosinusschwingungen mit den Kreisfrequenzen ω 0 (Grundschwingung), ω 0, 3ω 0,... (Oberschwingungen) darstellen (Fourierspektrum). 1.4 Dopplereekt Der Dopplereekt wurde nach dem österreichischen Physiker und Mathematiker Christian Doppler benannt, der ihn 184 voraussagte. Doppler wollte die unterschiedlichen Farben der Sterne durch ihre Eigenbewegung erklären. Auch wenn er damit falsch lag - die Farben entstehen hauptsächlich durch unterschiedliche Oberächentemperatur der Sterne - war seine Berechnung im Prinzip richtig. Ein Experiment zum Dopplereekt mit Schallwellen wurde 1845 vom Physiker Christoph Buys-Ballot durchgeführt. Er postierte dazu mehrere Trompeter sowohl auf einem fahrenden Eisenbahnzug als auch neben der Bahnstrecke. Beim Vorbeifahren sollte jeweils einer von ihnen ein G spielen und die anderen die gehörte Tonhöhe bestimmen. Bei der Erklärung des akustischen Dopplereekts ist zu unterscheiden, ob sich die Schallquelle, der Beobachter, oder beide relativ zum Medium (der ruhenden Luft) bewegen

13 1.4.1 Ruhender Beobachter, bewegte Schallquelle Ruhen ein Beobachter und die Schallquelle, ergibt sich aus der Betrachtung wieviele Wellenmaxima pro Zeiteinheit den Beobachter erreichen ein einfacher Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit c, Wellenlänge λ und Frequenz ν 3 : c = λ oder c = ν λ (34) ν Wird nun die Quelle bewegt, legt sie zwischen zwei Wellenmaxima, die den Beobachter erreichen eine Strecke zurück. Damit wird der Abstand der Maxima vom Beobachter aus gesehen verkürzt, oder gedehnt (je nach Richtung der Bewegung). Der Beobachter nimmt nun eine andere Wellenlänge λ war: λ = λ v (35) ν Setzen wir nun Formel 34 in 35, auf die Frequenzen umgeformt, ein, so erhalten wir die Frequenz ν, die der Beobachter wahrnimmt: ν 1 = ν 1 v c (36) 1.4. Bewegter Beobachter, ruhende Schallquelle Ruht die Schallquelle, bleibt der Abstand der Maxima der Schallwellen gleich. Der Beobachter nimmt mehr Maxima der Schallwellen pro Zeiteinheit wahr, wenn er sich auf die Quelle zu bewegt. Die Maxima der Wellen nähern sich ihm mit der Summe aus der Schallgeschwindigkeit c und seiner eigenen Geschwindigkeit v. Der zeitliche Abstand der Maxima (T = 1/ν) nimmt entsprechend im Verhältnis der Geschwindigkeiten ab: T c = T (37) c + v Nun bilden wir den Kehrwert um wieder die Frequenz zu berechnen und erhalten: ν = ν 1 + v c (38) Allgemeiner Dopplereekt Man kann die Doppler-Frequenzverschiebung auch allgemein für alle Fälle ausdrücken. Dabei ist v E die Geschwindigkeit des Empfängers und v S die des Senders der Schallwellen, jeweils relativ zum Medium (z. B. der Luft). 3 Dieser Zusammenhang gilt auch für elektromagnetische Wellen. ACHTUNG: Der Dopplereekt ist aber für Wellen ohne Medium (wie Licht im Vakuum) anders als für Schall in Luft!

14 ν = ν c ± v E c v S (39) Das obere Operationszeichen gilt jeweils für Annäherung (Bewegung in Richtung des Senders bzw. Empfängers). Durch Einsetzten von v E = 0 oder v S = 0 ergeben sich die oben genannten Spezialfälle. Weiters sieht man, dass sich der Eekt aufhebt (es also keine Frequenzänderung gibt), wenn v S = v E. Das entspricht dem Fall, wenn sich Sender und Empfänger beide mit derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung relativ zum Medium bewegen 4. 4 Üblicherweise tritt so ein Fall auf, wenn sich das Medium selbst bewegt, während Sender und Empfänger ruhen (Wind). Deswegen kommt es unabhängig von der Windstärke zu keinem Dopplereekt