Formelsammlung Statistik

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1 Gesudhets- ud Toursmusmaagemet Formelsammlug Statstk Dpl. Mathematker (FH) Rolad Geger Rosestr Achtal

2 Grudlage Bezechuge x h N H Ω ezele Messergebsse eer Stchprobe absolute Häufgket relatve Häufgket absolute Summehäufgket oder absolute kumulerte Häufgket relatve Summehäufgket oder relatve kumulerte Häufgket Mege aller Merkmalsauspräguge Leere Mege Relatve Häufgket h = : absolute Häufgket : Azahl aller Möglchkete 2-3

3 Lage- ud Streumaße Arthmetsches Mttel x = x = : Gesamtazahl der Werte der Stchprobe Meda De Merkmalsausprägug des geau der Mtte legede Ezelwertes. Dabe müsse de Messergebsse der Größe ach sortert werde. : Azahl der Messergebsse st gerade x Meda = 2 (x ( 2 ) + x ( 2 +)) st ugerade x Meda = x ( + 2 ) Modus oder Modalwert Derjege Wert der am häufgste eer Stchprobe vorkommt. Schefe v = (x x s = 3 ) : Azahl der Messergebsse s: Stadardabwechug Wölbug w = (x x s = 4 ) Gewogees(gewchtetes arthmetsches Mttel k x = x = x : uterschedlche Mttelwerte der Telmege : absolute Häufgket de ezele Telmege 3-3

4 Geometrsches Mttel x geo = x x 2 x Harmosches Mttel x h = a + a 2 + a a a x + a 2 x + a 3 2 x + + a = 3 x x + x + 2 x + + = 3 x x Spawete R = x max x m Quartl Etelug 25%-ge Itervalle (: Azahl der Werte der Stchprobe) Q 0 : Der kleste Wert Q = Q ute : x = 0,25 ( + ) Q 2 = x Med : Meda Q 3 = Q obe : x = 0,75 ( + ) Q 4 : Der größte Wert Quartlsabstad QA = Q 3 Q Durchschttlche Abwechug x D = (x x ) Varaz = s 2 = (x x )² = Stadardabwechug s = (x x )² = Varatoskoeffzet V = s 00% x 4-3

5 Graphsche Darstellug vo Lage- ud Streumaße Box-Plot oder Whskers-Dagramm 5-3

6 Wahrschelchketsrechug Kombatork-Modelle Azahl der Möglchkete, Elemete azuorde! Geordete Stchprobe mt zurücklege k : Azahl der zur Verfügug stehede Elemete k: Azahl der Zehvorgäge Geordete Stchprobe ohe zurücklege! ( k)! Tascherecher: Pr : Azahl der zur Verfügug stehede Elemete k: Azahl der Zehvorgäge Ugeordete Stchprobe ohe zurücklege ( k ) =! k! ( k)! Tascherecher: Cr : Azahl der zur Verfügug stehede Elemete k: Azahl der Zehvorgäge Ugeordete Stchprobe mt zurücklege + k ( ) k Tascherecher: Cr : Azahl der zur Verfügug stehede Elemete k: Azahl der Zehvorgäge Azahl der Kombatoe -ter Ordug aus N Elemete: mt Rehefolge ohe Rehefolge mt Zurücklege k ohe Zurücklege! ( k)! + k ( ) ( k k ) =! k! ( k)! 6-3

7 Berechug der Wahrschelchket P(A) = : Azahl der güstge Möglchkete : Azahl aller Möglchkete Recheregel für Wahrschelchkete Scheres Eregs A A = Ω P(Ω) = Umöglches Eregs A A = P( ) = 0 Uverebarket A B = uverebarket Negerte Wahrschelchket P(A ) = P(A) P(A B) = P(A B) 7-3

8 Pfadregel Produktregel De Wahrschelchket ees Pfades eem Baumdagramm st glech dem Produkt der Wahrschelchkete etlag deses Pfades m Baumdagramm. Summeregel Gbt es mehrere Pfade als möglche Lösuge, so werde de Wahrschelchkete deser ezele Pfade addert. Addtosgesetz Addtosgesetz für uverebare Eregsse (ODER-Verküpfug) P(A B) = P(A) + P(B) Addtosgesetz für verebare Eregsse (ODER-Verküpfug) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Multplkatosgesetz Multplkatosgesetz für uverebare Eregsse (UND-Verküpfug) P(A B) = 0 Multplkatosgesetz für verebare Eregsse (UND-Verküpfug) P(A B) = P(A) P(B) Bedgte Wahrschelchket P(A B) = P(A B) P(B) 8-3

9 Bomalvertelug Formel der Bomalvertelug b(k; ; p) = P(X = k) = ( k ) pk ( p) k = ( k ) pk q k : Azahl der Zehversuche k: Azahl der "Treffer" de erzelt werde solle p: Wahrschelchket für ee "Treffer" q: Wahrschelchket für ee "Nete" oder kee "Treffer Erwartugswert eer bomalvertelte Zufallsvarable E(x) = p Varaz eer bomalvertelte Zufallsvarable V(x) = p q Stadardabwechug eer bomalvertelte Zufallsvarable S(x) = p q 9-3

10 Tabelle zur Bomalvertelug 0-3

11 -3 STATISTIK

12 2-3

13 3-3 STATISTIK

14 4-3

15 5-3 STATISTIK

16 6-3

17 Hypergeometrsche Vertelug Zufallsgröße h(x N; M; ) = ( M x ) (N M x ) ( N ) N: De Elemetazahl der Grudgesamthet M: De Zahl der Elemete mt eer bestmmte Egeschaft : De Zahl der Elemete eer Stchprobe de gezoge werde x: De Azahl der Elemete mt der bestmmte Egeschaft, de sch der gezogee Stchprobe befde Erwartugswert E(x) = M N Varaz V(x) = M N ( M N ) (N N ) Stadardabwechug S(x) = V(x) 7-3

18 Posso-Vertelug Zufallsgröße P(X = k) = μk k! e μ μ: durchschttlcher zu erwarteder Wert k: Azahl der gesuchte Treffer Erwartugswert E(x) = μ Varaz V(x) = μ Stadardabwechug S(x) = V(x) 8-3

19 Tabelle zur Posso-Vertelug 9-3

20 20-3

21 2-3 STATISTIK

22 Normal-/Stadardormalvertelug Dchtefukto der Normalvertelug f(x) = s 2π e( s: Stadardabwechug x : arthmetsche Mttel (x x 2 2 s ) ) Vertelugsfukto der Normalvertelug f(x; x ; s) = (x x 2 s 2π e( 2 s ) ) dx z-trasformato zur Bldug eer Stadardormalvertelug z = x x s Erwartugswert eer ormalvertelte Zufallsvarable E(x) = x Varaz eer ormalvertelte Zufallsvarable V(x) = s 2 Stadardabwechug eer ormalvertelte Zufallsvarable S(x) = s

23 23-3 STATISTIK

24 24-3

25 25-3 STATISTIK

26 26-3 Idexberechug Presdex ach Laspeyres t L t m p m p P 0 0 0, 0 m 0 : Mege das Bassjahres p 0 : Pres das Bassjahres p t : Pres das Berchtsjahres Presdex ach Paasche t t t P t m p m p P 0, 0 m t : Mege das Berchtsjahres p 0 : Pres das Bassjahres p t : Pres das Berchtsjahres Megedex ach Laspeyres t L t m p m p M 0 0 0, 0 m 0 : Mege das Bassjahres m t : Mege das Berchtsjahres p 0 : Pres das Bassjahres

27 Megedex ach Paasche M P 0, t p m t t t p m p t : Pres das Berchtsjahres m 0 : Mege das Bassjahres m t : Mege das Berchtsjahres Umsatzdex U 0,t p m p t 0 t m 0 p 0 : Pres das Bassjahres p t : Pres das Berchtsjahres m 0 : Mege das Bassjahres m t : Mege das Berchtsjahres Fsher-Presdex P F (t) = P L (t) P P (t)

28 28-3 Regressos- ud Korrelatosrechug Regressosglechug bx a ŷ bx y a x) (x y) (y x) (x b 2 Korrelatoskoeffzet ach Bravas-Pearso r - y) (y x) (x y) x)(y (x r 2 2

29 Lorezkurve Mt der Lorezkurve lasse sch Kozetratosphäomee Beobachtuge grafsch darstelle. Ausgagspukt für de Lorezkurve st ee geordete ud cht egatve statstsche Rehe mt postver Summe der Beobachtugswerte. De Lorezkurve ergbt sch, dem ma ach ud ach Pukte eem Koordatesystem verbdet, wobe der Ausgagspukt der Ursprug (0 0) st. Auf der x-achse berechet ma de Atel a der statstsche Masse (u k), währed auf der y-achse der Atel a der Merkmalssumme vk etscheded st. Statstsche Masse u k = k : Azahl der Elemete k: Nummer des etsprechede Elemets Merkmalssumme v k = k = x = x Bezechuge = x + + x k x + + x Egeschafte der Lorezkurve Se begt mmer m Ursprug(0 0) ud edet mmer m Pukt ( ) Stegug st mooto Kurve st Kovex Lorezkurve verläuft rgedwo oberhalb der Dagoale 29-3

30 G-Koeffzet Der Gkoeffzet oder auch G-Idex st e statstsches Maß für Vertelugsglechhet. Als Gkoeffzet G wrd bezechet der Atel der Fläche, de durch de Wkelhalberede ud de Lorezkurve gebldet wrd, a der Gesamtfläche uter der Wkelhalberede. G-Uglechvertelugskoeffzet (GUK) GUK = A B A 0,5 B = 0,5 Normerter G-Koeffzet G = G = G max G 30-3

31 Testverfahre E statstscher Test det der mathematsche Statstk dazu, ahad vorlegeder Beobachtuge ee begrüdete Etschedug über de Gültgket oder Ugültgket eer Hypothese zu treffe. Vorgeheswese Formulerug eer Nullhypothese H0 ud hrer Alteratvhypothese H Wahl des geegete Tests (Testgröße oder Teststatstk T) Bestmmug des krtsche Bereches K zum Sgfkazveau α, das vor Realsato der Stchprobe feststehe muss. Der krtsche Berech wrd aus de uter der Nullhypothese ur mt gerger Wahrschelchket auftretede Werte der Teststatstk gebldet. Berechug des Werts der Beobachtug t obs der Testgröße T aus der Stchprobe (je ach Testverfahre etwa de t-wert oder U oder H oder χ 2 ). Treffe der Testetschedug: Legt tobs cht K, so wrd H0 bebehalte. Legt tobs K, so leht ma H0 zuguste vo H ab. 3-3