Aufgaben zu Kapitel 23

Transkript

1 Aufgaben zu Kapitel 23 Aufgaben zu Kapitel 23 Verständnisfragen Aufgabe 23 Bestimmen Sie grafisch die optimale Lösung x der Zielfunktion z = c T x unter den Nebenbedingungen mit dem Zielfunktionsvektor (a) c = (3, 2) T, (b) c = ( 3, 2) T Aufgabe 232 Bestimmen Sie grafisch die optimalen Lösungen der Zielfunktion z(x) = c T x unter den Nebenbedingungen + 2, 0 mit dem Zielfunktionsvektor (a) c = (, ) T, (b) c = (, ) T, (c) c = (, ) T Aufgabe 233 Gegeben ist ein lineares Optimierungsproblem in Standardform max z = c T x A x b, x 0 mit den Größen c R n, A R m n und b R m 0 Welche der folgenden Behauptungen sind wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Vermutung: (a) Ist der durch die Nebenbedingungen definierte Polyeder unbeschränkt, so nimmt die Zielfunktion auf dem Zulässigkeitsbereich beliebig große Werte an (b) Eine Änderung nur des Betrages des Zielfunktionsvektors, sofern dieser nicht verschwindet, hat keine Auswirkung auf die optimale Lösung x, ebenso wenig die Addition einer Konstanten c 0 R zur Zielfunktion (c) Ist x die optimale Lösung, so ist a x für ein a R\{0} die optimale Lösung des Problems max z = c T x a A x b, x 0 (d) Hat das Problem zwei verschiedene optimale Lösungen, so hat es schon unendlich viele optimale Lösungen (e) Das Problem hat höchstens endlich viele optimale Ecken Aufgabe 234 Betrachten Sie im Folgenden den durch die Ungleichungen gegebenen Polyeder , 0 (a) Bestimmen Sie grafisch die optimale Lösung x der Zielfunktion z(x) = c T x mit dem Zielfunktionsvektor c = (, 0) T, c = (0, ) T

2 2 Aufgaben zu Kapitel 23 (b) Wie muss der Zielfunktionsvektor c R 2 gewählt werden, sodass alle Punkte der Kante { λ(3, ) T + μ(, 3) T λ, μ [0, ], λ+ μ = } des Polyeders zwischen den beiden Ecken (3, ) T und (, 3) T optimale Lösungen der Zielfunktion z(x) = c T x sind? Aufgabe 235 Gegeben ist ein lineares Optimierungsproblem in Standardform max z = c 0 + c T x A x b, x 0 mit den Größen c R n,c 0 R, A R m n und b R m >0 Begründen Sie: Sind p,, p r R n sämtliche optimalen Ecklösungen, so bildet { r } λ i p i λ,, λ r [0, ], λ + + λ r = i= die Menge aller optimalen Lösungen des linearen Optimierungsproblems Aufgabe 236 Durch die fünf Ungleichungen + + x 3 + x x 3 + x 3 x 3 0 wird eine vierseitige Pyramide mit den Eckpunkten (, 0, 0) T, (0,, 0) T, (, 0, 0) T, (0,, 0) T, (0, 0, ) T definiert (a) Bestimmen Sie grafisch das Maximum und die zugehörige Optimallösung der Zielfunktion z = 3 x 3 auf der Pyramide (b) Bestimmen Sie eine Zielfunktion z, sodass alle Punkte der Grundfläche der Pyramide, das heißt alle Punkte der konvexen Hülle der Punkte (, 0, 0) T,(0,, 0) T,(, 0, 0) T und (0,, 0) T optimale Lösungen des zugehörigen Maximierungsproblems sind Aufgabe 237 Betrachten Sie im Folgenden den durch die Ungleichungen + 5 +, 0 definierten Polyeder und die Zielfunktion z = c T x mit dem zugehörigen, von den beiden Größen r>0und α [0, 2π[ abhängigen Zielfunktionsvektor c = c (r, α) = (r cos α, r sin α) T (a) Bestimmen Sie grafisch die optimalen Ecken des Optimierungsproblems für r =, α= 3π 8 sowie für r = 2 und α = 5π 8 (b) Bestimmen Sie die Menge aller r > 0 und α [0, 2π[, für die die Ecke (2, 3) T des Polyeders eine optimale Lösung des Optimierungsproblems ist Gehen Sie dazu zunächst grafisch vor und beweisen Sie anschließend Ihre Vermutung mathematisch (c) Die Nebenbedingungen, für die in einem Punkt eines durch Ungleichungen gegebenen Polyeders sogar Gleichheit gilt, bezeichnet man als die in diesem Punkt aktiven Nebenbedingungen Den zu einer Ungleichung a T x b gehörigen Vektor a nennt man den Gradienten dieser Ungleichung Betrachten Sie nun den von den Gradienten der in der Ecke (2, 3) T des Polyeders aktiven Nebenbedingungen aufgespannten Kegel, das heißt die Menge K = { λ(, ) T + μ(, ) T λ, μ 0 } Für welche r>0und α [0, 2π[ gilt c (r, α) K? Beweisen Sie Ihre Aussage! Aufgabe 238 Betrachten Sie den durch die konvexe Hülle der achten Einheitswurzeln p k = ( cos(k π 4 ), sin(k π 4 )), k {0,, 7} definierten Polyeder, d h die Menge { 7 } P = λ k p k λ 0,, λ 7 [0, ], λ λ 7 = k=0 (a) Zeichnen Sie den Polyeder (b) Durch die beiden Größen r>0und α R wird nun wieder ein Zielfunktionsvektor c = c (r, α) = (r cos α, r sin α) T und die zugehörige Zielfunktion z(x) = c T x definiert Beschreiben Sie für jede Ecke p k,k {0,, 7} bei welcher Wahl von r und α diese Ecke eine optimale Lösung des zugehörigen linearen Optimierungsproblems ist

3 Aufgaben zu Kapitel 23 3 Rechenaufgaben Aufgabe 239 Gesucht ist das Maximum der Funktion z = + 3 x 3 unter den Nebenbedingungen + + x x 3 3,,x 3 0 Lösen Sie dieses Problem mit dem Simplexalgorithmus Aufgabe 230 Bestimmen Sie mithilfe des Simplexalgorithmus das Maximum der Funktion z = x 3 5 unter den Nebenbedingungen x x x 3 6,,x 3 0 Aufgabe 23 Bestimmen Sie mit dem Simplexalgorithmus die optimalen Lösungen der Zielfunktion z = unter den Nebenbedingungen , 0 Welche der Ecken, die Sie im Laufe des Algorithmus durchlaufen, sind entartet? Aufgabe 232 Gesucht ist das Maximum der Zielfunktion z = + α unter den Nebenbedingungen β +, 0 Bestimmen Sie für alle α, β R falls existent sämtliche optimale Lösungen Aufgabe 233 Betrachten Sie das folgende von Klee und Minty für n N eingeführte lineare Optimierungsproblem: n ma0 n k x k k= 2 i k= 0i k x k + x i 00 i, i n,,, x n 0 (a) Bestimmen Sie die optimale Lösung x der Zielfunktion z mithilfe des Simplexalgorithmus im Fall n = 3 Wählen Sie dabei als Pivotspalte stets die Spalte mit dem größten Zielfunktionskoeffizienten Könnte man im ersten Simplexschritt eine Pivotspalte so wählen, dass der Algorithmus schon nach diesem einen Schritt die optimale Ecke liefert? (b) Lösen Sie nun das lineare Optimierungsproblem für jedes n N Anwendungsprobleme Aufgabe 234 Eine Werft mit 40 Mitarbeitern stellt die Stahlkonstruktionen für zwei unterschiedliche Yachttypen M und M 2 her Bei der Herstellung von M bzw M 2 werden je 30 bzw 20 Tonnen Stahl verbaut, wobei 200 bzw 300 Arbeitsstunden aufgewandt werden müssen Es stehen jährlich maximal 6000 Tonnen Stahl und Arbeitsstunden zur Verfügung Beide Stahlkonstruktionen bringen im Verkauf je 000 Euro Gewinn ein (a) Wie viele Yachten der Typen M und M 2 sollte die Werft herstellen, um den Gewinn zu maximieren? (b) Aufgrund steigender Nachfrage kann die Werft beim Verkauf des Modells M 2 mehr Gewinn machen Wie hoch muss der Gewinn sein, den die Werft mit dem Verkauf von Modell M 2 erzielt, damit der Betrieb seine Produktion umstellen sollte? Würde es sich gegebenenfalls lohnen neue Arbeitskräfte einzustellen?

4 4 Hinweise zu Kapitel 23 Hinweise zu Kapitel 23 Verständnisfragen Aufgabe 23 Zeichnen Sie den Polyeder der Punkte, die die Nebenbedingungen erfüllen und überlegen Sie sich, wie die Niveaulinien der Zielfunktion verlaufen Aufgabe 232 Beachten Sie, dass optimale Lösungen nicht notwendigerweise eindeutig sein oder überhaupt existieren müssen Aufgabe 233 Suchen Sie gegebenenfalls ein einfaches Gegenbeispiel Aufgabe 234 Zu (b): Überlegen Sie sich, wie die Niveaulinien der Zielfunktion aussehen müssen Aufgabe 235 Zeigen Sie, dass die Punkte der Menge die Nebenbedingungen erfüllen und bestimmen Sie den Zielfunktionswert in diesen Punkten Aufgabe 236 Zeichnen Sie die Pyramide und überlegen Sie sich, wie die Niveauflächen der Zielfunktionen aussehen bzw aussehen müssen Aufgabe 237 Überlegen Sie sich, wie der Zielfunktionsvektor für verschiedene Werte von r und α aussieht Was folgt daraus für die Niveaulinien der Zielfunktion? Aufgabe 238 Gehen Sie zunächst anschaulich vor Rechenaufgaben Aufgabe 239 Führen Sie Schlupfvaribablen ein und und bestimmen Sie das Optimum mithilfe des Simplexalgorithmus Aufgabe 230 Die Aufgabe ist ein lineares Optimierungsproblem in Standardform Aufgabe 23 Rekapitulieren Sie, welche Charakteristika das Simplextableau in entarteten Ecken zeigt Aufgabe 232 Lösen Sie die Aufgabe mithilfe des Simplexalgorithmus Aufgabe 233 Um Teil (b) zu lösen, versuchen Sie den Gedanken aus Teil (a) zu verallgemeinern Anwendungsprobleme Aufgabe 234 Formulieren Sie das Beispiel als lineares Optimierungsproblem und lösen Sie es grafisch

5 Lösungen zu Kapitel 23 5 Lösungen zu Kapitel 23 Verständnisfragen Aufgabe 23 (a) x = (3, ) T, (b) x = (0, 2) T Aufgabe 232 (a) Die Zielfunktion ist auf dem Zulässigkeitsbereich unbeschränkt Es existieren keine optimalen Lösungen (b) Alle Punkte der von (0, ) T ins Unendliche laufenden Halbgerade sind optimale Lösungen der Zielfunktion (c) x = (0, 0) T Aufgabe 233 (a) Falsch (b) Wahr (c) Falsch (d) Wahr (e) Wahr {x R 2 + =, 0} Aufgabe 234 (a) x = (3, ) T im Fall c = (, 0) T und x = (, 3) T im Fall c = (0, ) T (b) Die Kante ist für jeden der Zielfunktionsvektoren c = c (, ) T mit c>0 optimal Aufgabe 235 Aufgabe 236 (a) x = (0, 0, ) T (b) Die Zielfunktion muss die Gestalt z = c x 3 mit einem c>0 haben Aufgabe 237 (a) Die optimale Lösung ist x = (2, 3) T (b) Die Ecke (2, 3) T ist eine optimale Lösung für alle r>0 und α [ π 4, 3π 4 ] (c) Es gilt c (r, α) K (r, α) R >0 [ π 4, 3π 4 ] Aufgabe 238 (a) Der Polyeder ist ein reguläres Achteck mit Ecken auf dem Einheitskreis (b) Die Ecke p k = ( cos(k π 4 ), sin(k π 4 )) ist genau dann eine optimale Lösung des Optimierungsproblems zum Zielfunktionsvektor c (r, α), wenn r>0und α [k π 4 π 8,kπ 4 + π 8 ]+2πZ sind Rechenaufgaben Aufgabe 239 Die Funktion z nimmt ihr Maximum z(x ) = 38/3 im Punkt x = (0, 8/3, 0/3) T an Aufgabe 230 Das Maximum der Funktion z(x ) = auf dem Zulässigkeitsbereich wird im Punkt (, 2, 0) T angenommen Aufgabe 23 Die Zielfunktion z nimmt ihr Maximum z(x ) = 2 in allen Punkten x auf der Kante {λ(, 2) T + μ(3, ) T λ, μ 0, λ+ μ = } an Im Laufe des Algorithmus werden die beiden entarteten Ecken (, 2) T und (3, ) T durchlaufen Aufgabe 232 Im Fall β 0 ist die Zielfunktion unbeschränkt Im Fall β > 0 ist für α</β die Ecke x = (/β, 0) T und für α > /β die Ecke x = (0, ) T optimal Falls β > 0 und α = /β, sind alle Punkte der Kante {λ(/β, 0) T + μ(0, ) T λ, μ 0, λ+ μ = } zwischen diesen beiden Ecken optimale Lösungen Aufgabe 233 (a) Es ist x = (0, 0, 0000) T und z(x ) = 0000 Wählt man im ersten Simplexschritt die dritte Spalte als Pivotspalte, so erreicht man schon nach einem Schritt diese Ecke (b) Die optimale Lösung ist x = (0,, 0, 0 n ) T mit dem zugehörigen Zielfunktionswert z(x ) = 0 n

6 6 Lösungen zu Kapitel 23 Anwendungsprobleme Aufgabe 234 (a) Es sollten 20 Yachten jedes der beiden Typen M und M 2 produziert werden (b) Der Gewinn müsste mehr als 500 Euro betragen Der limitierende Faktor ist die zur Verfügung stehende Arbeitszeit

7 Lösungswege zu Kapitel 23 7 Lösungswege zu Kapitel 23 Verständnisfragen Aufgabe 23 Der Polyeder der zulässigen Punkte ergibt sich als Schnitt der durch die jeweiligen Ungleichungen bestimmten Halbräume Für eine Ungleichung der Form a + a 2 b etwa, kann man den dadurch bestimmten Halbraum folgendermaßen leicht zeichnen Die Punkte des Randes des Halbraums sind die, welche die Ungleichung exakt erfüllen, das heißt diejenigen, für die a + a 2 = b gilt Diese Gleichung entspricht der Normalengleichung einer Gerade Die Gerade lässt sich leicht grafisch bestimmen, indem man zwei ihrer Punkte berechnet etwa (falls vorhanden) die beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die durch diese beiden Punkte definierte Gerade einzeichnet Der gesuchte Halbraum ist nun leicht einzutragen, wenn man beachtet, dass die Funktion a + a 2 in Richtung des Vektors (a,a 2 ) T zunimmt Ist so der durch die Ungleichungen definierte Polyeder als Schnitt der Halbräume grafisch bestimmt, ist nun noch das Maximum der Zielfunktion auf dieser Punktmenge zu finden Dazu betrachten wir die Niveaulinien der Zielfunktion z(x) = c T x, das heißt die Menge aller Punkte für die c + c 2 = c für verschiedene Werte von c Da diese Gleichungen zueinander parallele Geraden definieren, ist das recht einfach Für einen beliebigen Wert von c zeichnen wir die zugehörige Niveaulinie ein Die übrigen Niveaulinien ergeben sich nun durch Parallelverschiebung dieser Gerade, wobei Verschiebung in Richtung c höhere Werte für die Zielfunktion bedeutet Ausgehend von einer Niveaulinie die den Polyeder schneidet verschiebt man diese also so lange parallel in Richtung c, bis sie den Polyeder gerade noch berührt Man erhält damit die optimalen Lösungen als Schnitt der so entstandenen Niveaulinie mit dem Polyeder Abbildung 2325 zeigt das so enstandene Bild für c = (3, 2) T und c 2 = ( 3, 2) T sowie die zugehörigen Niveaulinien g und g 2 Man erkennt darin die Optimallösung x = (3, ) T und den zugehörigen Zielfunktionswert z(x ) = in Fall (a), sowie x = (0, 2) T und z(x ) = 4 in Fall (b) g 2 c g c 3 Abbildung 2325 Der durch die Ungleichungen definierte Polyeder, die Zielfunktionsvektoren und Niveaulinien Aufgabe 232 Wir zeichnen zunächst den (unbeschränkten) Zulässigkeitsbereich und bestimmen dann die Optima der Zielfunktionen (siehe Abbildung 2326) (a) Für c = (, ) T nimmt die Zielfunktion beliebig große Werte an, da der Zulässigkeitsbereich in Richtung c unbeschränkt ist In Abbildung 2326 sind zwei Niveaulinien g und g der Zielfunktion eingezeichnet Es existieren also keine optimalen Lösungen

8 8 Lösungswege zu Kapitel 23 (b) Für c 2 = (, ) T schneidet die Niveaulinie g 2, die dem Maximum der Zielfunktion auf dem Polyeder entspricht, den Polyeder in der von (0, ) T ins Unendliche laufenden Halbgerade {x R 2 + =, 0} Alle Punkte dieser Halbgerade sind also optimale Lösungen der Zielfunktion (c) Für c 3 = (, ) T ist der Punkt des Polyeders, der die Zielfunktion maximiert, der Ursprung x = (0, 0) T 5 4 c 2 c 3 2 g 2 c g g c g3 Abbildung 2326 Der unbeschränkte Zulässigkeitsbereich und die Kenndaten der Zielfunktionen Aufgabe 233 (a) Diese Aussage ist falsch Die Unbeschränktheit des Zulässigkeitsbereiches ist zwar eine notwendige, nicht aber eine hinreichende Bedingung für die Unbeschränktheit der Zielfunktion Ein einfaches Gegenbeispiel ist das eindimensionale Problem max z = x x 0 (b) Diese Aussage ist wahr Wir betrachten die neue Zielfunktion z = d T x + c 0, wobei der neue Zielfunktionsvektor d = a c mit einem a>0 ist Ist nun y eine optimale Lösung zur Zielfunktion z, so heißt das, dass z (y ) z (x) für alle x R n mit A x b, x 0 gilt Insbesondere gilt wegen a>0 für alle diese Punkte x dann auch a z (y ) c 0 a z (x) c 0 Einsetzen von z = a c T x + c 0 liefert z(y ) z(x), das heißt, y ist auch eine optimale Lösung zur Zielfunktion z (c) Falsch, da a auch negativ Werte annehmen kann (würde man a > 0 vorraussetzen, so wäre die Behauptung wahr, wie eine einfache Überlegung zeigt) Da im Fall a<0 zum Beispiel die Nebenbedingung a x 0 im Allgemeinen nicht mehr erfüllt ist, ist der Punkt a x in diesem Fall nicht einmal zulässig (d) Wahr Hat das Problem zwei verschiedene optimale Lösungen, so sind auch alle Punkte der konvexen Hülle dieser zwei Lösungen optimal und das sind schon unendlich viele (e) Wahr In den Ecken eines durch die Ungleichungen A x b, x 0 gegebenen Polyeders müssen mindestens n Ungleichungen mit Gleichheit erfüllt sein, deren Gradienten linear unabhängig sind Da aber jeweils höchstens ein Punkt diese n verschiedenen Gleichungen auf einmal erfüllen kann, gibt es höchstens

9 Lösungswege zu Kapitel 23 9 c 2 g 2 2 c 2 g Abbildung 2327 Die optimale Lösungen sind (3, ) T und (, 3) T ( ) n + m verschiedene Ecken Insbesondere gibt es nur endlich viele Ecken, die gleichzeitig optimale Lösungen des n Optimierungsproblems sind Aufgabe 234 (a) Grafisch ergeben sich im Fall c = (, 0) T als optimale Lösung x = (3, ) T und im Fall c 2 = (0, ) T als optimale Lösung x = (, 3) T (siehe Abbildung 2327) (b) Damit alle Punkte der genannten Kante optimale Lösungen der Zielfunktion sein können, muss, wie in Abbildung 2328 zu sehen, die Kante eine Niveaulinie der Zielfunktion sein Insbesondere müssen also die beiden Punkte (3, ) T und (, 3) T auf dieser Niveaulinie liegen Das ist aber genau dann der Fall, wenn c = c (, ) T mit einem c R\{0} gewählt wird Um Optimalität für die Kante zu erreichen muss zudem c>0gewählt werden 3 c Abbildung 2328 Die Punkte der Kante sind genau dann optimale Lösungen, wenn c = c (, ) T mit einem c>0 gewählt wird Aufgabe 235 Für jede der optimalen Lösungen p,, p r gelte z(p i ) = c 0 + z Dann gilt mit p := λ p + + λ r p r mit 0 λ,, λ r und λ + + λ r = : ) Der Punkt p ist ein Punkt des Polyeders: A p = A (λ p + +λ r p r ) = λ A p ++λ r A p r λ b+ +λ r b = (λ + +λ r ) b = b 2) Der Wert z(p) ist optimal: Da in den optimalen Eckpunkten die Zielfunktionswerte übereinstimmen ist auch z(p) = z(λ p + +λ r p r ) = c 0 + c T p = c 0 + λ c T p + +λ r c T p r = c 0 + (λ + +λ r )z= c 0 + z Aufgabe 236 (a) Da die Ecken der Pyramide schon in der Angabe vorgegeben sind, ist diese leicht zu zeichnen, siehe Abbildung 2329 Die Niveauflächen der Zielfunktion sind Ebenen mit dem Normalenvektor c = (0, 0, 3) T, das heißt zur - -Ebene parallele Ebenen Da die Funktion in Richtung x 3 größere Werte annimmt, liegt die optimale Lösung in der Spitze der Pyramide: x = (0, 0, ) T (b) Da alle Punkte der Grundfläche der Pyramide optimale Lösungen der Zielfunktion darstellen sollen und die Fläche in der - -Ebene liegt, muss diese Ebene eine Niveaufläche der Zielfunktion sein, wie in Abbildung 2330 zu erkennen ist Das ist aber genau dann der Fall, wenn z = c x 3 mit einem c R\{0} gewählt wird Da die Punkte der Grundfläche zudem optimale Lösungen sein sollen, muss c<0gewählt werden

10 0 Lösungswege zu Kapitel 23 x 3 c Abbildung 2329 Die Optimallösung liegt in der Spitze der Pyramide x 3 Abbildung 2330 Die Grundfläche der Pyramide soll die Menge aller Optimallösungen darstellen c Aufgabe 237 (a) Die Komponenten r und α des Zielfunktionsvektors beschreiben dessen Länge und den Winkel, den er mit der -Achse einschließt Grafisch ergibt sich in beiden Fällen die Ecke x = (2, 3) T als optimale Lösung der Zielfunktion zu den jeweiligen Werten von r und α, siehe Abbildung g c 2 c 2 g Abbildung 233 In beiden Fällen ergibt sich die Ecke (2, 3) T als optimale Lösung (b) Damit die Ecke (2, 3) T optimal ist, muss der Zielfunktionsvektor vom Polyeder weg zeigen, seine Länge spielt keine Rolle Die Grenzfälle sind genau die, in denen eine von der Ecke ausgehende Kante mit einer Niveaulinien der Zielfunktion übereinstimmt, für die also der Zielfunktionsvektor mit der jeweiligen Kante einen rechten Winkel einschließt (siehe Abbildung 2332) Die Ecke (2, 3) T ist also eine optimale Lösung zur Zielfunktion z mit dem Zielfunktionsvektor c (r, α) T, falls r>0 und α [ π 4, 3π 4 ] Nun zeigen wir die aus der Anschauung gewonnene Vermutung noch mathematisch Die Ecke p = (2, 3) T ist genau dann optimal, wenn die Zielfunktion in den beiden benachbarten Ecken p = (5, 0) T und

11 Lösungswege zu Kapitel Abbildung 2332 Die Ecke (2, 3) T ist genau dann optimal, wenn c im grünen Bereich liegt p 2 = (0, ) T keine größeren Werte annimmt, d h genau dann, wenn z(p) z(p ) und z(p) z(p 2 ) Das führt auf 2 r cos α + 3 r sin α 5 r cos α 2 r cos α + 3 r sin α r sin α sin α cos α sin α cos α sin α cos α α [ π 4, 3π 4 ], wie behauptet (c) Offensichtlich gilt c (r, α) K genau dann, wenn das lineare Gleichungssystem λ μ = r cos α λ + μ = r sin α eine Lösung unter den Einschränkungen λ, μ 0 besitzt Die Lösung des Gleichungssystems ist λ = 2 r(cos α + sin α) und μ = 2 r( cos α + sin α), sodass die Bedingung λ, μ 0 genau dann erfüllt ist, wenn sin α cos α α [π 4, 3π 4 ] gilt Es gilt hier also folgende Aussage: Die Ecke (2, 3) T Polyeders ist genau dann eine optimale Lösung der Zielfunktion, wenn der Zielfunktionsvektor im Kegel der Gradienten der in der Ecke aktiven Nebenbedingungen liegt Diese Aussage gilt auch im Allgemeinen bei linearen Optimierungsproblemen und stellt so ein weiteres Optimalitätskriterium dar Aufgabe 238 (a) Die konvexe Hülle der achten Einheitswurzeln p k = ( cos(k π 4 ), sin(k π 4 )),k {0,, 7} ist ein reguläres Achteck mit Zentrum im Ursprung, wie es in Abbildung 2333 zu sehen ist p 2 p 3 p p 4 p 0 p 5 p 7 p6 Abbildung 2333 Die konvexe Hülle der achten Einheitswurzeln ist ein reguläres Achteck (b) Anschaulich findet man zu jeder Ecke einen Kegel, in der der Zielfunktionsvektor liegen muss, sodass die jeweilige Ecke eine optimale Lösung ist (siehe Abbildung 2334)

12 2 Lösungswege zu Kapitel 23 Abbildung 2334 An jeder Ecke liegt ein Kegel von möglichen Zielfunktionsvektoren, für die diese eine optimale Lösung ist Wir zeigen nun die Vermutung noch mathematisch Dazu wählen wir ein k 0,,7 Die Ecke p k ist genau dann eine optimale Lösung, wenn die Zielfunktion in den beiden benachbarten Ecken keine größeren Werte annimmt, das heißt, wenn die beiden Ungleichungen cos(k π 4 ) r cos α + sin(k π 4 ) r sin α cos((k ) π 4 ) r cos α + sin((k ) π 4 ) r sin α und cos(k π 4 ) r cos α + sin(k π 4 ) r sin α cos((k + ) π 4 ) r cos α + sin((k + ) π 4 ) r sin α erfüllt sind Durch Anwenden der Identität cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y erhält man die dazu äquivalenten Ungleichungen cos(k π 4 α) cos(k π 4 α π 4 ) cos(k π 4 α) cos(k π 4 α + π 4 ) Eine elementare Überlegung ergibt, dass die Ungleichungen cos x cos(x π 4 ) cos x cos(x + π 4 ) für ein x R genau dann erfüllt sind, wenn x [ π 8, π 8 ]+2πZ Wendet man diese Aussage auf unsere beiden Ungleichungen an, so folgt, dass die Optimalitätsbedingung genau dann erfüllt ist, wenn was sich mit der grafischen Überlegung deckt k π 4 α [ π 8, π 8 ]+2πZ α [k π 4 π 8,kπ 4 + π 8 ]+2πZ, Rechenaufgaben Aufgabe 239 Wir führen zunächst die Schlupfvariablen x 4 und x 5 in den beiden Ungleichungen ein Das führt uns auf + + x 3 + x x 3 + x 5 3,,x 3,x 4,x 5 0 Das erste Simplextableau lautet also Wir wählen die zweite Spalte aufgrund des positiven Zielfunktonskoeffizienten als Pivotspalte Die Engpassbedingung liefert die erste Zeile als Pivotzeile Wir erzeugen also in der zweiten Spalte einen Einheitsvektor durch die entsprechenden Zeilenumformungen:

13 Lösungswege zu Kapitel 23 3 Da noch ein positiver Koeffizient in der Zeile der Zielfunktion auftaucht, müssen wir noch einen Simplexschritt mit der entsprechenden Spalte als Pivotspalte tun Zusammen mit der Engpassbedingung erhalten wir das Element in der dritten Spalte und der zweiten Zeile als Pivotelement Nachdem wir diese Zeile mit /3 multipliziert haben, erhalten wir nach passenden Zeilenumformungen einen Einheitsvektor in der dritten Spalte: /3 0 2/3 /3 8/3 2/3 0 /3 /3 0/3 7/ /3 2/3 38/3 Hier ist kein Eintrag in der letzten Zeile mehr positiv die Optimalitätsbedingung ist also erfüllt und die zugehörige Ecke x = (0, 8/3, 0/3) T ist optimal mit dem dem Tableau entnommenen zugehörigen Funktionswert z(x ) = 38/3 Aufgabe 230 Wir stellen das Simplextableau auf und führen den ersten Schritt des Simplexalgorithmus durch: /2 /2 / /2 /2 / Hier fällt die Wahl der Pivotspalte auf die zweite Spalte Als Pivotzeilen stehen uns wegen 2 = 3/2 3 die zweite und die dritte Spalte zur Verfügung Rein willkürlich wählen wir die dritte Zeile Das führt auf /2 /2 / /2 /2 / /2 0 /2 0 0 /2 3/ Da das Optimalitätskriterium erfüllt ist, ist die optimale Ecke x = (, 2, 0) T und der zugehörige Maximalwert z(x ) = Aufgabe 23 Das erste Simplextableau ist Nach Wahl der zweiten Spalte als Pivotspalte führt der nächste Simplexschritt auf Die Pivotspaltenwahl fällt hier auf die erste Zeile Da 3/3 = /, können wir uns zwischen der ersten und dritten Zeile als Pivotzeile entscheiden; zudem wissen wir damit, dass die nächste Ecke entartet sein wird Beachtet man die bei dieser Wahl

14 4 Lösungswege zu Kapitel 23 entstehenden Zielfunktionskoeffizienten, so ist klar, dass wir die dritte Zeile zur Pivotzeile machen (somit wird verhindert, dass wir einen Simplexschritt lang in der Ecke hängenbleiben): 0 0 4/3 / /3 / /3 / /3 2/ Die zugehörige Ecke (2, ) T ist optimal und, wie oben schon festgestellt, entartet Betrachtet man die vierte Spalte des Simplextableaus, so wird klar, dass wir diese Spalte zwar als Pivotspalte verwenden können, der zugehörige Zielfunktionskoeffizient aber verschwindet Entsprechend erhalten wir mittels eines weiteren Simplexschrittes eine weitere optimale Ecke Wie schon zuvor können wir dabei wegen / 3 = 3/ zwischen zwei Zeilen, nämlich der vierten und fünften, als Pivotzeilen wählen Die nächste Ecke ist also wieder entartet Als optimale Lösungen erhalten wir also die Punkte der konvexen Hülle {λ(, 2) T + μ(3, ) T λ, μ 0, λ+ μ = } der beiden (entarteten) Ecken (, 2) T und (3, ) T, der zugehörige Funktionswert ist 2 Aufgabe 232 Wir lösen das Problem mithilfe des Simplexalgorithmus, wobei diverse Fallunterscheidungen zu beachten sind Das erste Simplextableau ist β α 0 0 Wir wählen die erste Zeile als Pivotzeile Im Fall β 0 ist die Engpassbedingung nicht erfüllbar, die Zielfunktion also auf dem Zulässigkeitsbereich unbeschränkt Sei also nun β>0 In diesem Fall führt ein Simplexschritt auf das neue Tableau /β /β /β 0 α /β /β /β Falls nun α</β, das heißt α /β < 0, ist x = (/β, 0) T die eindeutige optimale Lösung Im Fall α /β können wir noch einen Simplexschritt tun: /β /β /β 0 α /β /β /β β αβ 0 α α Ist α > /β, so haben wir dabei den Zielfunktionswert verbessert und sind wegen αβ < 0 in der optimalen Ecke x = (0, ) T angelangt Falls α = /β wurde der Zielfunktionswert im letzten Schritt nicht verbessert, wir haben also die Punkte auf der Kante {λ(/β, 0) T + μ(0, ) T λ, μ 0, λ+ μ = } zwischen den beiden Ecken (/β, 0) T und x = (0, ) T als optimale Lösungen identifiziert Aufgabe 233 Dieses Beispiel macht deutlich, welchen Einfluss die Regel, nach der die Pivotelemente im Simplexalgorithmus gewählt werden, auf die Anzahl der benötigten Simplexschritte haben kann (a) Für n = 3 ist das Maximum der Zielfunktion z = x 3

15 Lösungswege zu Kapitel 23 5 unter den Nebenbedingungen x ,,x 3 0 gesucht Wir stellen das zugehörige Simplextableau auf und bestimmen die optimale Lösung mithilfe des Simplexalgorithmus Dabei wählen wir, wie in der Aufgabenstellung vogegeben, die Spalte mit dem größten Zielfunktionskoeffizienten als Pivotspalte Die jeweiligen Pivotelemente sind blau markiert: Die optimale Lösung ist also x = (0, 0, 0000) T, der zugehörige Zielfunktionswert z(x ) = 0000

16 6 Lösungswege zu Kapitel 23 Wählt man im ersten Schritt die dritte Spalte als Pivotspalte, so erreicht man schon nach einem Schritt diese Ecke: (b) Für ein beliebiges n N erhält man als Simplextableau n 2 0 n n 0 n 0 n Wählt man hier ganz wie zuvor im Fall n = 3 die n-te Spalte als Pivotspalte und führt einen Simplexschritt durch erhält man n 2 0 n n 0 n 0 n n als neues Tableau Da hier kein Zielfunktionskoeffizient mehr positiv ist, haben wir die optimale Ecke x = (0,, 0, 0 n ) T erreicht, wobei z(x ) = 0 n der optimale Zielfunktionswert ist Anwendungsprobleme Aufgabe 234 (a) Bezeichnen bzw die Anzahl an Yachten die von den Typen M bzw M 2 produziert werden, so ist das zugehörige lineare Optimierungsproblem folgendes: Es ist das Maximum der Zielfunktion z = unter den Nebenbedingungen gesucht Grafisch ergibt sich wie in Abbildung 2335 die optimale Lösung x = (20 20) T mit dem zugehörigen Zielfunktionswert z(x ) = , was einer Produktion von je 20 Yachten beider Typen und einem jährlichen Gewinn von Euro bei deren Verkauf entspricht Abbildung 2335 Die optimale Lösung ist x = (20, 20) T

17 Lösungswege zu Kapitel 23 7 (b) Der steigende Gewinn entspricht einer Modifikation der Zielfunktion z = c mit Werten c 000 Das zur Aufgabenstellung gehörige mathematische Problem entspricht der Frage, ab welchem Wert von c die Ecke p = (20, 20) T nicht mehr optimal ist In Abbildung 2336 sind die Zielfunktionsvektoren und die dazugehörigen Niveaulinien für einige Werte von c eingezeichnet Man kann erkennen, dass die Ecke p noch optimal ist, wenn die Kante, die diese Ecke mit der Ecke (0, 200) T verbindet, auf einer Niveaulinie der Zielfunktion liegt Sobald c noch größere Werte annimmt, ist letztgenannte Ecke die optimale Lösung der Zielfunktion Die Grenze liegt also genau bei c = 500, das heißt, die Werft sollte die Produktion auf 200 Yachten des Typs M 2 umstellen, sobald bei deren Verkauf ein Gewinn von mehr als je 500 Euro gemacht wird Da in diesem Fall die einzige aktive limitierende Nebenbedingung die Ungleichung ist, die der Beschränkung durch die Arbeitszeit entspricht, würde es sich gegebenenfalls lohnen neue Arbeitskräfte einzustellen 300 c c 2 c 00 g g g 2 Abbildung 2336 Die Zielfunktionsvektoren und Niveaulinien für unterschiedliche Werte von c