Matrizen und Determinanten

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1 Mtrizen und eterminnten efinition einer Mtri: Ein us m Zeilen und n Splten bestehendes rechteckiges Zhlenschem heißt Mtri vom Typ (m; n) oder (m n)-mtri. m m m n n n mn izeileninde; jsplteninde Schreibweise: [ ] oder ( ) nwendungsgebiete für Mtrizen:. Linere Gleichungssysteme: I. y z II. y z 9 III. y z K KKoeffizientenmtri; hier: ( )-Mtri E 9 EErweiterungsmtri; hier: ( )-Mtri. Beschreibung und rstellung von Informtionen: z.b. Sitzpläne, Stundenpläne,, verschiedenste Informtionen M 8 8 Rucher Nichtrucher männlich 8 weiblich 8

2 rstellung der Prüferzuordnung über Mtrizen: prüft prüft nicht ZZuordnungsmtri Zloznik ichtl Krnzmyer Pirolt Grtzer Meter Wrussnig Sgonc Wogrin Pippn. Beziehungsstrukturen: Z,,, Jugendgruppenmitglieder unsympthisch sympthisch S Typen von Mtrizen:. Qudrtische Mtri: Ein Schem, in dem die nzhl m der Zeilen gleich der nzhl n der Splten ist, heißt qudrtische Mtri. 6 M ( )-Mtri oder qudrtische Mtri. Ordnung ) reiecksmtri: Eine qudrtische Mtri, in der lle Elemente unterhlb bzw. oberhlb der Huptdigonle Null sind, nennt mn reiecksmtri. obere reiecksmtri

3 U untere reiecksmtri b) igonlmtri: Eine qudrtische Mtri, in der lle Elemente ußerhlb der Huptdigonlen gleich Null sind, nennt mn igonlmtri. Hben die Elemente der Huptdigonle lle den Wert, dnn liegt eine Einheitsmtri vor. igonlmtri E Einheitsmtri. Nullmtri: O. Zeilenvektor: m und n> P ( ). Spltenvektor: n und m> V. Sklr: mn reelle Zhl

4 Rechnen mit Mtrizen:. ddieren und Subtrhieren von Mtrizen: B C B 9 B Für die ddition von Mtrizen gelten folgende ussgen: ie ddition ist ssozitiv: (B) C (BC) ie ddition ist kommuttiv: B B ie Nullmtri ist ds neutrle Element: Für jede Mtri gibt es eine Inverse -, sodss (-) - Mengen, die genu diese Eigenschften ufweisen (z.b. N, Z, Q, R), nennt mn GRUPPEN.. Multipliktion einer Mtri mit einem Sklr: ( ) Multipliktion von Mtrizen: 6 B 6 C B 9 ( ) ( ) Ergebnismtri: ( ) bei empfiehlt sich, ds Schem von "Flk" nzuwenden: 6 6 9

5 Regel: b jk c ik Berechnung von eterminnten: efinition: Unter der eterminnte det() einer qudrtischen Mtri der Ordnung versteht mn jene reelle Zhl, die nch der Vorschrift gebildet wird. det( ) in Worten: Produkt der Huptdigonle minus Produkt der Nebendigonle nwendungsbeispiel: s Gleichungssystem soll nch der Crmerschen Regel gelöst werden. I: y 8 II: y Lösung: Es sei die eterminnte der Koeffizientenmtri. ( ) ;, ds Gleichungssystem ist eindeutig lösbr. 8 8 ( ) 8 y 8 Crmersche Regel : y y ; y

6 ) Regel von Srrus: Beispiel: Berechnung der eterminnte einer - Mtri: [ ] 8 6 det( ) ( ) Beispiel: Gesucht ist die eterminnte von! det( ) ( ) 9 8 ( ) 9 b) Entwicklung nch Zeilen oder Splten: z.b. nch der. Zeile: 8 6 det() ( ) ( ) 6 9 () ()

7 Vorzeichenregel: ie Ziffern sind bei gerder Summe der Indizes und - bei ungerder Summe der Indizes! uflösung nch Zeile: Berechnung der Kofktoren : Wenn det( ) gilt, dnn heißen die Kofktoren von. Für ( ) ; ( ) ; ( ) Es gilt dher: det( ) ; usw. gelten: Beispiel: Berechne lle Kofktoren! ( ) ; ( ) -; ( ) ( ) ( ) ; ( ) -; ( ) -; ( ) ; ( ) - Beispiel: Berechne det() durch Entwicklung nch der zweiten Splte! det() ( ) ( ) ( ) -

8 8 Beispiel: Berechne det()! Zweimlige Subtrktion der der zweiten Splte von der dritten: 8 8 det( ) ( ) ie djungierte einer qudrtischen Mtri: Es sei [ ] eine n-qudrtische Mtri, und es sei der Kofktor von ; dnn ist.. n.. n djungiert e dj().. n n nn Mn bechte sorgfältig, dss die Kofktoren der Elemente der i-ten Zeile(Splte) von die Elemente der i-ten Splte(Zeile) von dj() sind. Beispiel: Berechne für die Mtri die djungierte von! ( ) 6; ( ) -; ( ) - ( ) ( ) ; ( ) -; ( ) -; ( ) ; ( ) - dj () 6 ie Inverse einer Mtri : efinition: Wenn und B qudrtische Mtrizen sind, sodss gilt B B heißt B die Inverse von und mn schreibt B ("B ist gleich invers"). Es gilt uch: B I, dnn

9 Beispiel:? I ; ; : I : II ) ( : / 6 ) ( : / : : II I ( ) / Inversenbildung unter Benutzung der djungierten: ) det( ; ) dj( det()

10 Beispiel: Berechne für die Mtri die inverse Mtri! 6 dj () ; det()-; 6 y z 8y z 6 9y z Lösen von Gleichungssystemen mit Mtrizen: 8 9 ;H 6 ;X y z X H / I X X X H H von H links X Lösung:,9; y,; z,8

11 Löse uf drei rten: Übungsbeispiel: I: -y z II - y z - III: y z 6 ) Guß sches Elimintionsverfhren ) Crmer sche Regel ) mittels Mtrizenrechnung Guß sches Elimintionsverfhren: Crmer sche Regel: I: y z II: - y z - III: y z 6 I: y z II: - y - z - II: - y z - III: y z 6 9 6y y ; z 6 Y Z

12 y y z z ; y ; z ; mittels Mtrizenrechnung: I: - y z II: - y z - III: y z 6 ; 6 H ; z y X H X 6 X X