In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle.

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Klemens Graf
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1 Nachschlag:Transposition von Matrizen Sei Explizit: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen mit Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft: Beweis: L6 Determinanten 'Determinante' ist eine Abbildung der Form: Motivation: 1. Invertierbarkeit von A Spaltenvektoren von A bilden Basis 2. Diagonalisierung von A: Finde eine Transformation T, so dass = diagonal Startpunkt für Diagonalisierung: 3. Jakobi-Determinante bei Variablen-Transformation in Integralen: In allen Fällen spielt die 'Determinante' einer Matrix eine zentrale Rolle. Vorschau: L6 Determinanten L7 Diagonalisierung

2 Einfaches Kriterium dafür, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden: 1 x 1 Systeme: trivial 2 x 2 Matrix: bilden eine Basis, falls und nicht Vektoren sind parallel, falls Definition: "Determinante" einer 2x2 Matrix: Merkregel: Fazit: existiert falls 3x3 Matrizen: Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig, falls sie nicht in einer Ebene liegen, d.h., falls ihr Spatprodukt ungleich 0 ist. Spatprodukt = Volumen des Parallelepipeds Parallelepiped Definition: "Determinante" einer 3x3 Matrix: Hier: Levi-Civita det A 0 Spaltenvektoren sind linear unabhängig existiert

3 Explizit: "Merkregel des Sarrus für 3x3 Determinanten": + für Produktbildung links oben nach rechts unten: - für Produktbildung links unten nach rechts oben: Anmerkung: Indizes in (1) haben folgende Struktur: - für feste Reihenfolge 123 der zweiten Indizes, - nehmen die erste Indizes alle Möglichen Reihenfolgen ('alle Permutationen') an, 123, 231, 312 und 132, 231, mit Vorzeichen = für gerade ungerade Anzahl v. Transpositionen relativ zu 123 Permutationen (der n Zahlen 1,2,3,..., n) 'Transposition': nur zwei Elemente werden vertauscht. Jede Permutation P lässt sich schreiben als Folge von 'Transpositionen' sign P = "Vorzeichen der Permutation" für gerade ungerade Anzahl v. Transpositionen Beispiel: Alle Permutationen von 123: Permutation P: Anzahl Transpositionen: sign P : Allgemeine Notation: steht für steht für

4 Def: Determinante einer nxn Matrix: Sei 'Leibniz-Regel' Summe über alle n! Permutationen der natürlichen Folge Cramer-Regel (ohne Beweis): Entwicklung einer Det. nach Zeile i oder Spalte j Die Determinante von lässt sich auch wie folgt berechnen: Entwicklung nach Zeile i: (i= 1,..., n beliebig, aber Entwicklung nach Spalte j: (j= 1,..., n beliebig, aber fest) Def.: "Kofaktor" zu Def: 'Unterdeterminante' oder 'Minor': =Determinante der (n-1)x(n-1) Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht Beispiel: 3x3 Determinante, entwickelt nach Spalte j=1: Trick: wähle Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen, das beschleunigt die Berechnung der Determinanten erheblich!

5 Eigenschaften von Determinanten Im Folgenden sei Spaltenvektor j Notation: (i) Diagonalmatrix Für gilt nur der erste Term in Leibniz-Regel ist ungleich Null [vergleiche 2x2 Matrix, Gl. (b.5), 3x3 Matrix, Gl. (d.2)] Für Einheitsmatrix: (ii) Transponierte Es gilt: Beweisidee: (4) & (5) enthalten, nach Ausführen der Summe über alle Permutationen P, genau dieselben Terme mit denselben Vorzeichen, sind also gleich. [Selber nachrechnen für 3x3 Fall!] Konsequenz: alle Aussagen für Determinanten, die im folgenden für Spaltenvektoren einer Matrix gemacht werden, gelten auch für Zeilenvektoren einer Matrix.

6 (iii) "Multilinearität": linear für jede Spalte [und für jede Zeile, wegen (i.6] Sei j-te Stelle j-te Stelle Beweisidee: nach (f.1) enthält jeder der n! Summanden in det A genau ein Element aus jeder Zeile bzw. jeder Spalte von A. Für jedes solche Element gilt Linearität: Explizit für 3x3: Multilinearität impliziert: da jede der n Spalten einen Faktor liefert.

7 (iv) Antisymmetrie (Vorzeichenwechsel) bei Vertauschen von Spalten: Beweisidee: die rechte Seite liefert genau dieselben n! Terme wie die Linke, aber benötigt für jeden Term eine ungerade Anzahl Transposition mehr oder weniger, sodass sich sign(p) umkehrt. Explizit für 3x3: Antisymmetrie impliziert: sind zwei Spalten oder zwei Zeilen gleich, ist Beweis: (1) mit i = j: Konsequenz (iv)1: addiert man zu einer Spalte (Zeile) die mit einer Zahl multiplizierten Glieder einer anderen Spalte (Zeile), ändert sich die Determinante nicht: Also ändern die beim Gauß-Algorithmus benutzten Manipulationen die Det. nicht! zwei gleiche Spalten: Konsequenz (iv)2: Entwicklung der Determinante v. A nach Spalte j nach Cramer-Regel: Spalte i Spalte j Spaltenvektor an Position j Betrachte nun (zwei gleiche Spalten!) Spaltenvektor an Position j Analoges Argument für liefert:

8 (v) Satz: Existenz und Konstruktion der Inversen: Existenz: existiert genau dann, wenn Konstruktion: Die inverse Matrix ist explizit gegeben durch: (Beachte Anordnung der Indizes: ij links, ji rechts!) Beweis: berechne Matrixelemente von (analog für ): Cramer-Regel falls denn falls denn (vi) Konsequenzen von det(a) = 0: existiert nicht Spaltenvektoren v. sind nicht linear unabhängig und bilden keine Basis f. Reihenvektoren Nullraum v. ist nicht-trivial, d.h. es exitiert ein mit (vi) Multiplikationstheorem: (Beweis: siehe Lineare Algebra Vorlesung) (vii) Determinante der Inversen: Beweis:

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