3 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen

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1 Determinanten, Eigenwerte, Normalformen.1 Determinanten Beispiel. Betrachte folgendes Parallelogramm in der Ebene R 2 : y (a + c, b + d) (c, d) (a, b) x Man rechnet leicht nach, dass die Fläche F dieses Parallelogramms ad bc ist. Dieser Wert ist aber genau der Wert der (noch zu definierenden) Determinante der Vektoren (a, b), (c, d) R 2, die das Paralleogramm aufspannen: ( ) a b F = ad bc = det. c d Definition.1.1. Eine Determinantenfunktion auf M n (K) ist eine Abbildung die folgende Eigenschaften erfüllt: (D1) det ist linear in jeder Zeile; det : M n (K) K (D2) A M n (K) nicht regulär = det A = 0; (D) (Normierung) det I n = 1 (I n die n n Einheitsmatrix). Bemerkung. Man sieht sofort: für n = 1 gibt es genau eine Determinantenfunktion, die gegeben ist durch det(a) = a ( a K). Satz.1.2. Sei det : M n (K) K eine Determinantenfunktion und seien A, Â M n (K). Dann gilt: Â geht aus A hervor durch 1

2 (1) Vertauschen zweier Zeilen von A = det  = det A; (2) Multiplizieren einer Zeile von A mit einem Skalar λ K = det  = λ det A; () Addieren eines Vielfachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A = det  = det A. Notation.1.. Sei A M n (K), n 2, und seien i, j {1,..., n}. Man definiert A ij M n 1 (K) als die Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte aus A hervorgeht. Beispiel. 1 2 A = A 1 = ( ) 4 5 A 22 = ( ) Definition und Satz.1.4. Für alle Körper K und für alle n gibt es genau eine Determinantenfunktion det (n) : M n (K) K Sie ergibt sich induktiv mittels der Formeln Für n = 1 und (a) M 1 (K): det (1) (a) = a; Für n > 1 und A = (a ij ) M n (K): det (n) A = n ( 1) i+j a ij det (n 1) A ij i=1 ( ) Die Formel ( ) wird auch Entwicklung der Determinante nach der j-ten Spalte genannt. Man bezeichnet det (n) A schlicht mit det A und nennt dies die Determinante von A. Notation. Man schreibt oft a a 1n.. a n1... a nn statt a a 1n det... a n1... a nn 2

3 ( ) a b Beispiel. (1) Für A = erhält man (Entwicklung nach erster Spalte): c d det A = a det A 11 c det A 21 = ad bc. 1 2 (2) Für A = erhält man (Entwicklung nach dritter Zeile): det A = = = a 11 a 12 a 1 Bemerkung.1.5. Für Matrizen A = a 21 a 22 a 2 kann man det A a 1 a 2 a mittels der Regel von Sarrus bestimmen: In der folgenden erweiterten Matrix nimmt man die Summe der Produkte der Koeffizienten in den links oben nach rechts unten Diagonalen, und subtrahiert die Summe der Produkte der Koeffizienten in den links unten nach rechts oben Diagonalen: a 11 a 12 a 1 a 11 a 12 a 21 a 22 a 2 a 21 a 22 a 1 a 2 a a 1 a 2 det A = a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 2 a 2 a 11 a a 21 a 12. Definition.1.6. Man nennt A = (a ij ) M n (K) eine obere Dreiecksmatrix (bzw. untere Dreiecksmatrix) falls a ij = 0 i > j (bzw. a ij = 0 i < j). Man nennt A = (a ij ) M n (K) eine Diagonalmatrix falls a ij = 0 i j (d.h. A ist dann sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrix). Lemma.1.7. Sei det : M n (K) K eine Determinantenfunktion und sei A = (a ij ) M n (K) eine Dreiecksmatrix. Dann gilt: det A = n i=1 a ii (Produkt der Elemente in der Hauptdiagonalen der Matrix). Lemma.1.8. Sei det : M n (K) K eine Determinantenfunktion und sei A M n (K). Sei  M n (K) eine Matrix die aus A hervorgeht durch Zeilenumformungen vom Typ (1) oder () in Satz.1.2, wobei Typ (1) (Vertauschen der Zeilen) s mal angewendet wurde. Dann gilt det  = ( 1)s det A.

4 : M n (K) K sind Determinanten- Korollar.1.9. Angenommen det, det funktionen. Dann gilt det = det Dies zeigt die Eindeutigkeit der Determinantenfunktion in Satz.1.4. Noch ist zu zeigen, dass die dort in ( ) gegebene Funktion in der Tat die Eigenschaften einer Determinantenfunktion erfüllt. Dies ist ziemlich technisch und etwas langwierig und wurde in der Vorlesung nur für die einfachste Eigenschaft (D) gezeigt. Die Verifikation von (D1) und (D2) bleibt als Übung. Korollar Sei A M n (K). Dann gilt: A ist regulär ( invertierbar) genau dann wenn det A 0. Satz Die Determinante einer Matrix A M n (K) (n 2) kann durch Entwicklung nach der i-ten Zeile (für beliebig aber fest gewähltes i {1,..., n}) berechnet werden: n det A = ( 1) i+j a ij det A ij ( ) j=1 Definition Sei A = (a ij ) M n m (K). Man definiert die Transponierte von A durch A t = (a t ij) M m n (K) mit a t ij := a ji, d.h. die i-te Zeile (bzw. j-te Spalte) in A wird zur i-ten Spalte (bzw. j-ten Zeile) in A t Beispiel. 1 t 2 4 = 5 6 ( 1 ) Satz.1.1. Sei A M n (K). Dann gilt det A = det A t. Definition und Satz Sei A M n (K). Man definiert à = (ã ij) M n (K) durch ã ij := ( 1) i+j det A ji (man beachte die Reihenfolge der Indizes!). à heißt die zu A komplementäre Matrix. Es gilt: ÃA = Aà = (det A) I n. Insbesondere gilt: Ist A invertierbar, also det A 0, so gilt: A 1 = 1 Ã. det A ) Beispiel. A =. Dann gilt: ( ã 11 = = 2 ã 12 = = 4 ã 1 = = ã 21 = = 2 ã22 = = 11 ã2 = = 6 ã 1 = 4 5 = ã 2 = 1 2 = 6 ã = 1 2 = 4 4 5

5 Wir wissen schon: det A =. Also: A 1 = Satz.1.15 (Determinantenmultiplikationssatz). A, B M n (K) gilt: det(ab) = det(a) det(b) Korollar Sei A M n (K) invertierbar. Dann gilt det(a 1 ) = (det A) 1. Bemerkung Die Entwicklung einer Determinante nach einer Spalte (Formel ( ) in Satz.1.4) bzw. nach einer Zeile (Formel ( ) in Satz.1.11) wird auch Entwicklungssatz von Laplace genannt. 5