Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

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1 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar Erklären Sie die stochastischen Begriffe (a) Ergebnis, (b) Ergebnisraum sowie (c) Mächtigkeit des Ergebnisraumes und geben Sie ein Zufallsexperiment, an dem Sie die Begriffe verdeutlichen können. (a) Ein Ergebnis ist der mögliche usgang eines stochastischen Experimentes. (b) lle möglichen Ergebnisse werden zu einer Menge (genannt Ergebnisraum) zusammengefasst. (c) Die nzahl der Elemente heißt Mächtigkeit des Ergebnisraumes. Beispiel: Einfacher Würfelwurf Beobachtungsgegenstand: Oberseite des Würfels = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = 6 2. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe (a) Ereignisraum (b) Elementarereignisse (c) sicheres Ereignis (d) unmögliches Ereignis (e) Gegenereignis = {1, 2, 3} (a) Ereignisraum: {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } }{{} (b) Elementarereignisse: ω 1 = {1}, ω 2 = {2}, ω 3 = {3} (c) sicheres Ereignisse: (d) unmögliches Ereignisse: (e) Gegenereignis E zu einem Ereignis E: E = {3} E := \ E = {1, 2} 3. Erkläre an einem Beispiel mit zwei Ereignissen und B die mengenalgebraischen Begriffe = {1, 2, 3, 4}, = {2, 3}, B = {2, 4}. (a) oder B. (b) Mindestens eines der Ereignisse oder B. (a) B = {2, 3, 4} (c) Weder noch B. (d) Entweder oder B. (b) B = {2, 3, 4} (c) B = B = {1} (d) ( B) ( B) = {3, 4}

2 4.(a) Was versteht man unter der relativen Häufigkeit eines Ereignisses? (b) Welche Eigenschaften besitzt die relative Häufigkeit (wenn man sie als Funktion betrachtet)? Beispiele! (c) Welche Eigenschaften besitzt das Wahrscheinlichkeitsmaß P über einem Ergebnisraum? Beispiele! (a) Tritt ein Ereignis bei n Versuchen genau k-mal ein, so heißt h n () := k die relative Häufigkeit von in n dieser Versuchsfolge. (b) 0 h n () 1, h n ( ) = 0 und h n () = 1. Die relative Häufigkeit h n() eines möglichen Ereignisses ist gleich der Summe der rel. Häufigkeiten der zugehörigen Elementarereignisse ω. h n( B) = h n() + h n(b) h n( B) Für disjunkte Ereignisse und B gilt h n( B) = h n() + h n(b) h n () = 1 h n () (c) Die gleichen wie die relative Häufigkeit. Ersetze also in der Lösung von Teilaufgabe (b) jedes h n durch P. 5. Welche Gesetzmäßigkeiten an Wahrscheinlichkeitsbäumen gibt es? Beispiele! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem zugehörigen Pfad (1. Pfadregel). Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen (vollständigen) Pfade (2. Pfadregel). 6.(a) Was ist eine Laplace sche Wahrscheinlichkeitsverteilung? (b) Welche Eigenschaft besitzt sie? (a) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der jedes Elementarereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vorkommt, heißt Laplace sche Wahrscheinlichkeitsverteilung. (b) Für jedes Elementarereignis ω gilt P (ω) = 1. Für jedes Ereignis gilt P () = nzahl der für günstigen Ereignisse =. nzahl der möglichen Ereignisse

3 7. Erkläre, was man unter dem Zählprinzip versteht. nwendungsbeipiele! Ist ein Zufallsexperiment z.b. in 5 Stufen zerlegbar und gibt es für die einzelnen Stufen 10, 8, 6, 4 und 2 mögliche usgänge, dann gibt es für das gesamte Zufallsexperiment mögliche usgänge. Beim 4-fachen Würfelwurf gibt es z.b. 6 4 mögliche usgänge, 6 verschiedene Buchstaben kann man zu 6! verschiedenen Wörtern zusammenfügen. 8.(a) Wie lauten die Bezeichnungen der vier grundlegenden uswahlverfahren? (b) Wie können sie im Urnenmodell beschrieben werden? (c) Wie können sie im Verteilungsmodell beschrieben werden? (d) Wie lautet jeweils die Formel für die nzahl der uswahlmöglichkeiten? Bezeichnung Urnenmodell Verteilungsmodell mit Wied. mit Zurückl. M-fachbel. zul. ohne Wied. ohne Zurückl. M-fachbel. verb. Variationen m.b.d.r Kugeln n. id. Kombinationen o.b.d.r Kugeln id. ( n + k 1 ) n k k n! (n k)! ( n k) 9. Nenne für jede der vier grundlegenden uswahlverfahren stochastische Beispiele, die nicht direkt in das Urnen- oder das Verteilungsmodell übertragen werden können. m. Wied. o. Wied. Variationen nzahl der möglichen Tupel beim mehrfachen Würfelwurf nzahl der Belegungen der ersten drei Plätze beim 100-m- Lauf; nzahl möglicher Tanzpaare bei n Männern und k Frauen Kombinationen nzahl der möglichen ungerechten Verteilungen von k id. Bonbons auf n Kinder nzahl der möglichen Blätter beim Schafkopf

4 10.(a) Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von s schwarzen Kugeln aus einer Urne mit insgesamt N Kugeln von denen S schwarz sind wenn insgesamt n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen werden? (b) Erkläre an einem Beispiel wozu der Multinomialkoeffizient gut ist. Gib auch ein passendens Urnen- und Verteilungsmodell an (a) ( S ( s) N S ) n s P(X = s) = ( N n) (b) us dem Wort MISSISSIPPI lassen sich ( 11 ) 1,4,4,2 = 11! nagramme bilden. 1! 4! 4! 2! Urne mit 11 Kugeln, 1M, 4S, 4I, 2P, Ziehen ohne Zurücklegen, BG: Folge der Kugeln. 1M-, 4S-, 4I-, 2P- Kugeln werden auf 11 nummerierte Fächer ohne Mehrfachbelegung verteilt, BG: Folge der Kugeln in den Fächern. 11.(a) Was versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Bedingung B? Beispiel! (b) Wann heißen zwei bzw drei Ereignisse stochastisch unabhängig? (c) Wie kann man die Unabhängigkeit am schnellsten überprüfen? (a) P B () := P ( B) P (B) falls P (B) 0. (b) Zwei Ereignisse und B in heißen (stochastisch) unabhängig, wenn P () P (B) = P ( B). Drei Ereignisse, B und C in heißen unabhängig, wenn je zwei von ihnen unabhängig sind und wenn P () P (B) P (C) = P ( B C). (c) Die Vierfelder-Tafel bzw. die 8-Felder-Tafel muss eine Multiplikationstafel sein. 12.(a) Erkläre an einem Bespiel, wie man den Erwartungswert, die Varianz (letztere auf zwei rten) und die Standdardabweichung berechnen kann. (b) Wie kann man den Erwartungswert geometrisch darstellen? (c) Welche Information über eine Zufallsgröße gibt die Varianz? (a) x W(x) 0, 1 0, 1 0 0, 8 EX = µ = 4 0, , 8 = 2 Var(X) = E(X µ) 2 = EX 2 µ 2 Var(X) = 36 0, , , 8 = 4, 8 Var(X) = 16 0, , = 4, 8 X = Var(X) 2, 19. (b) Im Histogramm ist der Erwartungswert die zur y-chse parallele Schwerlinie der Verteilung. (c) Die Varianz gibt die Streuung einer Zufallsgröße an. Je mehr Gewicht weit vom Erwartungswert entfernt ist, desto größer ist die Varianz der Zufallsverteilung.

5 13. Wie lautet die Tschebyschow-Ungleichung und welche Information erhält man durch sie über die Zufallsgröße? P ( X µ a) Var(X) a 2. Das Tyschebyschow-Risiko r T = Var(X) a 2 ist also eine obere Schranke für das wahre Risiko P ( X µ a). Wenn a ein Vielfaches von ist, also a = k gilt, erhält man P ( X µ k) 1 1 bzw. P ( X µ < k) 1 k2 k 2. Das bedeutet z.b., dass im Inneren des Intervalls [µ 2; µ + 2] mehr als 75% der gesamten Verteilung liegt, und zwar unabhängig davon, um welche Zufallsgröße es sich handelt. a a {}}{{}}{ % µ 2 µ µ + 2 x 14.(a) Was ist ein Bernoulli-Experiment? (b) Was ist eine Bernoulli-Kette? (c) Gib ein Beispiel für eine Bernoulli-Kette und benenne die auftretenden mathematischen Größen. (a) Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei verschiedene usgänge besitzt (z.b. T- N, 1-0, z-w). Die Wahrscheinlichkeit für T sei p. (b) Eine Bernoulli-Kette der Länge n ist das n-malige usführen eines bestimmten Bernoulli-Experiments. (c) 7-maliges Werfen eines Laplace-Würfels. BG: Folge der Ereignisse 6 6; Treffer: 6 n = 7 p = (a) Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das uftreten von k Treffern in einer Bernoulli- Kette? (b) Wie kann man das kurz ausdrücken? (c) Wie findet man häufig auftretende Werte für B-verteilte Zufallsgrößen? (d) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung? (a) P(X = k) = ( n k) p k q n k, q = 1 p. (b) Man sagt, die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette ist binomial verteilt und schreibt P(X = k) = B(n; p; k). (c) im Tafelwerk (d) µ = np, = npq

6 16.(a) Wie lautet die Gauß sche Dichtefunktion? (b) Welche Eigenschaften besitzt sie? (a) ϕ(z) = 1 2π e z2 2 D = R. (b) Der Graph, Gauß sche Glockenkurve genannt, ist achsensymmetrisch zur y-chse, E( 0 1 ) ist das einzige Maximum, 2π }{{} 0,4 lim ϕ(z) = 0 und z ± ϕ(z) = Wie kann man für eine binomialverteilte Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit P(X = k) annähern? Beispiel! Durch die lokale Näherungsformel von Moivre und Laplace: Falls > 3 so gilt P(X = k) 1 ϕ ( k µ ) Z.B. n = 10000, p = 0, 1 µ = 1000, = 30 > 3 somit P(X = 985) 1 30 ϕ( ) = ϕ(0, 5) 2, 6% (a) Wie lautet die Gauß sche Integralfunktion? (b) Welche Eigenschaften besitzt sie? (a) Φ(z) = z ϕ(t) dt D = R (b) lim z Φ(z) = 1 lim Φ(z) = 0 z Der Graph ist punktsymmetrisch zu T( 0 0, 5 ) also Φ( z) = 1 Φ(z)

7 19. Welche Näherungsformeln gibt es für binomialverteilte Zufallsgrößen? ( ) P(X k) Φ k+0,5 µ ( ) ( ) P(a X b) Φ b+0,5 µ Φ a 0,5 µ ( ) P( X µ a) 2Φ a+0, Erkläre an einem Beispiel die Begriffe lternativ-test, Entscheidungsregel, Fehlerwahrscheinlichkeit. Gegeben sind zwei Güteklassen für Glühbirnen. lternativen: : p=0,90; B: p=0,70. Eine Stichprobe der Länge 20 soll ufschluss geben, um welche Güteklasse es sich bei einer Lieferung handelt. Festlegeung der Entschei- { } { } X 17: für dungsregel: Falls Entscheidung. X 16: für B Zufallsbedingt könnte die Stichprobe aber nicht repräsentativ für eine der lternativen ausfallen. So erhält man die Fehlerwahrscheinlichkeiten P(F ) und P(F B ) dafür, dass man fälschlicherweise aufgrund der Stichprobe an die falsche lternative glaubt. : p = 0, 9 B : p = 0, 7 X 17 F B X 16 F P(F ) = P 0,9 (X 16) = {wenn B-Exp.,TW} = 13, 4% P(F B ) = P 0,7 (X 17) = {wenn B-Exp.,TW} = 10, 7% 21. Erkläre an einem Beispiel, wie man bei einem zweiseitigen Hypothesentest eine Entscheidungsregel zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau bestimmt. Unterscheide dabei die Fälle: (1) Der nnahmebereich soll symmetrisch zu µ sein und (2) die Fehlerwahrscheinlichkeit links und rechts vom nnahmebereich soll maximal α 2 sein. Eine Firma liefert angeblich Transistoren mit einer usfallrate von 10%. Diese Nullhypthese H 0 soll auf dem Signifikanzviveau α = 5% mit einer Stichprobe der Länge 200 getestet werden. (1): X µ k (2): a X b (1): X µ > k H 0 : p = 0, 1 H 0 : p 0, 1 F II (2): X < a X > b F I (1) Z.B. mit Normalverteilung: P(F I ) = 1 P 0,1 ( X µ k) 2 2Φ( k+0,5 ) 0, 05. }{{} 18 α (2) Z.B. mit Binomialverteilung: P 0,1 (X < a) = 0, 025 und 1 P 0,1 (X b) = 0, 025 Erg: (1) = { }, (2) = { }