Die komplexe Logarithmus-Funktion

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Christoph Böhm
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Die komplexe Logarithmus-Funktion bbildung: Riemannsche Fläche - Bild der Exponential-Funktion DIE KOMPLEXE EXPONENTILFUNKTION Die e-funktion ist im Komplexen 2 π i-periodisch und deshalb nicht

1 Die komplexe Logarithmus-Funktion bbildung: Riemannsche Fläche - Bild der Exponential-Funktion DIE KOMPLEXE EXPONENTILFUNKTION Die e-funktion ist im Komplexen 2 π i-periodisch und deshalb nicht injektiv, denn für C z = x + iy, x, y R und k Z ist e z+2 k π i = e x cosy + 2 k π + i siny + 2 k π = e x cos y + i sin y = e z. Schränkt man die e-funktion allerdings auf den Streifen S := R [, 2 π ein, dann ist diese Funktion bijektiv und man kann eine Umkehrfunktion definieren. Ln : C \ {} S

2 DIE KOMPLEXE LOGRITHMUSFUNKTION Wir suchen dazu zu gegebenem w C die Lösungen der Gleichung e x e i y = e x+i y = e z = w = w e i argw, argw [, 2 π in S. Bildet man den Betrag, so folgt zunächst e x = w, also x = ln w und y = argw + 2 k π, k Z. Dabei ist nur für k = das y [, 2 π und x R ist ebenfalls eindeutig bestimmt, d. h. die komplexe Logarithmusfunktion ist durch ihren Hauptzweig eindeutig definiert. z = Ln w = ln w + i argw KONSEQUENZEN FÜR DIE PRTILBRUCHZERLEGUNG bleitungen und Stammfunktionen zu komplexen Funktionen werden erst in der Vorlesung Funktionentheorie definiert. Wir benutzen daraus das dort gewonnene Resultat d dz Ln z z =, z z z, z C., d. h. Ln z z ist eine Stammfunktion zu z z. Der Beweis erfolgt ähnlich wie im Reellen. Die bleitung der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst Unendliche Reihe. Der Rest folgt aus der Formel für die bleitung der Umkehrfunktion.

3 FORMEL FÜR DIE PRTILBRUCHZERLEGUNG Für reelles z = x, z = x + i C erhält man nun zunächst für x z im ersten Quadranten dx = ln x z + i argx z x z = ln x x 2 + y 2 + i arccotx x π = ln x x 2 + y 2 + i 2 arctan x x = ln x x 2 + y 2 + i arctan x x. Hierbei ist i π/2 eine komplexe Integrationskonstante, die man auch weglassen kann. Weitere verschiedene Integrationskonstanten erhält man, wenn man in den anderen Quadranten argx z durch arctan-terme ausdrückt. BESTÄTIGUNG DER FORMEL Jetzt, da wir die Herkunft der Formel kennen, können wir diese als vom Himmel gefallen betrachten und deren Richtigkeit durch bleiten im Reellen nachweisen: = d dx ln x x 2 + y 2 ± i arctan x x x x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2 ±i 2 + x x = x x x z 2 ± i x z 2 = x x i x z x z = { x z für + für x z 2x x

4 POLYNOME MIT REELLEN KOEFFIZIENTEN Konjugiert komplexe Nullstellen Satz. Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten ist mit jeder echt komplexen Nullstelle z auch die konjugiert komplexe Zahl z Nullstelle. 2. Bei der Partialbruchzerlegung einer echt gebrochen rationalen Funktion gehören zu konjugiert komplexen Nullstellen konjugiert komplexe Koeffizienten, d. h. mit jedem Term tritt auch der Term Ā x z n auf. Beweis: Übungsaufgabe Man konjugiere die Produktzerlegung bzw. die Partialbruchzerlegung. x z n RÜCKKEHR INS REELLE EINFCHE NULLSTELLEN Mit = a + i b und z = x + i ist + Ā dx = a + i b ln x z + i arctan x x x z x z + a i b ln x z i arctan x x = 2 a ln x x 2 + y 2 2 b arctan x x Beispiel: = a ln x x 2 + y 2 2 b arctan x x Für = z = + i, also a = b = x = =, ist 2x 2 x 2 2x + 2 dx = lnx2 2x arctanx.

5 RÜCKKEHR INS REELLE MEHRFCHE NULLSTELLEN Mit = a + i b und z = x + i und < k N ist x z k + Ā x z k dx = k x z k + Ā x z k Beispiel: = k = k x z k + Ā x z k x z 2k 2 Re x z k x z 2k Für = z = + i, also a = b = x = =, und k = 2 ist 2x 2 2x 4 x 2 dx = 2x x 2 2x + 2