Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
|
|
|
- Gesche Siegel
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische Informatik nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft zur Netzwerkanalyse
2 Vorlesung 4 Programm des Tages: Zusammenhang Kürzeste Wege 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
3 Tiefensuche (Haus)Aufgabe: Tiefensuche, SCC Führen Sie DFS auf dem dargestellten Graphen aus. Starten Sie dabei beim Knoten A und beachten Sie die lexikographische Ordnung der Knoten! Führen Sie den SCC-Algorithmus von Kosaraju (z. B. in [Cormen et al., Introduction to Algorithms, 1. Aufl., S. 489]) am Beispiel aus! 3 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
4 Kosarajus Algorithmus Kosarajus Algorithmus 1. Rufe DFS(G) auf, um die Beendigungs-Zeitstempel f [u] für jeden Knoten u zu berechnen 2. Berechne G T, den transponierten Graphen 3. Rufe DFS(G T ) auf, beachte dabei die absteigende Reihenfolge der Zeitstempel f [u] aus Schritt 1 4. Gebe die DFS-Bäume aus Schritt 3 aus, sie bilden die starken ZHKs 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
5 Kosarajus Algorithmus Kosarajus Algorithmus 1. Rufe DFS(G) auf, um die Beendigungs-Zeitstempel f [u] für jeden Knoten u zu berechnen 2. Berechne G T, den transponierten Graphen 3. Rufe DFS(G T ) auf, beachte dabei die absteigende Reihenfolge der Zeitstempel f [u] aus Schritt 1 4. Gebe die DFS-Bäume aus Schritt 3 aus, sie bilden die starken ZHKs Kosarajus Algorithmus ist asymptotisch optimal: O(n + m) Aber: Zweifacher Durchlauf in der Praxis nachteilig Daher: In der Praxis z. B. Tarjans Algorithmus verwenden (nur ein Durchlauf) 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
6 Definitionen DFS-Nummer, Tiefensuch(halb)ordnung Sei v 1,..., v n die Reihenfolge, in der die Knoten markiert werden. Dann heißt DFS(v i ) die DFS-Nummer von v i. Die DFS-Nummer DFS((v, w)) einer Kante (v, w) sei die DFS-Nummer des Knotens, von dem aus die Kante durchlaufen wird. 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
7 Definitionen DFS-Nummer, Tiefensuch(halb)ordnung Sei v 1,..., v n die Reihenfolge, in der die Knoten markiert werden. Dann heißt DFS(v i ) die DFS-Nummer von v i. Die DFS-Nummer DFS((v, w)) einer Kante (v, w) sei die DFS-Nummer des Knotens, von dem aus die Kante durchlaufen wird. Wir definieren eine Tiefensuch(halb)ordnung auf V E durch: DFS(p) DFS(q) p q p, q V E (1) DFS(p) < DFS(q) p q p, q V E (2) 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
8 Kantenklassifikation Definition Sei S der Stapel (Stack) der Tiefensuche. Die Kanten werden während der Tiefensuche wie folgt klassifiziert: Zum Zeitpunkt, da die Kante (v, w) markiert wird, wird sie zu einer Baumkante, falls w noch nicht markiert ist, 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
9 Kantenklassifikation Definition Sei S der Stapel (Stack) der Tiefensuche. Die Kanten werden während der Tiefensuche wie folgt klassifiziert: Zum Zeitpunkt, da die Kante (v, w) markiert wird, wird sie zu einer Baumkante, falls w noch nicht markiert ist, Rückwärtskante, falls w markiert ist, w v und w S 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
10 Kantenklassifikation Definition Sei S der Stapel (Stack) der Tiefensuche. Die Kanten werden während der Tiefensuche wie folgt klassifiziert: Zum Zeitpunkt, da die Kante (v, w) markiert wird, wird sie zu einer Baumkante, falls w noch nicht markiert ist, Rückwärtskante, falls w markiert ist, w v und w S Querkante, falls w markiert ist, w v und w / S und 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
11 Kantenklassifikation Definition Sei S der Stapel (Stack) der Tiefensuche. Die Kanten werden während der Tiefensuche wie folgt klassifiziert: Zum Zeitpunkt, da die Kante (v, w) markiert wird, wird sie zu einer Baumkante, falls w noch nicht markiert ist, Rückwärtskante, falls w markiert ist, w v und w S Querkante, falls w markiert ist, w v und w / S und Vorwärtskante, falls w markiert ist und w v. 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
12 Dynamische Graphen Ungerichteter schlichter dynamischer Graph Dynamisch: Kanten werden eingefügt und gelöscht Andere Arten von Dynamik existieren! [ 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
13 Dynamische Graphen Ungerichteter schlichter dynamischer Graph Dynamisch: Kanten werden eingefügt und gelöscht Andere Arten von Dynamik existieren! [ Trivial: Statischen Algorithmus auf veränderten Graphen anwenden 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
14 Dynamische Graphen Ungerichteter schlichter dynamischer Graph Dynamisch: Kanten werden eingefügt und gelöscht Andere Arten von Dynamik existieren! [ Trivial: Statischen Algorithmus auf veränderten Graphen anwenden Annahme: Skaleninvariantes Netzwerk Aufgabe: Berechnung und kostengünstige Aktualisierung der ZHK 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
15 ZHK in dynamischen skaleninvarianten Graphen (1) ZHK ist globale Eigenschaft Einfacher Fall: Einfügen von Kanten Schwieriger: Löschen von Kanten 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
16 ZHK in dynamischen skaleninvarianten Graphen (1) ZHK ist globale Eigenschaft Einfacher Fall: Einfügen von Kanten Schwieriger: Löschen von Kanten Soziale Netzwerke (und weitere) sind oft skaleninvariant 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
17 ZHK in dynamischen skaleninvarianten Graphen (1) ZHK ist globale Eigenschaft Einfacher Fall: Einfügen von Kanten Schwieriger: Löschen von Kanten Soziale Netzwerke (und weitere) sind oft skaleninvariant Bedeutet: Stark unterschiedliche Gradverteilung (power law) Später genauer: Kleine maximale Distanz zwischen beliebigem Knotenpaar (Durchmesser) 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
18 ZHK in dynamischen skaleninvarianten Graphen (2) Frage 1: Welche Eigenschaften ergeben sich noch bei Skaleninvarianz? Frage 2: Was bedeutet das für die Berechnung der ZHK? 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
19 ZHK in dynamischen skaleninvarianten Graphen (2) Frage 1: Welche Eigenschaften ergeben sich noch bei Skaleninvarianz? Frage 2: Was bedeutet das für die Berechnung der ZHK? Die meisten Änderungen sind innerhalb einer Komponente Einfügungen verschmelzen meist kleine mit einer (der) großen Komponente(n) 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
20 ZHK in dynamischen skaleninvarianten Graphen (2) Frage 1: Welche Eigenschaften ergeben sich noch bei Skaleninvarianz? Frage 2: Was bedeutet das für die Berechnung der ZHK? Die meisten Änderungen sind innerhalb einer Komponente Einfügungen verschmelzen meist kleine mit einer (der) großen Komponente(n) Problemfall Löschungen: Komponenten werden nur selten getrennt Erkenntnis: Der Tiefensuch-Baum erleichtert einem die Arbeit Vorschläge? 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
21 DFS-Kantentypus hilft bei Löschung Baumkanten bilden Spannbaum Wdh.: Ein Spannbaum ist ein Teilgraph, der alle Knoten des Obergraphen verbindet und ein Baum ist 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
22 DFS-Kantentypus hilft bei Löschung Baumkanten bilden Spannbaum Wdh.: Ein Spannbaum ist ein Teilgraph, der alle Knoten des Obergraphen verbindet und ein Baum ist Wenn die zu löschende Kante keine Baumkante ist, wird die Komponente nicht zerschnitten Nur bei wenigen Löschungen müssen aufwändigere Verfahren zum Einsatz kommen Was könnte die nächst-aufwändigere Aktion sein? 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
23 Datenhaltung vs. Analyse Annahmen bzw. Entwurfsentscheidungen: Kantenaktionen (Einfügungen, Löschungen) treffen kontinuierlich ein Die Analyse findet in regelmäßigen Abständen statt Aktionen werden stapelweise bearbeitet Während der Analyse werden neu eintreffende Aktionen gepuffert 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
24 Struktur des Algorithmus Aktionen stapelweise abarbeiten Gemäß Startknoten der Kante sortieren In unterschiedliche Warteschlangen (ins/del) einfügen Aktualisieren der Datenstruktur ZHK-Analyse: Löschungen durchführen Baumkante? Dreieck in Nachbarschaft? Falls zu viele mögliche Aufspaltungen: Statische Neuberechnung, sonst Einfügungen durchführen 12 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
25 Datenstruktur STINGER vs NetworKit 13 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
26 Flowchart: Löschen von Kanten 14 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
27 (Parallele) Bestimmung von Dreiecken Aufgabe: Schnell bestimmen, ob Kante Teil eines Dreiecks ist 15 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
28 (Parallele) Bestimmung von Dreiecken Aufgabe: Schnell bestimmen, ob Kante Teil eines Dreiecks ist Gemeinsame Nachbarn finden Frage der Existenz! Eine Möglichkeit: Bit-Vektoren 15 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
29 Pseudocode fürs Löschen von {u, v} F: Flag für Dreieck, R: Zahl der möglichen Aufspaltungen 16 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
30 Paralleles Einfügen von Kanten Sequentieller trivialer Ansatz: Falls die Kante zwei Knoten derselben Komponente verbindet: keine Änderung Falls die beide Knoten in unterschiedlichen Komponenten liegen: Verschmelze Komponenten 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
31 Paralleles Einfügen von Kanten Sequentieller trivialer Ansatz: Falls die Kante zwei Knoten derselben Komponente verbindet: keine Änderung Falls die beide Knoten in unterschiedlichen Komponenten liegen: Verschmelze Komponenten So parallel schwierig umzusetzen Frage: Warum? 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
32 Paralleles Einfügen von Kanten Sequentieller trivialer Ansatz: Falls die Kante zwei Knoten derselben Komponente verbindet: keine Änderung Falls die beide Knoten in unterschiedlichen Komponenten liegen: Verschmelze Komponenten So parallel schwierig umzusetzen Frage: Warum? Problemreduktion für den parallelen Fall 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
33 Konstruktion des Komponentengraphen Für jede einzufügende Kante wird zunächst geprüft, ob sie den Komponentengraphen verändert Das muss parallel natürlich koordiniert werden Verschiedene Datenstrukturen möglich 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
34 Konstruktion des Komponentengraphen Für jede einzufügende Kante wird zunächst geprüft, ob sie den Komponentengraphen verändert Das muss parallel natürlich koordiniert werden Verschiedene Datenstrukturen möglich Schließlich: ZHK-Algorithmus auf Komponentengraphen C C ist sehr viel kleiner als G, daher geringer Aufwand 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
35 Pseudocode fürs Einfügen von {u, v} C: Komponentengraph, M / M : ZHK-Zugehörigkeit 19 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
36 Ein paar experimentelle Ergebnisse (nicht ganz aktuell, beinhalten nicht alle alg. Fortschritte) 20 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
37 Zwischenfazit Zusammenhang: Bestimmung von (starken) ZHK mit DFS Kategorisierung von DFS-Kanten Baumkanten bei der Aktualisierung der ZHK in dynamischen Graphen Aktualisierung um Größenordnungen schneller als statische Neuberechnung 21 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
38 Inhalt Berechnung in statischen Graphen Berechnung in dynamischen Graphen Abstand und Durchmesser Grundlagen Das Phänomen der kleinen Welt Schnelle Schätzung des Durchmessers in großen ungerichteten Graphen 22 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
39 Abstand und kürzeste Wege Definition (Pfadlänge) Sei ein gerichteter und gewichteter Graph G = (V, E) mit der Gewichtsfunktion w : E R gegeben. Das Gewicht (oder die Länge) eines Pfades p =< v 0, v 1,..., v k > ist die Summe der Gewichte seiner Kanten: w(p) := k i=1 w(v i 1, v i ) 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
40 Abstand und kürzeste Wege Definition (Pfadlänge) Sei ein gerichteter und gewichteter Graph G = (V, E) mit der Gewichtsfunktion w : E R gegeben. Das Gewicht (oder die Länge) eines Pfades p =< v 0, v 1,..., v k > ist die Summe der Gewichte seiner Kanten: w(p) := k i=1 w(v i 1, v i ) Definition (Kürzester Pfad) Sei G = (V, E) wie oben. Das Gewicht eines kürzesten Pfades p zwischen u, v V ist definiert als: { min{w(p) : u erreicht v über p} d(u, v) = sonst Ein kürzester Pfad zwischen u, v V ist ein Pfad p mit w(p) = d(u, v). 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
41 Abstand und Durchmesser Definition Für einen Multigraphen G = (V, E) definieren wir: ecc G (v) = max {d G (v, w) : w V } (Exzentrizität von v) rad(g) = min {ecc G (v) : v V } (Radius von G) diam(g) = max {ecc G (v) : v V } (Durchmesser von G) Beispiel an der Tafel! 24 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
42 Das Phänomen der kleinen Welt In vielen Netzwerken ist der Abstand zwischen den Knoten sehr klein Viele Experimente belegen das für unterschiedliche Netzwerke Mathematisch: Mittlere Distanz bzw. Durchmesser ist klein Implikationen für Algorithmen? Frage: Wie berechnet man den Durchmesser (schnell)? 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
43 Das Phänomen der kleinen Welt In vielen Netzwerken ist der Abstand zwischen den Knoten sehr klein Viele Experimente belegen das für unterschiedliche Netzwerke Mathematisch: Mittlere Distanz bzw. Durchmesser ist klein Implikationen für Algorithmen? Frage: Wie berechnet man den Durchmesser (schnell)? Trivialer Ansatz 1: APSP, Maximum feststellen Aufwand kubisch bzw. O(n polylog(n)) 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
44 Das Phänomen der kleinen Welt In vielen Netzwerken ist der Abstand zwischen den Knoten sehr klein Viele Experimente belegen das für unterschiedliche Netzwerke Mathematisch: Mittlere Distanz bzw. Durchmesser ist klein Implikationen für Algorithmen? Frage: Wie berechnet man den Durchmesser (schnell)? Trivialer Ansatz 1: APSP, Maximum feststellen Aufwand kubisch bzw. O(n polylog(n)) Trivialer Ansatz 2 (in ungewichteten Graphen): BFS von jedem Knoten Aufwand: O(n (n + m)) 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
45 Durchmesserabschätzung in großen dünnen ungerichteten Graphen Ziel: Durchmesserabschätzung für dünn besetzte Graphen mit Millionen von Knoten Es gibt exakte Methoden, die schneller sind als die trivialen Ansätze Aber: Diese haben aber (fast) quadratischen Aufwand, zu viel für große Graphen 26 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
46 Durchmesserabschätzung in großen dünnen ungerichteten Graphen Ziel: Durchmesserabschätzung für dünn besetzte Graphen mit Millionen von Knoten Es gibt exakte Methoden, die schneller sind als die trivialen Ansätze Aber: Diese haben aber (fast) quadratischen Aufwand, zu viel für große Graphen Abschätzung mit weniger Aufwand, Näherung reicht in den meisten Fällen ohnehin! Literaturhinweis C. Magnien, M. Latapy, M. Habib: Fast Computation of Empirically Tight Bounds for the Diameter of Massive Graphs. Journal of Experimental Algorithmics, Volume 13, February Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
47 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Offensichtlich (aber nur in ungerichteten Graphen): ecc G (v) diam(g) 2 ecc G (v) (3) Berechenbar in Θ(n + m) Zeit und Platz. Die Güte der Schranken hängt natürlich stark vom Knoten v ab! 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
48 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Offensichtlich (aber nur in ungerichteten Graphen): ecc G (v) diam(g) 2 ecc G (v) (3) Berechenbar in Θ(n + m) Zeit und Platz. Die Güte der Schranken hängt natürlich stark vom Knoten v ab! Lemma Für Bäume (und bestimmte andere Graphklassen) gilt: Wird v so gewählt, dass d G (u, v) = ecc G (u) für einen Knoten u, dann diam(g) = ecc G (v). (4) In solchen Graphen genügen zwei BFS! Bei irgendeinem Knoten u starten. Dann wiederholen bei einem Knoten v, der maximale Distanz von u hat. 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
49 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Im allgemeinen Fall stimmen Schranke und Durchmesser nicht überein. Aber: (Häufig) Bessere untere Schranke als vorher durch zwei (oder mehr) BFS! 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
50 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Im allgemeinen Fall stimmen Schranke und Durchmesser nicht überein. Aber: (Häufig) Bessere untere Schranke als vorher durch zwei (oder mehr) BFS! Weitere Verbesserungen möglich: Lemma Sei T ein Spannbaum von G. Dann gilt: diam(g) diam(t ). (5) 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
51 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Im allgemeinen Fall stimmen Schranke und Durchmesser nicht überein. Aber: (Häufig) Bessere untere Schranke als vorher durch zwei (oder mehr) BFS! Weitere Verbesserungen möglich: Lemma Sei T ein Spannbaum von G. Dann gilt: diam(g) diam(t ). (5) Frage 1: Warum gilt das Lemma? 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
52 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Im allgemeinen Fall stimmen Schranke und Durchmesser nicht überein. Aber: (Häufig) Bessere untere Schranke als vorher durch zwei (oder mehr) BFS! Weitere Verbesserungen möglich: Lemma Sei T ein Spannbaum von G. Dann gilt: diam(g) diam(t ). (5) Frage 1: Warum gilt das Lemma? Frage 2: Wo kriegen wir den Spannbaum her? 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
53 Durchmesserabschätzung Untere und obere Schranken Im allgemeinen Fall stimmen Schranke und Durchmesser nicht überein. Aber: (Häufig) Bessere untere Schranke als vorher durch zwei (oder mehr) BFS! Weitere Verbesserungen möglich: Lemma Sei T ein Spannbaum von G. Dann gilt: diam(g) diam(t ). (5) Frage 1: Warum gilt das Lemma? Frage 2: Wo kriegen wir den Spannbaum her? Antwort 2: BFS-Baum 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
54 Schranken kombinieren Wir haben jetzt verschiedene untere und obere Schranken Alle mit einfachen Mitteln (BFS) zu berechnen Abwechselnd untere und obere Schranken verbessern Bei zufälligem Knoten starten (oder Heuristik anwenden) 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
55 Schranken kombinieren Wir haben jetzt verschiedene untere und obere Schranken Alle mit einfachen Mitteln (BFS) zu berechnen Abwechselnd untere und obere Schranken verbessern Bei zufälligem Knoten starten (oder Heuristik anwenden) Heuristik: Startknoten mit hohem Knotengrad Gut geeignet für Schranke (4) Frage: Warum? 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
56 Schranken kombinieren Wir haben jetzt verschiedene untere und obere Schranken Alle mit einfachen Mitteln (BFS) zu berechnen Abwechselnd untere und obere Schranken verbessern Bei zufälligem Knoten starten (oder Heuristik anwenden) Heuristik: Startknoten mit hohem Knotengrad Gut geeignet für Schranke (4) Frage: Warum? Grund: Der BFS-Baum eines hochgradigen Knotens hat oft einen kleinen Durchmesser 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
57 Überlegungen zur Implementierung Iterieren der Schranken (4) und (5) Frage: Konvergiert die Iteration auf jeden Fall, wenn sie lange genug läuft? 30 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
58 Überlegungen zur Implementierung Iterieren der Schranken (4) und (5) Frage: Konvergiert die Iteration auf jeden Fall, wenn sie lange genug läuft? Gegenbeispiel: Kreis aus n Knoten 30 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
59 Überlegungen zur Implementierung Iterieren der Schranken (4) und (5) Frage: Konvergiert die Iteration auf jeden Fall, wenn sie lange genug läuft? Gegenbeispiel: Kreis aus n Knoten Abbruch, wenn der Unterschied D D kleiner als Schwellwert ist Alternativer Abbruch: (D D)/D < p für einen anderen Schwellwert p. Aufwand pro Iteration: θ(n + m) 30 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
60 Experimentelle Ergebnisse [Magnien et al., JEA Vol. 13, Feb 2009] 31 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
61 Fazit Durchmesser ist längster kürzester Weg über alle Knotenpaare gesehen Exakte Berechnung hat mindestens quadratische Laufzeit Durchmesser wichtiges Maß in der Netzwerkanalyse (Phänomen der kleinen Welt) 32 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
62 Fazit Durchmesser ist längster kürzester Weg über alle Knotenpaare gesehen Exakte Berechnung hat mindestens quadratische Laufzeit Durchmesser wichtiges Maß in der Netzwerkanalyse (Phänomen der kleinen Welt) Abschätzen des Durchmessers für große Graphen BFS ist wesentliche Komponente 32 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Abstand und Durchmesser
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen
Graphen: Datenstrukturen und Algorithmen Ein Graph G = (V, E) wird durch die Knotenmenge V und die Kantenmenge E repräsentiert. G ist ungerichtet, wenn wir keinen Start- und Zielpunkt der Kanten auszeichnen.
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik
Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
Kombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei
Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME
Vorlesung 3 MINIMALE SPANNBÄUME 72 Aufgabe! Szenario: Sie arbeiten für eine Firma, die ein Neubaugebiet ans Netz (Wasser, Strom oder Kabel oder...) anschließt! Ziel: Alle Haushalte ans Netz bringen, dabei
Algorithmen und Datenstrukturen (WS 2007/08) 63
Kapitel 6 Graphen Beziehungen zwischen Objekten werden sehr oft durch binäre Relationen modelliert. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit speziellen binären Relationen, die nicht nur nur besonders
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel
3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36
8 Diskrete Optimierung
8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von
Datenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen
Methoden der Netzwerkanalyse
Methoden der Netzwerkanalyse Skript zur Vorlesung Ulrik Brandes Sommersemester 005 (letzte Änderung:. August 006) Prolog Methoden der Netzwerkanalyse (Spezialvorlesung Algorithmen) [AKTIV: wo treten Netzwerke
Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden der Netzwerkanalyse Marco Gaertler 9. Dezember, 2008 1/ 15 Abstandszentralitäten 2/ 15 Distanzsummen auf Bäumen Lemma Sei T = (V, E) ein ungerichteter Baum und T s = (V S, E s )
4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)
Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine
Gliederung. Definition Wichtige Aussagen und Sätze Algorithmen zum Finden von Starken Zusammenhangskomponenten
Gliederung Zusammenhang von Graphen Stark Zusammenhängend K-fach Zusammenhängend Brücken Definition Algorithmus zum Finden von Brücken Anwendung Zusammenhangskomponente Definition Wichtige Aussagen und
Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf
Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme
Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund
Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn
Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers Inhalt Einführung:
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012
Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales
Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik
Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus
1 topologisches Sortieren
Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche
16. All Pairs Shortest Path (ASPS)
. All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e
Das Briefträgerproblem
Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume
Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)
Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR
Steinerbäume. Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering
Steinerbäume Seminarausarbeitung Hochschule Aalen Fakultät für Elektronik und Informatik Studiengang Informatik Schwerpunkt Software Engineering Verfasser Flamur Kastrati Betreuer Prof. Dr. habil. Thomas
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik
Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung für den Bereich Master Informatik Dozent: Prof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK
Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur
Algorithmen & Datenstrukturen 1. Klausur 7. Juli 2010 Name Matrikelnummer Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte 1 35 2 30 3 30 4 15 5 40 6 30 Gesamt 180 1 Seite 2 von 14 Aufgabe 1) Programm Analyse
Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen
Fachschaft Informatik Informatik 11 Kapitel 2 - Rekursive Datenstrukturen Michael Steinhuber König-Karlmann-Gymnasium Altötting 15. Januar 2016 Folie 1/77 Inhaltsverzeichnis I 1 Datenstruktur Schlange
S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J
![S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J](/thumbs/26/8373971.jpg "S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J")
Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung
Praktikum Planare Graphen
1 Praktikum Planare Graphen Michael Baur, Martin Holzer, Steffen Mecke 10. November 2006 Einleitung Gliederung 2 Grundlagenwissen zu planaren Graphen Themenvorstellung Gruppeneinteilung Planare Graphen
2.5. VERBINDUNGSNETZWERKE GESTALTUNGSKRITERIEN DER NETZWERKE TOPOLOGIE ALS GRAPH. Vorlesung 5 TOPOLOGIE: DEFINITIONEN : Sei G = (V, E) ein Graph mit:
Vorlesung 5.5. VERBINDUNGSNETZWERKE Kommunikation zwischen den einzelnen Komponenten eines arallelrechners wird i.d.r. über ein Netzwerk organisiert. Dabei unterscheidet man zwei Klassen der Rechner: TOOLOGIE:
Modelle und Statistiken
Kapitel 4 Modelle und Statistiken In letzter Zeit werden vermehrt Parameter (Gradfolgen, Kernzahlfolgen, etc.) empirischer Graphen (Internet, WWW, Proteine, etc.) berechnet und diskutiert. Insbesondere
Anmerkungen zur Übergangsprüfung
DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung
Breiten- und Tiefensuche in Graphen
Breiten- und Tiefensuche in Graphen Inhalt Theorie. Graphen. Die Breitensuche in der Theorie am Beispiel eines ungerichteten Graphen. Die Tiefensuche in der Theorie am Beispiel eines gerichteten Graphen
NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)
NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP
Fully dynamic algorithms for the single source shortest path problem.
Fully dynamic algorithms for the single source shortest path problem. Michael Baur Wintersemester 2001/2002 Zusammenfassung Im folgenden Paper werde ich Algorithmen für das dynamische Kürzeste-Wege-Problem
Branch-and-Bound. Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir
Effiziente Algorithmen Lösen NP-vollständiger Probleme 289 Branch-and-Bound Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume dargestellt werden kann. Innerhalb des Suchraums suchen wir 1.
Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen
Periodische Fahrpläne und Kreise in Graphen Vorlesung Algorithmentechnik WS 2009/10 Dorothea Wagner Karlsruher Institut für Technologie Eisenbahnoptimierungsprozess 1 Anforderungserhebung Netzwerkentwurf
EndTermTest PROGALGO WS1516 A
EndTermTest PROGALGO WS1516 A 14.1.2016 Name:................. UID:.................. PC-Nr:................ Beachten Sie: Lesen Sie erst die Angaben aufmerksam, genau und vollständig. Die Verwendung von
Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)
5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!
Zeichnen von Graphen. graph drawing
Zeichnen von Graphen graph drawing WS 2006 / 2007 Gruppe: D_rot_Ala0607 Christian Becker 11042315 Eugen Plischke 11042351 Vadim Filippov 11042026 Gegeben sei ein Graph G = (V; E) Problemstellung V E =
Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012
Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Mathematische Grundlagen: Das Handwerkszeug Mariano Zelke Datenstrukturen 2/26 Formeln: n - i = n (n+1) 2 und - i=1 k i=0 a i = ak+1 1 a 1, falls a 1 Rechnen
Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
Vorlesungsplan. Von Naïve Bayes zu Bayesischen Netzwerk- Klassifikatoren. Naïve Bayes. Bayesische Netzwerke
Vorlesungsplan 17.10. Einleitung 24.10. Ein- und Ausgabe 31.10. Reformationstag, Einfache Regeln 7.11. Naïve Bayes, Entscheidungsbäume 14.11. Entscheidungsregeln, Assoziationsregeln 21.11. Lineare Modelle,
Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder
Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element
Die Komplexitätsklassen P und NP
Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und
Der linke Teilbaum von v enthält nur Schlüssel < key(v) und der rechte Teilbaum enthält nur Schlüssel > key(v)
Ein Baum T mit Knotengraden 2, dessen Knoten Schlüssel aus einer total geordneten Menge speichern, ist ein binärer Suchbaum (BST), wenn für jeden inneren Knoten v von T die Suchbaumeigenschaft gilt: Der
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes
Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011
Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof.
Bäume und Wälder. Bäume und Wälder 1 / 37
Bäume und Wälder Bäume und Wälder 1 / 37 Bäume Ein (ungerichteter) Baum ist ein ungerichteter Graph G = (V, E), der zusammenhängend ist und keine einfachen Kreise enthält. Bäume und Wälder 2 / 37 Bäume
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (20 Graphen) T. Lauer
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (20 Graphen) T. Lauer 1 Motivation Wie komme ich am besten von Freiburg nach Ulm? Was ist die kürzeste Rundreise durch eine gegebene Menge von Städten?
Information Systems Engineering Seminar
Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt
ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH INFORMATIK
ABITURPRÜFUNG 2009 LEISTUNGSFACH INFORMATIK (HAUPTTERMIN) Bearbeitungszeit: 270 Minuten Hilfsmittel: Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Taschenrechner (nicht programmierbar, nicht grafikfähig) (Schüler,
Ein Algorithmus für die
VGG 1 Ein Algorithmus für die Visualisierung gerichteter Graphen in der Ebene (2D) Seminar Graph Drawing SS 2004 bei Prof. Bischof (Lehrstuhl für Hochleistungsrechnen) Gliederung VGG 2 Einleitung Motivation
Computer Vision: AdaBoost. D. Schlesinger () Computer Vision: AdaBoost 1 / 10
Computer Vision: AdaBoost D. Schlesinger () Computer Vision: AdaBoost 1 / 10 Idee Gegeben sei eine Menge schwacher (einfacher, schlechter) Klassifikatoren Man bilde einen guten durch eine geschickte Kombination
Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer Weights in Linear Time
Universität Konstanz Mathematisch-naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik Wintersemester 2001/02 Mikkel Thorup: Undirected Single-Source Shortest Paths with Positive Integer
Graphentheorie. Organisatorisches. Organisatorisches. Organisatorisches. Rainer Schrader. 23. Oktober 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Organisatorisches Zentrum für Angewandte Informatik Köln 23. Oktober 2007 1 / 79 2 / 79 Organisatorisches Organisatorisches Dozent: Prof. Dr. Rainer Schrader Weyertal 80
2 Lösungen "Peptide de novo Sequencing"
Lösungen "Peptide de novo Sequencing". Algorithm : PeptideSequencingOnlySux Input: a spectrum M with array of masses M = {m, m,, m n }, Σ, µ : Σ R >0 Output: the peptide string of the spectrum begin peptide
Datenbankanwendung. Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern. Wintersemester 2014/15. smichel@cs.uni-kl.de
Datenbankanwendung Wintersemester 2014/15 Prof. Dr.-Ing. Sebastian Michel TU Kaiserslautern smichel@cs.uni-kl.de Wiederholung: Anfragegraph Anfragen dieses Typs können als Graph dargestellt werden: Der
Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume
Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm
Teil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29
1 29 Teil III: Routing - Inhalt I Literatur Compass & Face Routing Bounded & Adaptive Face Routing Nicht Ω(1) UDG E. Kranakis, H. Singh und Jorge Urrutia: Compass Routing on Geometric Networks. Canadian
Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz
Vorlesung 04.12.2006: Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs) Dr. Carsten Sinz Datenstruktur BDD 1986 von R. Bryant vorgeschlagen zur Darstellung von aussagenlogischen Formeln (genauer: Booleschen Funktionen)
Die k kürzesten Wege in gerichteten Graphen
Die k kürzesten Wege in gerichteten Graphen Marc Benkert Wintersemester 001/00 1 Einführung 1.1 Problemstellung In einem gerichteten, gewichteten Graphen G = (V, E) sollen die k kürzesten Wege zu zwei
Die in den Suchverfahren konstruierten Graphen waren zusammenhängend und enthielten keine Kreise. Also vereinbaren wir:
Kapitel 4 Bäume und Matchings Wir haben im letzten Kapitel Bäume implizit als Ergebnis unserer Suchverfahren kennengelernt. In diesem Kapitel wollen wir diese Graphenklasse ausführlich untersuchen. 4.1
Codierung, Codes (variabler Länge)
Codierung, Codes (variabler Länge) A = {a, b, c,...} eine endliche Menge von Nachrichten (Quellalphabet) B = {0, 1} das Kanalalphabet Eine (binäre) Codierung ist eine injektive Abbildung Φ : A B +, falls
1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert
Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume
Kompakte Graphmodelle handgezeichneter Bilder. Einbeziehung in Autentizierung und Bilderkennung
Kompakte Graphmodelle handgezeichneter Bilder Einbeziehung in Autentizierung und Bilderkennung Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Das graphische Model.1 Image Thinning................................. 3.
Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum
Algorithmen und Datenstrukturen Suchbaum Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Motivation Datenstruktur zur Repräsentation dynamischer Mengen
1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI
Datenstrukturen und Algorithmen
Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden
Vergleich von Methoden zur Rekonstruktion von genregulatorischen Netzwerken (GRN)
Exposé zur Bachelorarbeit: Vergleich von Methoden zur Rekonstruktion von genregulatorischen Netzwerken (GRN) Fakultät: Informatik, Humboldt-Universität zu Berlin Lijuan Shi 09.05.2013 Betreuer: Prof. Dr.
Binärbäume. Prof. Dr. E. Ehses, 2014 1
Binärbäume Grundbegriffe der Graphentheorie Bäume und Ihre Anwendungen Unterschiedliche Darstellungen von Bäumen und Binärbäumen Binärbäume in Java Rekursive Traversierung von Binärbäumen Ebenenweise Traversierung
Grundlagen der Programmierung 2. Bäume
Grundlagen der Programmierung 2 Bäume Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauÿ Künstliche Intelligenz und Softwaretechnologie 24. Mai 2006 Graphen Graph: Menge von Knoten undzugehörige (gerichtete oder ungerichtete)
Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 04.06.2004 7. Vorlesung
Algorithmen für Peer-to-Peer-Netzwerke Sommersemester 2004 04.06.2004 7. Vorlesung 1 Kapitel III Skalierbare Peer to Peer-Netzwerke Tapestry von Zhao, Kubiatowicz und Joseph (2001) Netzw erke 2 Tapestry
Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!
Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei
Algorithmen für schwierige Optimierungsprobleme Vorlesung für den Bereich Bachelor Informatik
Algorithmen für schwierige Optimierungsprobleme Vorlesung für den Bereich Bachelor Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT
Highway Hierarchies. Kristian Dannowski, Matthias Hoeschel
Highway Hierarchies Kristian Dannowski, Matthias Hoeschel Gliederung Einleitung / Bidirektional Dijkstra Intuition / Naive Strategie Konstruktion der Highway Hierarchie Suche in der Highway Hierarchie
PageRank-Algorithmus
Proseminar Algorithms and Data Structures Gliederung Gliederung 1 Einführung 2 PageRank 3 Eziente Berechnung 4 Zusammenfassung Motivation Motivation Wir wollen eine Suchmaschine bauen, die das Web durchsucht.
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete
Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:
Netzwerkmodelle. Seminar Netzwerkanalyse. Sommersemester 2005 Jasmine Metzler
Netzwerkmodelle Seminar Netzwerkanalyse Sommersemester 2005 Jasmine Metzler 1 Grundlegende Modelle Das Graph Modell (G n,p ) Definition Verschiedene Modelle Small World Modell Lokale Suche Power Law Modelle
Vortrag. Suchverfahren der Künstlichen Intelligenz. Sven Schmidt (Technische Informatik)
Vortrag Suchverfahren der Künstlichen Intelligenz Sven Schmidt (Technische Informatik) Suchverfahren der Künstlichen Intelligenz Grundlagen Zustandsraumrepräsentation Generische Suche Bewertung von Suchstrategien
Tutorium Algorithmen & Datenstrukturen
June 16, 2010 Binärer Baum Binärer Baum enthält keine Knoten (NIL) besteht aus drei disjunkten Knotenmengen: einem Wurzelknoten, einem binären Baum als linken Unterbaum und einem binären Baum als rechten
Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume
Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen
Duplikatfilterung und Sampling von Webseiten
Duplikatfilterung und Sampling von Webseiten Seminar Suchmaschinen, Wintersemester 2007/2008 Martin Sauerhoff Lehrstuhl 2, Universität Dortmund Übersicht 1. Duplikatfilterung: 1.1 Gleichheitstest mit Fingerabdrücken
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische
Algorithmen und Datenstrukturen. Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer
Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer Diese Folien Braucht man nicht abzuschreiben Stehen im Netz unter www.ibr.cs.tu-bs.de/courses/ws0910/aud/index.html Kleine Übungen
Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik P E T R I N E T Z E. Vorlesungsskript
Prof. Dr. Jürgen Dassow Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik P E T R I N E T Z E Vorlesungsskript Magdeburg, Oktober 2008 Januar 2009 Vorwort Petri-Netze gehören zu den meist
Web Algorithmen. Ranking. Dr. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik. Wintersemester 2008/09
Web Algorithmen Ranking Dr. Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2008/09 M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09
Wie Google Webseiten bewertet. François Bry
Wie Google Webseiten bewertet François Bry Heu6ge Vorlesung 1. Einleitung 2. Graphen und Matrizen 3. Erste Idee: Ranking als Eigenvektor 4. Fragen: Exisi6ert der Eigenvektor? Usw. 5. Zweite Idee: Die Google
Laufzeit und Komplexität
Laufzeit und Komplexität Laufzeit eines Algorithmus Benchmarking versus Analyse Abstraktion Rechenzeit, Anzahl Schritte Bester, Mittlerer, Schlechtester Fall Beispiel: Lineare Suche Komplexitätsklassen
Konzepte der Informatik
Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens
Maximizing the Spread of Influence through a Social Network
1 / 26 Maximizing the Spread of Influence through a Social Network 19.06.2007 / Thomas Wener TU-Darmstadt Seminar aus Data und Web Mining bei Prof. Fürnkranz 2 / 26 Gliederung Einleitung 1 Einleitung 2
Kompakte Graphmodelle handgezeichneter Bilder
Kompakte Graphmodelle handgezeichneter Bilder Einbeziehung in Authentizierung und Bilderkennung Inhaltsverzeichnis Seminar Mustererkennung WS 006/07 Autor: Stefan Lohs 1 Einleitung 1 Das graphische Modell.1
Jenseits der reinen kompetitiven Analyse: Access Graphen
Jenseits der reinen kompetitiven Analyse: Access Graphen Inhaltsangabe: 1. Einleitung 1.1. Online /Offline Algorithmus... 3 1.2. Kompetitive Analyse... 3 1.3. Paging... 3 2. Access Graphen Modell 2.1.