Numerische Simulation für Asset-Liability Management. von Lebensversicherungsunternehmen

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1 für von Lebensversicherungsunternehmen Mathematisches Institut Goethe-Universität Frankfurt am Main 5. Symposium: Neue Herausforderungen an das Risikomanagement Hamburger Zentrum für Versicherungswissenschaft Dezember 2010

2 Überblick 1 im Versicherungswesen 2 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz 3

3 Übersicht 1 im Versicherungswesen 2 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz 3

4 BMBF Förderschwerpunkt Mathematik für Innovationen in Industrie und Dienstleistungen Forschungsprojekt: für Asset- Liability Management im Versicherungswesen Kooperationspartner: Universität Bonn: T. Gerstner, M. Griebel Zurich Gruppe Deutschland: M. Haep Projektziele: Entwicklung eines mathematischen Modells zur Simulation der zukünftigen Bilanzentwicklung von Lebensversicherungs-Produkten Implementierung des Modells mit effizienten numerischen Methoden (Monte Carlo, quasi-monte Carlo, Dünne Gitter)

5 Ziel: Analyse und Optimierung des gleichzeitigen Managements der Aktiva und Passiva eines Lebensversicherungsunternehmens das verfügbare Kapital soll so profitabel wie möglich investiert werden die Verpflichtungen gegenüber den Versicherungsnehmern müssen eingehalten werden Beispiel: Portfolio von Lebensversicherungspolicen Versicherungsnehmer zahlen Beiträge und erhalten einen festen garantierten Betrag im Todesfall oder bei Vertragsende zusätzlich erhalten sie eine variable Gewinnbeteiligung, die vom Unternehmen in jedem Jahr im Voraus deklariert wird das Kapital wird in Anleihen und Aktien investiert

6 Zeitdiskreter Rahmen: Simulationszeitraum [0, T ] wird in M Perioden (t k 1, t k ] unterteilt Vereinfachte Bilanz des Versicherungsunternehmens: Aktiva Passiva Kapital C k Deckungskapital D k Laufende Überschüsse B k Freie Reserve F k Eigenkapital Performance- und Risiko-Kennzahlen: ( ) E[Q k ], Var[Q k ], P min Q j < 0,... j k Q k

7 Deterministische Modellkomponenten: Kapitalallokation: konstante Zielaktienquote, buy-and-hold-strategie Aktionärsbeteiligung: 90/10 - Regel Bonusdeklaration: (Grosen, Jorgensen, 2000) z k = max { z, ω ( z Garantiezins, γ Ziel-Reserverate, )} F k 1 γ D k 1 + B k 1 ω [0, 1] Beteiligungsrate Storno: Storno-Tafeln basierend auf Erfahrungswerten Biometrie: Sterblichkeitstafeln Neugeschäft: nicht betrachtet

8 Stochastisches Kapitalmarktmodell: Zinssatz für kurzfristige Anleihen r t und Aktienkurs s t zur Zeit t kontinuierlich modelliert durch Korrelierung eines CIR-Zinsmodells mit geometrischer Brownscher Bewegung ( drt ds t ) = ( ) κ(θ rt ) dt+ µ s t ( σr rt 0 ρ σ s s t 1 ρ2 σ s s t ) ( dw r t dw s t Euler-Maruyama Diskretisierung diskrete Zinssätze r k und Aktienkurse s k zur Zeit t k r k = r k 1 + κ(θ r k 1 )dt + σ r rk 1 tξ r,k s k = s k 1 exp{(µ σ 2 s /2) t + σ s t(ρξr,k + 1 ρ 2 ξ s,k )} )

9 Aktiva-Modell Zinsrate r k = r k 1 + κ `θ r k 1 t + σr q r k 1 t ξ r,k Aktienkurs s k = s k 1 exp n µ σs 2 /2 t + σ s t ρ ξ r,k + p o 1 ρ 2 ξ s,k Bondpreise b k (τ) = A(τ) exp { B(τ) r k } Management-Modell n n Investition in Aktien A k = max min C k 1 + P k P o o τ 1 i=1 n k i b k 1 (τ i), β(c k 1 + P k ), 0 Anzahl neuer Bonds n k = C k 1 + P k P τ 1 i=1 n k i b k 1 (τ i) A k /b k 1 (τ) Portfoliozins p k = (s k /s k 1 1) + P τ 1 i=0 n k i (b k (τ i 1) b k 1 (τ i)) / `C k 1 + P k Kundenzins z k = max z, ω `F k 1 /(D k 1 + B k 1 ) γ Passiva-Modell (für jeden Vertrag i = 1,..., m) Zahl der Verträge δk i = 1 qk i σi k δk 1 i Deckungskapital Dk i = (1 + z) D i k 1 + Pi k q i k T i,g k Laufende Überschüsse Bk i = (1 + z k ) B i k 1 + (z k z) Bilanzprojektion / D i k 1 + Pi k Kapital C k = (1 + p k )(C k 1 + P k ) E k T k S k Deckungskapital D k = (1 + z)(d k 1 + P k ) Ek G T k G SG k /ϑ 1 q i k E i,g k q i k T i,g / k 1 q i k E i,b k Laufende Überschüsse B k = (1 + z k )B k 1 + (z k z)(d k 1 + P k ) E k T k S k Freie Reserve F k = max (1 + αp k )F k 1 + α(p k z k )(D k 1 + B k 1 + P k ) + α(1/θ 1)S k, 0 Eigenkapital Q k = C k M k F k (G. et al 2008)

10 : Berechnung von Performance- und Risikokennzahlen, z.b. E[Q k ], erfordert die Durchführung vieler Simulationsläufe Optimierung von Managementregeln und Produktparametern erfordert viele Berechnungen solcher Kennzahlen hohe Komplexität, man braucht effiziente numerische Methoden Beispiel: Eigenkapital Q k = Q k (x) mit x = (x 1,..., x 2k ) N(0, Id): E[Q k ] = R2k Q k (x) e xt x/2 (2π) k dx = [0,1] d f (x) dx monatliche Beiträge, T = 10 Jahre d = 240-dimensionales Integral

11 Random Walk: W tj = W tj 1 + t x j, x j N(0, 1) Brownsche Brücke: W T = T x 1 W T /2 = 1/2(W 0 + W T ) + T /4 x 2 W T /4 = 1/2(W 0 + W T /2 ) + T /8 x 3. PCA-Konstruktion: W t1. W td = C x 1. x d wobei C = ( λ 1 v 1,..., λ d v d ) die Eigenwerte und -vektoren der Kovarianzmatrix Cov(W ti, W tj ) enthält

12 Numerische Methoden für mehrdimensionale Integrale: N f (x) dx w i f (x i ) [0,1] d Monte Carlo x i zufällig beschr. Varianz ɛ(n) = O ( N 1/2) i=1 quasi-monte Carlo x i Niederdiskrepanz-Folge beschr. Variation ɛ(n) = O ( N 1 (log N) d) Produkt-Ansatz x i Produktgitter s beschr. Ableit. ɛ(n) = O ( N s/d) Dünne Gitter x i spezielles Produktgitter s beschr. gem. Ableitungen ɛ(n)=o ( N s (log N) (d 1)(s+1))

13 Klassische Dünne Gitter: Q (d) k (f ) = ( i1... id ) (f ) i d+k 1 wobei i = i i d und i = Q (1) i Q (1) i 1 Differenzen eindimensionaler Quadraturformeln (Smolyak 1963, Novak, Ritter 1996, G., Griebel 1998)

14 Verallgemeinerte Dünne Gitter: Q (d) k (f ) = i I k ( i1... id ) (f ) mit Indexmengen I k I k+1 Dimensions-adaptive Dünne Gitter (G., Griebel 2003) finden angepasste Indexmengen I k mit Hilfe geeigneter Fehlerschätzer räumlich adaptive Dünne Gitter (Bonk 1994, Bungartz, Dirnstorfer 2003)

15 Klassische Dünne Gitter: verdopple die Zahl der eindimensionalen Punkte zwischen Leveln Zahl der Dünngitter-Punkte: N = O(2 l l d 1 ) Quadraturfehler: O(N s (log N) (d 1)(s+1) ) Glattheits-Voraussetzung: } Wd {f s = u f : x u x u <, u d d i s Dimensions-adaptive Dünne Gitter: können Verhältnis von Aufwand zu Genauigkeit optimieren können wichtige von unwichtigen Dimensionen unterscheiden können eine niedrige effektive Dimension des Problems nutzen

16 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz Übersicht 1 im Versicherungswesen 2 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz 3

17 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz Benchmark-Problem Benchmark-Problem: Beispielprodukt: Erlebensfallversicherung mit Beitragsrückgewähr im Todesfall (Garantiezins z = 3%, Stornofaktor ϑ = 90%) Verträge: Realitätsnaher Testbestand der Zürich Gruppe Deutschland: Verträge auf 500 Modelpoints verdichtet Biometrie: DAV2004R Sterbetafel, laufzeitabhängige Storno-WS Kapitalallokation: Aktienquote β = 10%, Bondlaufzeit τ = 3 Jahre Überschussdeklaration: Beteiligung 25%, Zielreserverate γ = 15% Kapitalmärkte: Parameter für geometrische Brownsche Bewegung und CIR-Modell geschätzt für den deutschen Markt

18 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz Einfluss von Storno (-gebühren): Ruinwahrscheinlichkeiten: PD k = (min j k Q j < 0) p (1) : p (2) : p (3) : p (4) : reiner Sparvertrag Erlebensfallversicherung mit Beitragsrückzahlung im Todesfall wie p (2) + Stornooption wie p (3) + 10% Stornogebühr Storno führt zu einer Reduktion der Ruinwahrscheinlichkeiten

19 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz Sensitivitäten: Diversifikationseffekte und Liquiditätsrisiko: Kombinationen von Zielaktienquote und Reservequote, so dass PD 120 = 5% Optimale Aktienquote: 5% PD 120 in Abhängigkeit von der Laufzeit der Anleihen für verschiedene Reservequoten γ 0 Optimale Laufzeit der Anleihen abhängig von Reservequote

20 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz Kapitalanlagestrategie: Risiko-Ertrags-Profile: erwartetes Eigenkapital vs. Ruin-Ws. Strategie 1 (constant-mix): konstante Zielaktienquote Strategie 2 (CPPI): Aktienquote gekoppelt an Höhe der Reserven

21 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz Numerische Konvergenz Simulation eines Szenarios (32 Perioden): 0.1 Sekunden Anforderung: 5 Stellen Genauigkeit ohne Brown. Brücke / dim-ad. Verf. mit Brown. Brücke / dim-ad. Verf. Konv.rate # Fkt. Zeit Konv.rate # Fkt. Zeit MC Tage Tage QMC Tage Std. DG Std Min.

22 Überblick 1 im Versicherungswesen 2 Benchmark-Problem Numerische Konvergenz 3

23 Zusammenfassung : Patent: zeitdiskrete stochastische Kapitalmärkte deterministische Modellbildung effiziente numerische Simulation Ermittlung von Risikokennzahlen,... Method and device for the valuation of financial derivatives using sparse grids by G. and Griebel (US patent no ) (vgl. Patent zu QMC in Finanzanwendungen, J. Traub et al., Columbia Univ.)

24 Literatur Dünne Gitter: T. Gerstner, M. Griebel: Numerical integration using sparse grids. Numerical Algorithms 18(3-4): , T. Gerstner, M. Griebel: Dimension-adaptive tensor-product quadrature. Computing 71(1):65-87, T. Gerstner, M. Griebel: Sparse grids. In Encyclopedia of Quantitative Finance, J. Wiley & Sons, : T. Gerstner, M. Griebel, M. Holtz, R. Goschnick, M. Haep: A general asset-liability management model for the efficient simulation of portfolios of life insurance policies. Insurance: Mathematics and Economics, 42(2): , T. Gerstner, M. Griebel, M. Holtz: The effective dimension of asset-liability management models in life insurance. In Proc. Third Brazilian Conference on Statistical Modelling in Insurance and Finance, pages , T. Gerstner, M. Griebel, M. Holtz, R. Goschnick and M. Haep: Numerical simulation for asset-liability management in life insurance. In Mathematics Key Technology for the Future, pages Springer, T. Gerstner, M. Griebel, M. Holtz: Efficient deterministic numerical simulation of stochastic asset-liability management models in life insurance. Insurance: Mathematics and Economics, 44(3): , Weitere Informationen: