Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung

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Hajo Haupt
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1 Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung Von Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek und Dr. rer. nat. Dieter Lasser Technische Hochschule Darmstadt Mit zahlreichen Figuren B. G. Teubner Stuttgart 1989

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis 1. Transformation räumlicher Objekte, Projektionen Einleitung Koordinatentransformationen Koordinatentransformationen in der Ebene Koordinatentransformationen im R Projektionen Parallelprojektion Vorgabe der Verzerrungen Vorgabe der Projektionsrichtung Zentralprojektion Stereobilder, Anaglyphen Visibilitätsverfahren Schattierungen, Reflexionen Grundlagen aus Geometrie und Numerik Parameterdarstellungen von Kurven und Flächen Parameterdarstellung von Kurven Parameterdarstellung von Ftächen Spezielle Flächen Umrisslinien glatter Flächen Paralletkurven und Parallelflächen Parallelkurven Parallelflächen Interpolation von Kurven und Flächen Interpolation von Kurven mit Monomen Interpolation von Kurven mit Lagrange-Polynomen Interpolation von Kurven mit Newton-Polynomen Andere Lösungen des Interpolationsproblems für Kurven Hermite-Interpolation Rationale Interpolation Interpolation von Flächen Fehlerabschätzung für die Approximation von Kurven 61 über Interpolation Beurteilung der verschiedenen Interpolationsmethoden Approximation von Kurven und Flächen Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für Kurven 66 (Ausgleichsverfahren) I IV

3 Inhaltsverzeichnis i VII Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 68 Funktionen des R Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 70 parametrisierte Flächen 2.5 Parameterwahl bei Interpolation und Approximation Allgemeine Splinekurven Idee der Splinefunktion Kegelschnitte als Subsplines Kubische Splinekurven Splines 5. Grades Hermite-Splines Splines in Tension Exponentialsplines Polynomiale Splines in Tension Nichtlineare Splines Gestalt erhaltende Splines Bezier-und B-Spl ine-kurven Bezier-Kurven " Geometrische Eigenschaften der Bezier-Kurven Bezier-Spline-Kurven Kubische Bezier-Splines Rationale Bezier-Kurven Anwendung der Bernstein-Bezier Technik auf finite Elemente B-Spline-Kurven B-Spline-Funktionen B-Spline-Kurven Offene B-Spline-Kurven Geschlossene B-Spline-Kurven De Boor-Algorithmus Einfügen weiterer De Boor-Punkte Eigenschaften der B-Spline-Kurven Rationale B-Spline-Kurven Interpolation und Approximation Schlußbemerkungen 5. Geometrische Splinekurven Tangenten-, krümmungs- und torsionsstetige Kurven GC r -stetige Splinekurven " Geometrische Splinekurven mit Minimierungseigenschaft Tangentenstetige Splinekurven Krümmungsstetige Splinekurven Bezier-Darstellung krümmungsstetiger Splinekurven B-Spline-Bezier-Darstellung krümmungsstetiger 197 Splinekurven

4 VIII Inhaltsverzeichnis Manning's Splinekurven v-splines ß-Splines Wilson-Fowler Splines Torsionsstetige Splinekurven Bezier-Darstellung torsionsstetiger Splinekurven B-Spline-Bezier-Darstellung torsionsstetiger Sptinekurven GC 3 -stetige Splinekurven t-splines Rationale Geometrische Splinekurven Rationale tangenten-, krümmungs-und torsionsstetige 214 Splinekurven Rationale GC r -stetige Splinekurven Spline-Flächen Einleitung Tensor-Produkt-Flächen Bikubische Monomsplines Tensor-Produkt-Bezier-Flächen Ubergangsbedingungen Bezier-Spline-Flächen Tensor-Produkt-B-Spline-Fläche Bezier-Flächen über dreieckigem Parametergebiet Baryzentrische Koordinaten Verallgemeinerte Bernstein-Polynome und 244 Dreiecks-Bezier-Flächen Anschlußbedingungen für Dreiecks-Bezier-Flächen Splines über Dreiecken Allgemeine Parametergebiete Rationale Tensor-Produkt-Flächen Rationale Dreiecksflächen Geometrische Splineflächen GC r -stetige Flächen GC^stetige Flächen GC 2 -stetige Flächen N-Eck und N-segmentige Ecken-Konfiguration N-Eck Konfiguration N-segmentige Eckenkonfiguration B-Sptine-Darstellungen Gordon-Coons-Flächen Gordon-Coons-Flächen über Vierecken C -stetige Pflaster (^-stetige Pflaster Bikubische Pflaster 306

5 Inhaltsverzeichnis IX Gordon-Flächen Gordon-Coons-Flächen über Dreiecken Scattered Data Interpolation und Approximation Shepard Methoden Radiale Basisfunktions-Methoden Hardy's Multiquadrik Duchon's Thin Plate Splines Franke's Thin Plate Splines in Tension FEM-Methoden Triangulierung von Punktmengen Triangulierungsmethoden \ Optimale Triangulierungen Dreiecks-Interpolanten Parameter Interpolant C r -stetiger Hermite Interpolant Clough-Tocher Interpolant Powell-Sabin Interpolant Rationale Interpolanten Transfinite Interpolanten Konstruktion von Ableitungsdaten Gewichtete Mittelwertbildung Lokale Interpolation bzw. Approximation Nielson's Minimum Norm Network Alfeld's Funktional Minimierung Konstruktion von Krümmungsdaten Multistage Methoden Ein Beispiel Affine Invarianz Basistransformationen für Kurven- und Flächendarstellungen Exakte Basistransformation Basistransformationen von Monomen und 342 Bernsteinpolynomen Basistransformation von B-Spline-Segmenten 343 und Bezier-Segmenten 10.2 Approximative Basistransformation Approximative Basistransformation für Kurven Approximative Basistransformation für Flächen Basistransformation für Dreieckspatches Multivariate Darstellungen Bezier Darstellungen Tensor-Produkt-Bezier-Volumina Tetraeder-Bezier-Volumina Pentaeder-Bezier-Volumina 367

6 , Inhaltsverzeichnis Anschlußkonstruktionen Transfinite Methoden Transfinite Würfelsegmente Transfinite Tetraedersegmente Scattered data Methoden Shepard Methoden Radiale Basisfunktions-Methoden FEM-Methode d-dimensionale Triangulierungen Interpolanten Konstruktion von Ableitungsdaten Multistage Methoden Visualisierung multivariater Darstellungen Schneiden von Kurven und Flächen Schnittalgorithmen für Kurven Numerische Methoden Algebraische Methoden Unterteil ungsmethoden Schnittalgorithmen für Flächen Einbettungsmethoden Algebraische Methoden Diskretisierungsmethoden Verfolgungsmethoden Unterteilungsmethoden Glätten von Kurven und Flächen Unerwünschte Kurven- und Flächenbereiche Erkennen unerwünschter Kurven- und Flächenbereiche Beseitigung unerwünschter Kurven- und Flächenbereiche Beseitigung unerwünschter Kurvenbereiche Beseitigung unerwünschter Flächenbereiche Aufdecken fehlerhafter Übergänge bei Splineflachen Literaturverzeichnis Lehrbücher Abhandlungen in Zeitschriften Stichwortverzeichnis 458

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