Mathematische Grundlagen

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1 Mathematische Grundlagen Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 1

2 Affine Räume um Zeichenebene bzw. Raum zu beschreiben, muß vorher ein Koordinatensystem festgelegt werden durch geometrische Fragestellungen werden Koordinatenachsen und -ursprung eingeführt das mathematische Konzept ist der affine Raum Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 2

3 Der affine Raum Eine Menge A n heißt n- dimensionaler affiner Raum, g.d.w. ein n-dimensionaler reeller Vektorraum V n existiert und folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. zu jedem geordnetem Paar (p, q) p, q A n gehört ein Vektor v V n, so dass v = ( pq) 2. zu jedem p A n und jedem v V n existiert ein eindeutiges q A n so dass v = ( pq) 3. ist v = ( pq) und w = ( qr), dann gilt: v + w = ( pr) Elemente von A n heißen Punkte Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 3

4 Koordinatensysteme Eine Menge (o, e 1, e 2,, e n ) bestehend aus einem Punkt o A n und der Basis (e 1, e 2,, e n ) von A n heißt Koordinatensystem für jeden Punkt p A n ist v = ( op) Ortsvektor von p Komponenten von v heißen Koordinaten bzgl. (e 1, e 2,, e n ) d.h. p besitzt die Koordinaten (x 1, x 2,, x n ) g.d.w: ( op) = v = x 1 e 1 + x 2 e x n e n Punkt o heißt Koordinatenursprung Punkte p i mit ( op i ) = e i heißen Einheitspunkte Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 4

5 Affine Unterräume Eine nichtleere Teilmenge B A n heißt r-dimensionaler affiner Unterraum von A n g.d.w ein r- dimensionaler Untervektorraum W von v n existiert und: 1. p, q B w = ( pq) W 2. p B, w W Es gibt ein q B mit ( pq) = w d.h. B ist wieder affiner Raum (n 1) dimensionaler Unterraum von A n heißt Hyperebene Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 5

6 Ist p 0 B gegeben, so besteht B aus der Menge aller Punkte, für die ( p 0 p) W ist sei Basis (d 0..d n ) von W, so gilt für alle Punkte p B: ( p 0 p) = λ 1 d 1 + λ 2 d λ r d r (λ i R) mit ( op 0 ) = v 0 und ( op) = v gilt: v = v 0 + λ 1 d 1 + λ 2 d λ r d r seien p i die Punkte mit ( p o p i ) = d i und ( op i ) = v i, so gilt: d i = v i v o (i = 1 r) daraus folgt: v = v o + λ 1 (v 1 v 0 ) + λ 2 (v 2 v o ) + + λ r (v r v o ) = r (1 λ i )v o + λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r i=1 Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 6

7 wird λ o = 1 r i=1 λ i so folgt: Definition: v = r i=0 λ i v i Eine Teilmenge X eines Vektorraumes V heißt affiner Unterraum von V, falls es ein v V und einen Untervektorraum W gibt, so dass X = v + V = {u V es gibt ein w W mit u = v + w } eindimensionale Unterräume heißen Geraden sind 2 Punkte p o und p 1 gegeben, so gibt es exakt eine Gerade durch beide Punkte. Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 7

8 Ein Punkt P auf der Geraden wird beschrieben durch: ( op) = v = 1 λ i v i = λ o v o + λ 1 v 1 (mit v o = ( op o ) und v 1 = ( op 1 ) i=0 mit λ o = 1 r i=1 λ i folgt: v = (1 λ 1 )v o + λ 1 v 1 Punkte P auf der Strecke P o P 1 werden beschrieben durch: {p ( op) = v = (1 λ)v o + λv 1 } P 0 P P 1 g v o v v 1 0 Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 8

9 Affinkombination Gilt: v = n i=0 λ i v i mit n i=0 λ i = 1 und v i = ( op i ) so ist v eine Affinkombination der Vektoren v i bzw. p eine Affinkombination der Punkte p i pa v 1 λ 1 v 1 λ2 v 2 v v 2 Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 9

10 Affine Abbildung Eine Abbildung zwischen zwei affinen Räumen A 1 und A 2 ist affin, wenn sie Affinkombinationen enthält: Φ : A 1 A 2 ist affin wenn gilt: Φ( n i=0 für jede endliche Folge λ o... λ n R mit λ i p i ) = n n i=0 i=0 λ i Φ(p i ) λ i = 1 affine Abbildung ist eindeutig durch Abbildung der affinen Basis festgelegt Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 10

11 Sind A 1 = w 1 + V 1 und A 2 = w 2 + V 2 affine Unterräume eines Vektorraumes, so lässt sich eine Affine Abbildung Φ : A 1 A 2 schreiben als: Φ(w 1 + v) = Φ(w 1 ) + Ψ(v) d.h.: jede affine Abbildung lässt sich als Zusammensetzung einer linearen Abbildung und einer Translation schreiben deshalb lassen sich affine Abbildungen des 3D-Raumes nicht durch 3x3- Matrizen darstellen Grund: Translation ist nicht linear Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 11

12 Projektive Räume Ist V ein reeller Vektorraum, so ist die Menge aller Geraden durch den Ursprung der reelle projektive Raum P (V ) Dimension des projektiven Raumes P (V ): dimp (V ) = dim(v ) 1 ein projektiver Raum der Dimension 1 bzw. 2 heißt projektive Gerade bzw. projektive Ebene Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 12

13 Homogene Koordinaten Punkte des dreidimensionalen reellen projektiven Raumes P (R 4 ) sind Geraden durch den Ursprung im R 4 wenn v R 4 (Vektor), so definiert v eine Gerade g durch den Ursprung des R 4 mit: g(α) = αv α R abgekürzt mit : g = Rv Projektiver Punkt R + {0} P (R 4 ) v Rv Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 13

14 ist v = (x, y, z, w) 0 R 4, so werden mit [x, y, z, w] = R(x, y, z, w) die homogenen Koordinaten des projektiven Punktes Rv bezeichnet [x, y, z, w] sind homogene Koordinaten eines Punktes im R 4 Die Basis vom P (R 4 ) ist ein 5- Tupel von projektiven Punkten p 0... p 4 wobei jeweils 4 projektive Punkte unabhängig sind, d.h. es gibt linear unabhängige Vektoren v o... v 4 R 4 gibt mit p i = Rv i Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 14

15 Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Räumen Abbildung vom affinen Raum in den projektiven Raum: i : R 3 P (R 4 ) (x, y, z) [x, y, z, 1] Abbildung vom projektiven Raum in den affinen Raum: i : P (R 4 ) R 3 [x, y, z, w] ( x w, x w, z w ) Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 15

16 Projektive Abbildungen eine Abbildung f zwischen projektiven Räumen P (V ) und P (W ) heißt projektiv, wenn es eine injektive lineare Abbildung F : V W gibt, so dass f(rv) = RF (v) für jedes, vom Nullvektor verschiedenes v V gilt projektive Abbildung sind durch ihre Wirkung auf die Basis beschränkt Abbildung lässt sich als 4x4- Matrix schreiben: a 00 a 03 A =... a 30 a 33 Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 16

17 für den Punkt p mit den Koordinaten [x, y, z, w] wird daraus: f(p) = [x, y, z, w]a = [a 00 x + + a 30 w,, a 03 x + + a 33 w] Die Abbildung f ist genau denn affin, wenn alle affinen Punkte auf affine Punkte und alle uneigentlichen Punkte auf uneigentliche Punkte abgebildet werden d.h. eine homogene Matrix für eine affine Abbildung sieht wie folgt aus: a 00 a 01 a 02 0 a A = 10 a 11 a 12 0 a 20 a 21 a 22 0 a 30 a 31 a 32 a 33 Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 17

18 Transformationen 1. Skalierung S x S y S z x y z w = S x x S y y S z z w 2. Translation T x T y T z x y z w = x + T x w y + T y w z + T z w w Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 18

19 3. Rotation um die x-achse cosφ sinφ 0 0 sinφ cosφ x y z w = x cosφy sinφz sinφy + cosφz w x y z z x y Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 19

20 4. Rotation um die y-achse M y = cosφ 0 sinφ sinφ 0 cosφ x y z x y z Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 20

21 5. Rotation um die z-achse M z = cosφ sinφ 0 0 sinφ cosφ y x z Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 21

22 6. Scherung in x-richtung M sx = 1 p q Scherung in y-richtung M sy = p 1 q Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 22

23 Rotation um eine beliebige Achse Rotationswinkel sei durch α gegeben Rotations-Achse sei durch einen Punkt (x 1, y 1, z 1 ) und den Richtungsvektor (A, B, C) T gegeben x = Au + x 1, y = Bu + y 1, z = Cu + z 1 u R y B V C φ θ A W Drehachse x V = B 2 + C 2 W = A 2 + B 2 + C 2 sin φ = B V, cos φ = C V sin θ = A W, cos θ = V W z Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 23

24 1. Translation der Achse in den Koordinatenursprung T = x y z T 1 = x y z Rotation der Achse in die yz-ebene V/W 0 A/W R y = A/V 0 V/W Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 24

25 3. Rotation der Achse auf die z-achse C/V B/V 0 R x = 0 B/V C/V Rotation um z-achse entsprechend Drehwinkel α cos α sin α 0 0 sin α cos α 0 0 R z = Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 25

26 insgesamt erhält man die Transformationsmatrix M durch: M = T 1 R 1 y R 1 x R z R x R y T M transformiert alle Koordinaten so, daß sie bzgl. der z-achse um α gedreht werden können, danach werden die Transformationen rückgängig gemacht. Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 26

27 Eulerwinkel für eine beliebige Rotation existieren 12 verschiedene Möglichkeiten, sie auf Rotationen um x-, y-, z-achse abzubilden (xyx, xyz, yxy,...) Eulerwinkel: drehe zuerst um z-achse, dann um y-achse, schließlich um x-achse (Bezeichnung: xyz) Die Gesamtmatrix hat folgendes Aussehen: R (α, β, γ) = R x (α) R y (β) R z (γ) = cosβ cosγ cosβ sinγ sinβ sinα sinβ cosγ + cosα sinγ cosα cosγ sinα sinβ sinγ sinα cosβ cosα sinβ cosγ sinα sinγ cosα sinβ sinγ sinα cosγ cosα cosβ Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 27

28 Problem: Rückrechnung ist nicht eindeutig: β 1 = arcsin r 13 β 2 = π + arcsin r 13 cosα = r 33 cosβ cosγ = r 11 cosβ sinα = r 23 cosβ sinγ = r 12 cosβ Problem: cosβ = 0 α und β ununterscheidbar Ausweg: γ = 0 cosα = r 22 = r 31 sinα = r 21 = r 32 Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 28

29 Sichtbarkeitstransformation im 3D bilden 3D-Szenen auf Bildschirm ab Projektion auf Bildschirmebene Clipping später: hidden surface elimination Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 29

30 GKS-Modell 3D-Weltkoordinaten Clipping gegen Sichtkörper Geclippte Weltkoordinaten Projektion auf die Proj.-Ebene Transformation in Viewport-Koordinaten 2D-Device-Koordinaten generelles Modell, relativ rechenaufwendig andere Modelle je nach Anforderung (Hardware-Shading) Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 30

31 Der Sichtkörper (View Volume) Sichtkörper: Teil des Raumes (der Welt), der auf die Rißebene (d.h. das Fenster) zu projizieren ist. Zentralprojektion: Sichtkörper ist Pyramide (Projektionszentrum als Spitze, Kanten gehen durch die Ecken des Fensters) Rißebene Front Clipping Plane Back Clipping Plane Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 31

32 Planare Projektionen Planare Projektonen Zentralprojektion Ein-Punkt-P. Zwei-Punkt-P. Drei-Punkt-P. Orthogonale P. Grund-,Auf-, Seitenriß Isometrische P. Parallelprojektion Schiefe P. Kabinettp. Kavaliersp. Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 32

33 Parallelprojektion y y z Projektion x x Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 33

34 Zentralprojektion y y z Projektion x x Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 34

35 Ein-Punkt-Projektion y x z Projektionsebene schneidet die Hauptachse Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 35

36 Zwei-Punkt-Projektion Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 36

37 Drei-Punkt-Projektion Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 37

38 Beispiele schiefer Projektionen: Kavaliersprojektion Kabinettprojektion diese Projektionen verzerren visuell, aber man kann gut messen Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 38

39 Berechnung einer Zentralprojektion Projektionsebene sei die xy-ebene (x c, y c, z c ) ist das Projektionszentrum Die Projektionsgerade für Punkt (x 1, y 1, z 1 ) erfüllt: x = x c + (x 1 x c ) u y = y c + (y 1 y c ) u z = z c + (z 1 z c ) u aus z=0 folgt u = z c z 1 z c, also x x 2 = x c z 1 x c c z 1 z c = x cz 1 x 1 z c z 1 z c y y 2 = y c z 1 y c c z 1 z c = y cz 1 y 1 z c z 1 z c Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 39

40 in homogenen Koordinaten ausgedrückt z c 0 x c 0 0 z c y c z c x 1 y 1 z 1 1 = x c z 1 x 1 z c y c z 1 y 1 z c 0 z 1 z c x 2 y Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 40

41 Berechnung einer Parallelprojektion Projektionsebene sei die xy-ebene Projektionsrichtung parallel zur z-achse x 1 y 1 z 1 1 = x 1 y Projektionsrichtung parallel zum Vektor (x p, y p, z p ) T, z p 0 Projektionsgerade für Punkt (x 1, y 1, z 1 ) erfüllt Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 41

42 x = x 1 + x p u y = y 1 + y p u z = z 1 + z p u aus z=0 folgt u = z 1 z p, also: x 2 = x 1 z 1 x p z p y 2 = y 1 z 1 y p z p in homogenen Koordinaten: 1 0 x p z p y p z p x 1 y 1 z 1 1 = x 2 y Oliver Deussen Mathematische Grundlagen 42