3. Hintereinanderausführen von Kongruenzabbildungen. a) Hintereinanderausführen von 2 Achsenspiegelungen

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1 ctun: Beim Verknüpfen von bbildunen screibt der Verfasser(ist mir unbekannt) die erste bbildun links auf. Reimund lbers 3. Hintereinanderausfüren von Konruenzabbildunen Warum liefert das Hintereinanderausfüren von Konruenzabbildunen stets wieder eine Konruenzabbildun? Wodurc lässt sic das Hintereinanderausfüren von 2 csenspieelunen ersetzen? Wodurc lässt sic das Hintereinanderausfüren von 2 Versciebunen ersetzen? Wodurc lässt sic das Hintereinanderausfüren von 2 Dreunen ersetzen? a) Hintereinanderausfüren von 2 csenspieelunen Fall 1: die Spieelacsen scneiden sic P'' P'! P Z ZP = ZP = ZP (P,Z,P ) = 2α

2 Fall 2: die Spieelacsen sind parallel P P' v P'' PP PP = 2v Satz 2.1: Das Hintereinanderausfüren von 2 csenspieelunen S o S lässt sic ersetzen durc eine Dreun D Z,2α, falls sic und in Z unter α scneiden ( dabei ist α der orientierte Winkel zwiscen und ) durc eine Versciebun senkrect zu ; Läne des Versciebunsvektors: doppelter Geradenabstand; Orientierun von nac

3 Umkerun von Satz 2.1: Jede Dreun D Z,α und jede Versciebun V v lässt sic durc das Hintereinanderausfüren von zwei (eeineten) csenspieelunen S o S ersetzen. Dabei müssen die Geraden und bei der Dreun sic im Drezentrum Z unter ½ α scneiden: (,) = ½ α (Orientierun beacten!) bei der Versciebun V v parallel zueinander im bstand ½ v und senkrect zu v lieen. (Orientierun beacten!) Man beacte: Geradenpaare (,) und (j,k) mit (,) = (j,k), die denselben Scnittpunkt Z aben, liefern dieselbe Dreun! Geradenpaare (,) und (j,k) mit j k, die denselben bstand aben, liefern dieselbe Versciebun! Gleice Orientierun ist jeweils Voraussetzun!

4 b) Hintereinanderausfüren von 2 Dreunen Einfacer Fall: emeinsames Drezentrum D Z,α o D Z,β = D Z,α+β interessanter Fall: versciedene Drezentren Z 1 Z 2 Strateie: Ersetze jede Dreun durc zwei eeinete csenspieelunen: und D Z1,α = S 1 o S 1 D Z2,β = S 2 o S 2 eeinet: Wäle die csen so, dass 1 = 2 ( = Z 1 Z 2!!) Dann ist D Z1,α o D Z2,β = S 1 o S 1 o S 2 o S 2 = S 1 o (S 1 o S 2 )o S 2 = S 1 o S 2 Dies ist eine Versciebun, falls 1 2 eine Dreun, falls 1 2 Beispiel: us den Werten Z 1,Z 2,α,β sollten Sie entsceiden können, ob D Z1,α o D Z2,β eine Dreun oder eine Versciebun ist. Wie roß ist f. der Drewinkel? Wo liet das Drezentrum? Gf. ist der Versciebunsvektor anzueben.

5 a) Hintereinanderausfüren von 2 Versciebunen liefert wieder eine Versciebun (Vektoraddition!) c) Hintereinanderausfüren von 3 csenspieelunen (bzw. Hintereinanderausfüren einer csenspieelun und einer Dreun bzw.. Hintereinanderausfüren einer csenspieelun und einer Versciebun) Fall 1: die 3 csen een alle durc 1 Punkt ' f S f o S o S = ( S f o S ) o S = S f o (S o S ) = S f ( 3 csenspieelunen 1 csenspieelun )

6 Fall 2: die drei Spieelacsen sind parallel f (S f os )os ' (S f os )os = S f o(s os ) = S f ( 3 csenspieelunen 1 csenspieelun )

7 Fall 3: die 3 csen een nict alle durc einen emeinsamen Punkt und sind nict parallel Dieser Fall lässt sic stets darstellen durc das Hintereinanderausfüren einer Versciebun und einer csenspieelun; dabei verläuft die Spieelacse parallel zur Versciebunsrictun f (S f o S ) o S = (S f o S ) o S ( ) ' B B ' '' (S f o S ) o S = S f o (S o S ) = S f o (S o S ) ( f ) = (S f o S ) o S

8 Def. Das Hintereinanderausfüren einer Versciebun und einer csenspieelun, wobei die Versciebun parallel zu der Spieelacse verläuft, eißt Scubspieelun Zusammenfassun und Satz 2.2 a) Konruenzabbildunen der Ebene sind enau die bijektiven, eradentreuen, länentreuen bbildunen. b) Durc die bbildun eines Dreiecks liet eine Konruenzabbildun eindeuti fest c) Zwei konruente Dreiecke lassen sic durc maximal 3 csenspieelunen aufeinander abbilden d) csenspieelunen, Dreunen, (Punktspieelunen), Versciebunen und Scubspieelunen sind die einzien Konruenzabbildunen Ber. zu b) Länentreue! Zu c): seien BC und B C konruente Dreiecke. Erste Spieelacse: Mittelsenkrecte von ; BC B*C* Zweite Spieelacse: Mittelsenkrecte von B*B B*C* B C** Dritte Spieelacse: Mittelsenkrecte von C**C B C** B C (warum ist fix?) (warum sind,b fix?) Evtl. entfallen 1,2,3 csenspieelunen (wann?)