Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

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1 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Kenn-Mat.N.: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2003: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2004: eeichbae Punkte eeichte Punkte

2 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 2 Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : e R(s) P(s) und de Die Regelstecke mit de Übetagungsfunktion Ps () sei vom einfachen p, ih Fequenzgang P( jw ) liegt in Fom eines Bode-Diagamms gaphisch vo: P(jω) [db] ω [ad/s] ac(p(j ω)) [ ] a) Als Regle soll zunächst ein Popotionalegle R() s = K (K ist hiebei ein eelle Paamete) eingesetzt weden. Dimensionieen Sie mit Hilfe des Fequenzkennlinienvefahens den Popotionalegle so, dass die Spungantwot des 10 % aufweist. Wie geschlossenen Regelkeises ein pozentuales Übeschwingen von [ ] goß ist die zu ewatende Anstiegszeit t? (Begünden Sie Ihe Antwot.) b) Als Fühungsgöße wid t () 9cos( 7t) = gewählt. Emitteln Sie fü den unte a) gefundenen Regle im eingeschwungenen Zustand den Regelfehle et ( ). c) De Regle wid nun mit Z N 1 + s / ωz Rs () = K 1 + s / ω N mit ωn = mω Z angesetzt ( K, ω und ω sind hiebei eelle Paamete). Dimensionieen Sie mit Hilfe de folgenden abelle (näheungsweise) die Paamete ω Z und ω N so, dass gegenübe a) bei gleichem Übeschwingen die Anstiegszeit t halbiet wid. m : m 1 ϕmax = acsin : m

3 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 3 Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : und de e R(s) P(s) Als Regle soll ein Popotionalegle R( s) = K (K ist hiebei ein eelle Paamete) vewendet weden, die Übetagungsfunktion de Regelstecke lautet: Ps () = ). 2 ( s 1) ( s 4 a) Skizzieen Sie den Fequenzgang P( jw ) de Regelstecke zunächst in Fom eines Bode- Diagamms. Skizzieen Sie anschließend mit Hilfe des Bode-Diagamms die zugehöige Otskuve. Emitteln Sie anhand diese qualitativen Skizze die Anzahl de Schnittpunkte de Otskuve mit de eellen Achse. b) Beechnen Sie die exakten Wete alle emittelten Schnittpunkte de Otskuve mit de eellen Achse. c) Emitteln Sie mit Hilfe des Nquistkiteiums den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K (mit K > 0 ), fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. d) Als Fühungsgöße wid nun die Spungfunktion t ( ) = σ ( t) gewählt. Emitteln Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K (mit K > 0 ), fü den fü die bleibende Regelabweichung gilt: 1 e = lim e( t) <. t 6 e) Beechnen Sie die Fühungsübetagungsfunktion ( s ) und bestimmen Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K (mit < K < ), fü den das Nennepolnom de Fühungsübetagungsfunktion ein Huwitz-Polnom ist. Hinweis: { ω } ac 1 + L( j ) = ( n + 2 n ) π / 2 a Ls () stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da.

4 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u, dem Zustandsvekto x und de Ausgangsgöße : dx = u dt x 2 = x [ 1 1] a) Emitteln Sie ein Regelgesetz de Fom u = h h x+ V = h x+ V [ ] 1 2 so, dass die Eigenwete des geegelten Sstems bei s 1,2 = 2± () () Einheitsspung t = σ t gilt: = lim ( t) = 1. t j2 liegen und fü einen Da de Zustandsvekto x nicht messba ist, wid fü die paktische Realisieung obige Regelung ein Schätzwet x ˆ heangezogen, d.h.: u =- hxˆ + V. Dafü wid ein Zustandsbeobachte de Fom dxˆ ˆ ˆ u ˆ dt = Ax + b + b vewendet. Die Zusammenschaltung von Regelstecke, Zustandsegle und Zustandsbeobachte egibt ein Gesamtsstem de Fom dz = Az + b dt = c z mit x z = ˆ x und A =, wobei duch einen Übetagungsfehle leide einige Elemente de Dnamikmatix A nicht ichtig übemittelt weden konnten. b) Bestimmen Sie die fehlenden Elemente de Dnamikmatix A sowie die Sstemgößen b und c (zahlenmäßig). det. c) Beechnen Sie alle Lösungen de chaakteistischen Gleichung ( se A) = 0 d) Emitteln Sie die Deteminante de Matix 2 3 : Ab A b A b S = b. (Hinweis: Die Beechnung de Deteminante eine ( 4 4) -Matix kann hie umgangen weden!)

5 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Kenn-Mat.N.: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2003: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2004: eeichbae Punkte eeichte Punkte

6 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 2 Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : e R(s) P(s) und de De Fequenzgang P( jw ) de BIBO-stabilen Übetagungsfunktion Ps ( ) liegt in Fom von logaithmischen Fequenzkennlinien vo (siehe Beiblatt). Daaus können z.b. die folgenden (möglicheweise wichtigen) Wete abgelesen weden: { } { } { } P(0) = 6 db ac P( j0) = 0 P( j3) = 6 db ac P( j3) = 120 P( j8) = 20 db ac P( j8) = 180 a) Skizzieen Sie den Velauf de zu Ps ( ) gehöigen Otskuve P( jω ). Als Regle soll ein so genannte Popotionalegle eingesetzt weden, d.h. R( s) = K, wobei K ein eelle Paamete ist. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nquist-Kiteiums den gößtmöglichen Beeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. c) Dimensionieen Sie den Popotionalegle so, dass die Phaseneseve f des Regelkeises 60 betägt. Wie goß ist bei Vewendung des emittelten Regles die bleibende Regelabweichung e = lim( ( t) - ( t)), wenn als Fühungsgöße die Spungfunktion tæ t ( ) = σ ( t) gewählt wid? Hinweise: { ω } ac 1 + L( j ) = ( n + 2 n ) π / 2 a Ls () stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da. 20log( 2) 6

7 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik ω [ad/s] ac{p(jω)} [ ] P(jω) [db]

8 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : G 1 (s) und de G 2 (s) G 3 (s) G 4 (s) K a) Bestimmen Sie die Fühungsübetagungsfunktion ( s ) als Funktion de Übetagungsfunktionen G ( s), G ( s), G ( s), G ( s) und des eellen Paametes K Fü die Übetagungsfunktionen G1( s), G2( s), G3( s), G4( s) soll nun gelten: G1() s =, G2() s =, G3() s =, G4() s = s+ 2 s+ 2 s+ 3 s + 1 b) Emitteln Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. c) Als Fühungsgöße wid die Spungfunktion t ( ) = σ ( t) gewählt. Emitteln Sie den Wet = lim ( t) in Abhängigkeit des Paametes K. Skizzieen Sie den Velauf de t Funktion = f( K) in einem Diagamm.

9 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 5 Aufgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u, dem Zustandsvekto = [ x x ] 1 2 x und de Ausgangsgöße : dx = u dt + = 2 2 x 1 [ 0 1] a) Emitteln Sie ein Regelgesetz de Fom [ ] x = x+ = h x+ u h1 h2 V V so, dass die Eigenwete des geegelten Sstems bei s1 = 2, s2 = 4 liegen und fü einen Einheitsspung t = σ t gilt: () () = lim ( t) = 1. t Da die Zustandsvaiable x 1 nicht messba ist, wid fü die paktische Realisieung obige Regelung ein Schätzwet x ˆ heangezogen, d.h.: u =- hxˆ +V. Dafü wid ein Zustandsbeobachte de Fom dxˆ ˆ ˆ u ˆ dt = Ax + b + b vewendet. Die Zusammenschaltung von Regelstecke, Zustandsegle und Zustandsbeobachte egibt ein Gesamtsstem de Fom dz = Az + b dt = c z mit x z = e. b) Bestimmen Sie die Sstemgößen A, b und c so, dass die Eigenwete de Dnamikmatix des Schätzfehles e= x-xˆ bei s = s = 6 liegen. 1 2 c) Geben Sie die Übetagungsfunktion () s = s () s () z0 = 0 an.

10 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Kenn-Mat.N.: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2003: BONUSPUNKE aus Computeechenübung SS2004: eeichbae Punkte eeichte Punkte

11 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 2 Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : e R(s) P(s) und de Fü die Übetagungsfunktion de Stecke gilt: 1 s Ps () = 1 + s a) Skizzieen Sie in de komplexen Ebene den Velauf de Otskuve P( j ω ). Wo liegen die Schnittpunkte de Otskuve mit de eellen bzw. mit de imaginäen Achse? Als Regle soll ein so genannte Popotionalegle eingesetzt weden, d.h. R() s = K. Dabei kann de eelle Paamete K positive und negative Wete annehmen. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nquist-Kiteiums den gößtmöglichen Beeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. c) Als Fühungsgöße wid nun die Spungfunktion gewählt, d.h. t ( ) = s ( t). Emitteln Sie die bleibende Regelabweichung e = lim[ ( t) - ( t)] in Abhängigkeit des Paametes K. tæ Skizzieen Sie den Velauf de Funktion e = f( K) in einem Diagamm. d) Als Fühungsgöße wid nun t ( ) = sin t gewählt, fü den Regle gilt Rs ( ) = 0.5. Geben Sie den Velauf des Regelfehles et ( ) = ( t) - t ( ) fü seh goße Wete von t an. Hinweise: { ω } ac 1 + L( j ) = ( n + 2 n ) π / 2 a Ls () stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da. tan(26 ) 0.5

12 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 3 Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : e R(s) P(s) und de Fü die Übetagungsfunktion de Stecke gilt: 10 Ps () = ( s + 1) 2 Übepüfen Sie mit welchem de folgenden Regletpen es möglich ist, de Spungantwot des Regelkeises folgende Eigenschaften näheungsweise zu veleihen: ü = 25% t = 1.5 e = 0 fü ( t) = s ( t ) Bestimmen Sie gegebenenfalls die Paamete des gesuchten Regles. a) Popotional-Regle: R( s) = K b) Popotional-Integal-Regle: 1+ s Rs () = K s 1+ s1 c) Lead-Lag-Glied: Rs () = K 1+ s 2 d) Integieglied: Rs () = K s Begünden Sie Ihe Antwoten!

13 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : G 1 (s) G 3 (s) und de G 2 (s) G 4 (s) a) Bestimmen Sie die Fühungsübetagungsfunktion ( s ) als Funktion de Übetagungsfunktionen G ( s ), G ( s), G ( s) und G ( s) Fü obige Übetagungsfunktionen soll nun gelten: 1 s+ K s+ 1 s+ 3 G1( s) =, G2( s) =, G3( s) =, G4( s) = s+ 3 s+ 1 s+ 3 s + 2 Hiebei ist K ein eelle Paamete b) Emitteln Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Aufgabe 4: Gegeben sei folgendes mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u, dem Zustandsvekto = [ x x ] 1 2 x und de Ausgangsgöße : dx = u dt + = 0 1 x 0 [ 1 1] x Zu Schätzung de Zustandsvaiablen wid ein asmptotische Zustandsbeobachte heangezogen. Die Zusammenschaltung von Regelstecke und Zustandsbeobachte egibt ein Gesamtsstem de Fom dz = Az + bu dt = c z mit x z = e. a) Bestimmen Sie die Sstemgößen A, b und c so, dass die Eigenwete de Dnamikmatix des Schätzfehles e= x-xˆ bei s1 = s2 = 2 liegen. b) Geben Sie die Übetagungsfunktion () s = s () us () z0 = 0 an.

14 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Kenn-Mat.N.: Bonuspunkte: eeichbae Punkte eeichte Punkte

15 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 2 Aufgabe1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : und de e R(s) P(s) Fü die Übetagungsfunktion de Stecke gilt: ( ) P s a) Dimensionieen Sie einen PI-Regle = ( ) R s s+ 10 ( s )( = ( 1 + s / ω ) so, dass die Spungantwot des Regelkeises näheungsweise eine Anstiegszeit von 0.15 s und ein pozentuales Übeschwingen von 25 % aufweist. Wie goß ist die zu ewatende e = lim e t? bleibende Regelabweichung ( ) t b) Eweiten Sie den in a) entwofenen Regle so, dass die Übeschwingweite bei gleichbleibende Anstiegszeit nu noch ungefäh 5 % betägt. s 1 ) Hinweis: Fü Lead- bzw. Lag-Gliede mit ωn = mω z gilt: ( ) R s 1 + s / ωz = 1 + s / ω m m 1 ϕmax = acsin m n

16 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 3 Aufgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße : und de e K P(s) ( K ist hiebei ein eelle Paamete) Die Übetagungsfunktion de Stecke lautet: ( ) P s Zusätzlich liegt de Fequenzgang 0.02 ( s+ )( s+ )( s+ ) 2 s ( s+ 0.01)( s+ 2) = P( jw ) de Stecke gaphisch vo: ω a) Emitteln Sie mit Hilfe des Nquist-Kiteiums den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. b) Es wid nun als Fühungsgöße die Spungfunktion t ( ) = σ ( t) gewählt. Bestimmen Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den die bleibende Regelabweichung lim et ( ) = 0 gilt. t Hinweis: ac(1 + L( jω )) = ( na + 2 n) π 2 Ls () stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da.

17 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei das mathematische Modell de Regelstecke mit de Eingangsgöße Ausgangsgöße Es soll nun ein Regelgesetz de Fom dx = x + 0 u dt = x [ 1 2 0] [ ] u = h h h x eingesetzt weden so, dass de Regelkeis ein chaakteistisches Polnom ( ) ( ) besitzt. (α ist hiebei ein eelle Paamete) 3 2 s = s + α + 1 s + αs+ 10 2α u und de a) Bestimmen Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes α so, dass obiges chaakteistische Polnom s eine sinnvolle Wahl dastellt. ( ) b) Fü die folgenden Betachtungen sei nun α = 3. Beechnen Sie fü das entspechende chaakteistische Polnom die Paamete ( h1, h2, h3) des Zustandsegles. c) Nehmen Sie an, dass die Zustandsgößen nicht diekt messba sind. Ist es möglich, fü obiges Sstem einen Beobachte de Fom dxˆ = Axˆ + bu+ bˆ ( ˆ) dt ˆ = cxˆ so zu entwefen, dass die Dnamikmatix des Beobachtefehles e:= x x ˆ dei Eigenwete bei s = besitzt? (Begünden Sie Ihe Antwot) 1,2,3 5

18 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 5 Aufgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u und de Ausgangsgöße dx = u dt x 1 = x [ 1 0] Entwefen Sie einen Zustandsegle mit Integiee (vgl. Skizze) u = hx hε I Stecke ε h I u dx = Ax + bu dt = cx h x so, dass die Eigenwete des geegelten Sstem mit dem Zustandsvekto x z = ε bei s 1,2,3 = 1 liegen.

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