Serie 12: Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie : Eigenwerte und Eigenvektoren Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7 und 9 Dezember Finden Sie für folgende Matrizen alle reellen Eigenwerte und bestimmen Sie dann eine Basis für alle Eigenräume Des Weiteren, bestimmen Sie eine Eigenbasis, falls es eine gibt a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( 4 ) 5 f) ( ) g) h) 3 i) 3 j) k) l) 3 m) 7 4 n) 5 o) 4 3 Wir betrachten die vom Parameter a abhängige Matrix A = 3 a a) Für welche(n) Wert(e) von a ist die Matrix A regulär (dh invertierbar)? b) Bestimmen Sie den Parameter a so, dass ein Eigenwert von A ist und geben Sie dann auch die übrigen Eigenwerte von A an

2 c) Bestimmen Sie a so, dass ( 4 ) T ein Eigenvektor von A ist 3 Betrachten Sie folgendes Modell, das die Interaktion der Population von Füchsen und Hasen rekursiv beschreibt: h (t + ) = 4h (t) f (t) f (t + ) = h (t) + f (t), wobei h die Population der Hasen und f die Population der Füchse darstellt Finden Sie explizite Formeln für h (t) und f (t) für folgende Anfangswerte a) h () = f () = b) h () =, f () = c) h () = 6, f () = 5 4 Die folgende Kaninchenaufgabe geht auf Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, zurück Die Zahlen F n, n N, sind die berühmten Fibonacci-Zahlen Angenommen, neugeborene Kaninchenpaare werden nach einem Monat geschlechtsreif und bringen danach jeden Monat jeweils ein neues Kaninchenpaar zur Welt Anfänglich existiere ein neugeborenes Paar Wieviele Kaninchenpaare F n gibt es nach einer vorgegebenen Anzahl n von Monaten? Befolgen Sie die nachfolgenden Schritte a) Berechnen Sie die Anzahl neugeborener Kaninchenpaare für die ersten paar Monate und finden Sie eine allgemeine Rekursionsformel, dh eine Formel, mit der sich die Zahl F n aus den schon bekannten Zahlen F,, F n berechnen lässt ( ) Fn b) Setzen Sie x n =, n N Dann gilt F n+ x n+ = A x n, n N, ( ) mit einer Matrix A Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix c) Wegen ( ) gilt x n = A n x für alle n N Bestimmen Sie damit die Zahl F n in geschlossener Form, dh finden Sie eine Formel für F n, die die Zahlen F,, F n nicht enthält 5 Bestimmen Sie alle Eigenwerte - reell oder komplex Ermitteln Sie dann eine Basis jedes Eigenraumes und bestimmen Sie falls möglich eine Eigenbasis

3 ( ) 4 5 a) b) c) d) 6 a) Sind die folgenden Matrizen invertierbar? ( ) i 3 i 4 A =, B = + i i 3 + i i 3 + 4i Hinweis: Berechnen Sie die Determinante b) Berechnen Sie die inverse Matrix von ( ) i C = i + i 7 Für Winkel α [, π) seien die Matrizen R α und S α durch ( ) ( ) cos α sin α cos α sin α R α = bzw S sin α cos α α = sin α cos α gegeben Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren der Matrizen R α und S α in Abhängigkeit des Winkels α Hinweis: Zur Bestimmung der Eigenvektoren von S α sind die folgenden Moivreschen Formeln hilfreich: sin α = sin α cos α und cos α = cos α sin α Bemerkung: Die Matrix R α stellt eine Drehung in der Ebene um den Winkel α dar y R α x α x x 3

4 und die Matrix S α stellt eine Spiegelung in der Ebene dar, wobei die Spiegelungsachse mit der x-achse den Winkel α einschliesst y x α x S α x Die Lösungen sind: {( ) ( 4 a) Eigenwerte: λ = 7 und λ = 9; Eigenbasis:, {( ) ( )} b) Eigenwerte: λ =, λ = ; Eigenbasis:, {( ) ( )} 3 c) Eigenwerte: λ = 4, λ = 9; Eigenbasis:, ( d) λ = λ = ; E = E = span e) keine reellwertigen Eigenwerte {( f) λ, = 7± 57 ; Eigenbasis: 3 λ ) ; keine Eigenbasis ) (, 3 λ )} )} {( 3 57 ) ( 3, 7 g) λ =, λ =, λ 3 = 3, Eigenbasis: { e, e, e 3 } h) λ =, λ =, λ 3 = 3, Eigenbasis:,, i) λ = λ =, λ 3 =, Eigenbasis:,, j) λ = λ =, λ 3 = ; E = span, E = span ; keine Eigenbasis )} 4

5 k) λ = λ =, λ 3 = 3; Eigenbasis:,, l) λ = λ = λ 3 = ; E = span ; keine Eigenbasis m) λ =, λ =, λ 3 = ; Eigenbasis:, 3, n) λ =, λ = λ 3 = ; Eigenbasis:, 5, o) λ = ; E = span a) a 4 b) a = 6; λ = 5 und λ 3 = c) a = 4 3 a) h (t) = f (t) = t b) h (t) = 3 t, f (t) = 3 t c) h (t) = 4 t + 3 t ; f (t) = 4 t + 3 t 4 a) F n+ = F n+ + F n, n N ( ) b) λ = g, λ = g, wobei g = + = + 5 mit µ g g R c) F n = gn+ ( g) n+ 5, mit g wie oben {( 5 5 a) λ, = ± i; Eigenbasis: 3 i ) ( 5, 3 + i b) λ = λ =, λ 3 = λ 4 = ; Eigenbasis: c) λ =, λ = i, λ 3 = i; Eigenbasis:, )}, ( ) g bzw µ, µ, + i,, i d) λ, =, λ 3,4 = ; E = span {e, e 3 }, E = span {e } ; keine Eigenbasis 5

6 6 a) det A = 6i, A ist invertierbar; det B =, B nicht invertierbar ( ) i i b) C = 7 R α : S α : i +i doppelter Eigenwert für α =, jeder Vektor v ist Eigenvektor, doppelter Eigenwert für α = π, jeder Vektor v ist Eigenvektor, und sonst ( ) das konjugierte Paar e ±iα komplexer Eigenwerte mit Eigenvektoren µ, µ C\ {} i Für alle α R: λ =, λ = mit µ R\ {} ( ) cos α sin α bzw µ ( ) sin α cos α, µ 6

7 MC-Serie Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von ( )? 3 (a) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 7

8 Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? (a) Jede reelle -Matrix hat zwei voneinander verschiedene Eigenwerte Jede reelle -Matrix hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren Besitzt eine reelle -Matrix nur einen Eigenwert, so sind alle ihre Eigenvektoren kollinear (dh linear abhängig) Besitzt eine reelle -Matrix nur einen Eigenwert, so ist dieser Eigenwert reell 3 Welche der Matrizen 4 5 A =, B = 3 und C = hat als Eigenwert? (a) A B C Keine kann per definitionem kein Eigenwert sein 8

9 4 Welche der folgenden Aussagen ist falsch? (a) Die Eigenwerte einer invertierbaren Diagonalmatrix sind alle Jeder Eigenvektor einer invertierbaren Matrix ist auch ein Eigenvektor der inversen Matrix Jede Matrix mit negativer Determinante hat mindestens einen negativen Eigenwert Jede quadratische Matrix mit reellen Koeffizienten hat reelle Eigenwerte 5 Welche Aussage über eine reelle quadratische Matrix ist falsch? (a) Die komplexen Eigenwerte treten immer als Paare komplex konjugierter Zahlen auf Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind stets reell Eine 4 4 Matrix besitzt mindestens einen reellen Eigenwert Eine 5 5 Matrix besitzt mindestens einen reellen Eigenwert 9

10 3 4 6 Die Matrix ist (a) diagonalisierbar und invertierbar diagonalisierbar aber nicht invertierbar nicht diagonalisierbar aber invertierbar nicht diagonalisierbar und nicht invertierbar 7 Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? (a) Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar Jede diagonalisierbare Matrix ist invertierbar Die Eigenwerte einer invertierbaren Matrix sind alle nicht Null Die Eigenwerte einer diagonalisierbaren Matrix sind alle nicht Null

11 ( ) 4 8 Sei A = Welche der folgenden Aussagen ist korrekt? 5 5 (a) A hat Eigenwerte 3 ± 4i A hat Eigenwerte 3 ± 4i A hat Eigenwerte 4 ± 3i A hat Eigenwerte 4 ± 3i 9 Gegeben sei die Matrix A = ( ) Welche der folgenden Aussagen ist falsch? 3 (a) ( ) ist eine Basis des Eigenraumes E ( ) ist eine Basis des Eigenraumes E ( ) ist eine Eigenbasis für A ( ) ist keine Eigenbasis für A

12 Für welche Matrix ist die Summe der Eigenwerte gleich 6? 3 4 (a) A = B = C = 4 D =

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