Reihen. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a

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1 6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5-d begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge (a k ) auf eimal summiere ka, steht eie solche Summe geauer für die Folge der Partialsumme s = a k,, die ma i gewohter Weise utersuche ka. Übriges ka ma jede Zahlefolge (a ) auch als Partialsummefolge eier Reihe auffasse, ämlich a + (a k a k ). k=2 De es ist s = a + (a k a k ) = a. k=2 Folge ud Reihe sid somit zwei Erscheiugsforme ei ud derselbe Sache. (c)-machobs: 6.

2 2 6 Reihe 6-a Kovergez Eie Zahlereihe oder kurz Reihe ist ei Ausdruck der Form a k = a + a mit reelle oder komplexe Glieder a,a 2,... Die edliche Summe s Õ a k,, heiße die -te Partialsumme dieser Reihe. Defiitio Die Reihe P a k heißt koverget, we die Folge ihrer Partialsumme kovergiert. Ihr Grezwert heißt Wert dieser Reihe, es gilt da a k Õ lim! a k. Kovergiert die Folge der Partialsumme dagege icht, so heißt die Reihe diverget. œ Die Summatio ka atürlich auch bei jedem adere Idex begie, icht ur bei. Kommt es auf de Startidex icht a, schreibt ma die Reihe auch kürzer P k a k. Bemerkug a k, Eigetlich ist zu uterscheide zwische der formale Reihe dere Kovergez och icht fest steht ud die auch divergiere ka, ud der kovergete Reihe a k = lim! a k. Die formale Reihe steht für die Folge ihrer Partialsumme, uabhägig vo dere Kovergez, die kovergete Reihe für dere Grezwert, we er existiert. Dieser Uterschied kommt i der allgemei übliche Notatio für Reihe icht zum Ausdruck. «6.2 (c)-machobs: ~9:08

3 Kovergez 6-a 3.Ò Die Partialsumme der Quadratreihe k 2 = sid mooto steiged, da alle Summade positiv sid. Sie sid auch beschräkt, de k=2 k 2 k=2 k(k ) = k=2 k = k <. Aufgrud des Satzes vo der mootoe Kovergez 5.4 kovergiere die Partialsumme, ud die betrachtete Reihe ist koverget. Übriges wusste bereits Euler, dass k 2 = 2 6. apple/.ò Die geometrische Reihe q k = + q + q k=0 kovergiert für q <. De für die Partialsumme gilt ja 3.3 q k = q+ q, q î. k=0 Mit q +! für q < ud de Grezwertgleichuge 5.7 folgt die Kovergez der Partialsumme, ud wir erhalte k=0 q k =, q <. q Für q ist die Reihe dagege offesichtlich diverget. apple/ Zwei elemetare Kriterie Für Kovergez ud Divergez vo Reihe gibt es zuächst je ei elemetares Kriterium. 2 Cauchykriterium Die Zahlereihe P k a k kovergiert geau da, we es zu jedem ">0 ei N gibt, so dass m a k <", m> N. œ k=+ (c)-machobs: ~9:08 6.3

4 4 6 Reihe hhhhh Wege m a k = s m s, k=+ ist dies das Cauchykriterium 5.22 für die Folge der Partialsumme (s ). iiiii Eie otwedige Voraussetzug ist außerdem das 3 Nullfolgekriterium Ist die Reihe P k a k koverget, so bilde ihre Glieder a k eie Nullfolge. œ hhhhh Kovergiert die Folge der Partialsumme, so folgt für a = s s aus de Grezwertgleichuge 5.8 lim a = lim (s s ) = lim s lim s = 0. iiiii Kovergiere die Glieder a k icht gege 0, so ka die Reihe P k a k also icht kovergiere. Aber atürlich ist das Nullfolgekriterium icht hireiched für die Kovergez eier Reihe, wie das folgede Beispiel zeigt das wäre ja auch zu eifach ud dieses Kapitel überflüssig. 4.Ò Die harmoische Reihe k = ist diverget, de die Partialsumme sid mooto steiged, aber es gilt s 2 s = 2 k=+ k 2 k=+ 2 = 2 = 2. Sie bilde somit keie Cauchyfolge. Da die Partialsumme mooto wachse, kovergiert die harmoische Reihe ueigetlich gege. apple/ Die Grezwertsätze für Folge übertrage sich auf dem Weg über die Partialsumme zu etsprechede Sätze für Reihe. Sid zum Beispiel P k a k ud P k b k kovergete Reihe, so ist auch die Reihe P k ( a k + µb k ) koverget, ud es gilt ( a k + µb k ) = a k + µ b k. k k k Wir führe das icht weiter aus. 6.4 (c)-machobs:

5 Absolute Kovergez 6-b 5 6-b Absolute Kovergez I eier edliche reelle Summe ist es kei Problem, die Reihefolge der Summade beliebig zu äder die Summe ädert sich icht. I eier uedliche Reihe ist dies aber keieswegs immer so. Dazu bedarf es eier stärkere Form der Kovergez. Defiitio Eie Reihe P k a k heißt absolut koverget, we ihre Absolutreihe P k a k kovergiert. Eie kovergete, aber icht absolut kovergete Reihe heißt bedigt koverget. œ 5 Satz vo der absolute Kovergez Eie Reihe ist absolut koverget geau da, we ihre Absolutreihe beschräkt ist. Jede absolut kovergete Reihe ist auch koverget, ud es gilt die Dreiecksugleichug hhhhh a k a k. œ Die Folge der Partialsumme der Absolutreihe P k a k ist mooto steiged. Aufgrud des Satzes vo der mootoe Kovergez 5.4 kovergiert sie geau da, we sie beschräkt ist. I diesem Fall erfüllt sie auch das Cauchykriterium. Wege m k=+ a k m k=+ a k erfüllt da auch die Reihe P k a k das Cauchykriterium 2, ist also koverget. Für jede edliche Summe gilt außerdem a k a k. Da die rechte Seite mooto mit steigt ud kovergiert, gilt da auch a k a k,. Da die Partialsumme auf der like Seite kovergiere, folgt durch Grezübergag die allgemeie Dreiecksugleichug. iiiii Die Umkehrug des Satzes gilt icht sost wäre der Begriff der absolute Kovergez ja auch uötig. Eie Reihe ka also kovergiere, währed ihre Absolutreihe divergiert. Das klassische Beispiel hierfür ist die alterierede harmoische Reihe, die wir weiter ute betrachte 4. (c)-machobs: 6.5

6 6 6 Reihe Wir beschreibe u geauer, i welchem Si absolut kovergete Reihe i beliebiger Reihefolge aufsummiert werde köe. Eie Umordug eier Reihe P k a k ist gegebe durch eie Bijektio : N! N, die zugehörige umgeordete Reihe ist P k a (k). Es trete also geau dieselbe Summade wie i P k a k auf, ur i aderer Reihefolge. Iteressat ist dies atürlich erst, we uedlich viele Summade umgeordet werde, die Mege { : () î } also icht edlich ist. 6 Umordugssatz Ist die Reihe P k a k absolut koverget, so ist auch jede Umordug dieser Reihe absolut koverget, ud der Wert der Reihe ädert sich icht. œ hhhhh Sei : N! N eie beliebige Bijektio. Da die Reihe P k a k absolut kovergiert, existiert zu jedem ">0 ei N, so dass m a k <", m N. k=+ Da gilt mit = N ud m! auch a k ". k=n+ Die Glieder a,..,a N habe i der umgeordete Reihe P k a (k) maximal de Idex M = max { (),.., (N)}. Für N ud m M gilt da m a k a (k) a k ", () k=n+ de i der Differez hebe sich die Glieder a,..,a N auf, währed jedes weitere Glied sich etweder ebefalls aufhebt oder geau eimal stehe bleibt. Durch Grezübergag! erhalte wir hieraus m a k a (k) ", m M. Da zu jedem "> 0 ei solches M existiert, folgt die Kovergez der umgeordete Reihe gege de Wert der ursprügliche Reihe. Es gilt also a (k) = a k. Bleibt och zu zeige, dass auch die umgeordete Reihe absolut kovergiert. Dazu geügt es zu bemerke, dass () mit demselbe Argumet auch für die 6.6 (c)-machobs:

7 Absolute Kovergez 6-b 7 Beträge gilt, also a k m a (k) ", m M. Also ist P k a (k) beschräkt ud damit koverget. iiiii Dass dieser Satz icht selbstverstädlich ist, demostriert der komplemetäre Satz über bedigt kovergete Reihe. 7 Riemascher Umordugssatz Ist eie reelle Reihe koverget, aber icht absolut koverget, so existiert zu jeder reelle Zahl s eie Umordug dieser Reihe, die gege s kovergiert. œ hhhhh Beweisidee Setze wir a + = max {a, 0}, a = mi {a, 0}, so gilt a = a + a ud somit a k = a + k a k. Die like Seite kovergiert für! ach Voraussetzug. Würde eier der beide Terme auf der reche Seite kovergiere, da auch der adere. Kovergiere aber beide, so kovergiert auch a + k + a k = a k, die Reihe wäre also absolut kovergiert. Da dies icht der Fall ist, gilt also a + =, a =. Sei u s>0 eie beliebige reelle Zahl. Wir setze s 0 = 0 sowie K+ 0 = K 0 = 0 ud defiiere iduktiv s + = s + a + k, a k,, s = s+ K + <k K+ K <k K wobei K + Õ mi K : s + K Õ mi K : s + a + k >s K + <k K o a k <s. K + <k K o, (c)-machobs: 6.7

8 8 6 Reihe Da die hier auftretede Summe für K! divergiere, sid die betrachtete Mege icht leer ud K + ud K wohldefiiert. Aus dieser Kostruktio folgt s <s<s+ für alle mit s + s a + K +, s s a K. Wege K ±!ud a! 0 für!zeigt dies, dass s + ud s gege s kovergiere. iiiii 6-c Kovergezkriterie Das eifachste Kovergezkriterium ergibt sich aus dem Vergleich eier Reihe mit eier kovergete Majorate. Dabei heißt eie reelle Reihe P b Majorate eier Reihe P a, we a b für alle hireiched große gilt. Offesichtlich ist otwedigerweise b 0 für alle diese. 8 Majoratekriterium Besitzt eie Reihe eie kovergete Majorate, so ist sie absolut koverget. œ hhhhh Nach Voraussetzug existiert ei N, so dass m m a b b <. =N =N =N Also ist die Absolutreihe P a beschräkt, ud die Behauptug folgt mit dem Satz vo der absolute Kovergez 5. iiiii Bemerkug Es gibt auch ei Mioratekriterium: Gilt a b 0 für fast alle ud divergiert P b, so divergiert auch P a. «Die Wahl spezieller Majorate führt zu hadliche Kovergezkriterie. Besoders eifach ud praktisch sid das Wurzel- 9 ud das Quotietekriterium 0, die auf der geometrische Reihe als Majorate beruhe. Im Folgede greife wir auf die Defiitio der -te Wurzel vor, die erst i Abschitt 7-b erfolgt. Die Ergebisse dort sid aber uabhägig vo diesem Kapitel, so dass kei Zirkelschluss vorliegt. Im Folgede betrachte wir immer eie Zahlereihe P a. 6.8 (c)-machobs:

9 Kovergezkriterie 6-c 9 9 Wurzelkriterium Kovergiert die Folge ( p a ) ud gilt q a <, lim! so ist die Reihe P a absolut koverget. Gilt dagege q a >, lim! so ist die Reihe diverget. œ hhhhh Im erste Fall existiert ei q mit 0 <q< ud ei N, so dass q a <q, N. Also gilt a q für N, ud die geometrische Reihe P q bildet eie kovergete Majorate zu P a. Im adere Fall ist a für fast alle. Somit bilde die a Nullfolge, ud die Reihe divergiert 3. iiiii.ò a. Für die Reihe r z = + z + 2 r z =0 erhält ma 5.3 q lim! r z = lim p r z.! Somit kovergiert sie absolut für jedes z 2 C mit z < ud jedes r 2 N. b. Für die Reihe r = + 2 r + 3 r +.. gilt dagege 5.3 lim! p r = r lim p =. keie Somit ist das Wurzelkriterium icht awedbar. Tatsächlich kovergiert die Reihe für r> ud divergiert für r 2. apple/ 0 Quotietekriterium Gilt a î 0 für fast alle ud kovergiert die Folge sukzessiver Quotiete ( a + /a ) mit a + lim <,! a so ist die Reihe P a absolut koverget. Gilt dagege a + lim >,! a (c)-machobs: 6.9

10 20 6 Reihe so ist die Reihe diverget. œ hhhhh Im erste Fall gibt es ei q mit 0 <q< ud ei N, so dass a + a q, N. Also ist a + q a für N, ud mit Iduktio folgt a q N a N =cq, c = q N a N. Also ist P cq eie kovergete Majorate. Im adere Fall gibt es ei N, so dass a a.. a N > 0 für N. Somit bilde die a keie Nullfolge, ud die Reihe divergiert. iiiii.ò Die Expoezialreihe z exp(z) Õ = + z + z2! 2! + z3 3! +.. =0 ist für jedes z 2 C absolut koverget. Für z = 0 ist dies trivial, ud für z î 0 gilt a + a = z + ( + )!! z = z! 0,!. + Also kovergiert die Reihe für jedes z absolut. apple/ Sid das Wurzel- ud das Quotietekriterium icht awedbar, weil die etsprechede Ausdrücke gege oder gar icht kovergiere, so hilft oft das Verdichtugskriterium Sei (a ) eie mooto fallede, reelle Nullfolge. Da ud gilt a 0 2 a 2. Das heißt, beide Reihe sid etweder koverget oder diverget. hhhhh Auf Grud der Mootoie der a gilt a i a 2 k = 2 k a 2 k 2 k <i 2 k+ 2 k <i 2 k+ 2 k <i 2 k+ a i 2 k <i 2 k+ a 2 k+ = 2 k a 2 k+ für alle k 0. Summiere wir über k = 0,..,, so erhalte wir k= k a 2 k+ a k k=2 2 k a 2 k. k=0 œ 6.0 (c)-machobs:

11 Kovergezkriterie 6-c 2 Kovergiert die rechts stehede Reihe, so kovergiert auch P k a k. Kovergiert letztere Reihe, so kovergiert auch die like Seite, ud damit auch wieder die rechte Seite. Im Fall der Divergez argumetiert ma ebeso. Somit habe beide Reihe dasselbe Kovergezverhalte. iiiii 2.Ò Die Zetafuktio (r ) = r = + 2 r + 3 r +.. kovergiert für r> ud divergiert für r. De die Summade bilde eie mooto fallede Nullfolge, ud die verdichtete Reihe 2 (2 ) r = 2 r = =0 =0 =0 q, q = 2 r ist eie geometrische Reihe, die für q<, also r> kovergiert ud für q, also r divergiert. apple/ Die bisherige Kovergezkriterie betreffe die absolute Kovergez. Die bedigte Kovergez ist aufgrud des Umordugssatzes subtiler. Daher erwähe wir ur das eifachste Kriterium für sogeate alterierede Reihe. Dies sid reelle Reihe der Form ( ) a = a 0 a + a 2.., =0 wobei a 0 für alle. 3 Leibizkriterium Ist (a ) eie mooto fallede Nullfolge, so kovergiert die alterierede Reihe ( ) a = a 0 a + a 2... œ hhhhh Somit ist =0 Für die Partialsumme dieser Reihe erhalte wir s 2+ s 2 = a 2 a 2+ 0, s 2+2 s 2 = a 2+2 a 2+ 0, s 2+2 s 2+ = a s.. s 2 s 2+ s 2+2 s 2.. s 0,. Reelle Expoete werde i Abschitt?? erklärt. Im Momet geügt es, r 2 Z azuehme. (c)-machobs: 6.

12 22 6 Reihe Die ugerade Partialsumme sid also mooto steiged, die gerade Partialsumme mooto falled, ud beide sid beschräkt. Somit kovergiere (s 2 ) ud (s 2 ). Da 0 s 2 s 2 = a 2 & 0, habe sie auch deselbe Grezwert. Also kovergiert die gesamte Reihe. iiiii 4.Ò Die alterierede harmoische Reihe ( ) + = = kovergiert ach dem Leibizkriterium 3, de / & 0. Ihr Wert ist übriges log 2??. apple/ 6-d Potezreihe Eie sehr wichtige Typ vo Reihe bilde die sogeate Potezreihe. Eie Reihe der Gestalt (z) = a (z 0 a) mit komplexe Koeffiziete a ud a ud eier komplexe Variable z heißt komplexe Potezreihe um de Etwicklugspukt a. Sid Koeffiziete wie auch Variable reell, so spricht ma vo eier reelle Potezreihe. Die Theorie für beide Arte vo Potezreihe ist jedoch exakt dieselbe. Wir betrachte daher vo vorherei de ohehi viel ützlichere komplexe Fall. Bei komplexe Potezreihe stellt sich die Frage der Kovergez der Reihe eigetlich für jedes eizele Argumet z î a. Tatsächlich sid die Verhältisse relativ eifach. 5 Lemma Kovergiert die Potezreihe (z) = a (z 0 a) i eiem Pukt z 0 î a, so kovergiert sie absolut ud gleichmäßig auf jeder abgeschlossee Kreisscheibe D r (a) Õ{z 2 C : z a r}, 0 <r < z 0 a. Das heißt, für jedes ">0 gibt es ei N, so dass a k z a k <" k>n 6.2 (c)-machobs:

13 Potezreihe 6-d 23 Abb Absolute ud gleichmäßige Kovergez auf D r (a) D r (a) a r 0 r z 0 gleichmäßig für alle z 2 D r (a). œ hhhhh Kovergiert im Pukt z 0, so bilde die Koeffiziete vo (z 0 ) eie Nullfolge. Also gilt erst Recht Mit r 0 = z 0 sup a (z 0 a) =M<. 0 a gilt also a M r0, 0. Für jedes z mit z a r <r 0 gilt da r a (z a) a r M = Mq, Für diese z erhalte wir somit a k z a k k>n k>n r 0 Mq = MqN q. q = r r 0 <. Daraus folgt alles. iiiii Dieses Lemma ethält auch folgede Umkehrug. Divergiert die Potezreihe i eiem Pukt z 0, so divergiert sie auch i jedem adere Pukt z mit z a > z 0 a. De kovergierte sie i z, so müsste sie ja aufgrud des Lemmas auch i z 0 kovergiere. Daher besitzt jede Potezreihe eie eideutige Kovergezradius: 6 Kovergezsatz für Potezreihe Zu jeder komplexe Potezreihe (z) = a (z 0 a) existiert eie eideutig bestimmtes R 2 [0, ] derart, dass sie auf jeder Kreisscheibe D r (a) mit 0 <r <Rabsolut ud gleichmäßig kovergiert, (c)-machobs: 6.3

14 24 6 Reihe währed sie i jedem Pukt z mit z der Kovergezradius vo im Pukt a. œ a >R divergiert. Diese Zahl R heißt hhhhh Die Mege K ={z 2 C : (z) ist koverget} ethält midestes de Pukt a, ist also icht leer. Also ist R = sup { z a : z 2 K} 2[0, ]. Für dieses R folge die Behauptuge da mit dem voragehede Lemma. iiiii Damit gilt für eie Potezreihe (i) Im Fall R = 0 divergiert für jedes z î a. (ii) Im Fall R = kovergiert auf gaz C. (iii) Im Fall 0 < R < kovergiert um de Pukt a Folgedes. i jedem Pukt z ierhalb des Kovergezkreises D R (a) ud divergiert i jedem Pukt außerhalb. Über Kovergez oder Divergez i Pukte auf dem R (a) des Kovergezkreises lässt sich jedoch ohe weitere Aahme ichts sage. Für de Kovergezradius eier Potezreihe gilt übriges die 7 Formel vo Hadamard Der Kovergezradius eier komplexe Potezreihe (z) = P 0 a (z R = a) ist lim sup! p a, wobei vereibarugsgemäß /0 = ud / =0. œ Wir beötige diese Formel icht ud überlasse de Beweis als Übug. Viele wichtige aber bei weitem icht alle! Fuktioe der Mathematik werde durch Potezreihe beschriebe. Hier sid drei Beispiele, die allgemeie Theorie der sogeate aalytische Fuktioe folgt später..ò Beispiele a. Die Expoezialfuktio e z wird, wie scho erwäht, durch die Expoezialreihe exp z Õ =0 z! = + z + z2 2! + z3 3! +.. beschriebe. Ihr Kovergezradius ist. ud b. Die komplexe Sius- ud Cosiusfuktioe werde durch si z = ( ) z2+ (2 + )! = z z 3 3! + z5 5!.. 0 cos z = ( ) z2 (2)! = z 2 2! + z4 4! (c)-machobs:

15 Potezreihe 6-d 25 beschriebe. Ihr Kovergezradius ist ebefalls. Wer übriges bei Betrachtug der letzte drei Reihe de Eidruck hat, dass exp, si ud cos irgedwie miteiader zusammehäge, wird sich bald bestätigt fühle. c. Der komplexe Logarithmus ist gegebe durch l( + z) = + z ( ) = z z z3 3.. mit Kovergezradius. Geauer hadelt es sich um de Hauptzweig des komplexe Logarithmus um. apple/ (c)-machobs: 6.5