W. Schäfer/K. Georgi/G. Trippier. Mathematik-Vorkurs

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1 W. Schäfer/K. Georgi/G. Trippier Mathematik-Vorkurs

2 Mathematik- Vorkurs Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger Von Prof. Dr. rer. nat. habil. Wolfgang Schäfer Oberstudienrat Kurt Georgi und Doz. Dr. rer. nat. habil. Gisela Trippier Unter Mitarbeit von Prof. Dr. rer. nat. Christa Dtto (Abschnitt 14) 3., bearbeitete Auflage B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart. Leipzig 1997

3 Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Mathematik-Vorkurs : Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger I von Wolfgang Schäfer, Kurt Georgi und Gisela Trippier. Unter Mitarb. von Christa 0110 (Abschn. 14).- 3., bearb. Aufl. - Stullgart; Leipzig: Teubner, Aufl. u. d. T.: Schäfer, Wolfgang: Mathematik-Vorkurs ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Schäfer, Wolfgang Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997 Druckhaus "Thomas Müntzer" GmbH, Bad Langensalza Umschlaggestaltung : E. Kretschmer, Leipzig

4 Vorwort Das vorliegende Übungs- und Arbeitsbuch dient der Vorbereitung auf die Mathematik-Grundausbildung an Hochschulen im weitesten Sinne. Dabei stehen natur-, ingenieur- und wirtschafts wissenschaftliche Studiengänge im Mittelpunkt. Es wendet sich sowohl an jene Leser, die sich frühzeitig entschlossen haben, ein mathematikintensives Studium zu beginnen, als auch an alle, die schon studieren und nun merken, was ihnen an Mathematikkenntnissen fehlt, und die das Fehlende möglichst schnell nachholen wollen. Das Buch beinhaltet alle wesentlichen Stoffgebiete, die auch in den Mathematikprüfungen zum Abitur und zu anderen Formen der Hochschulreife von Bedeutung sind. Da es in Deutschland kein "Einheitsabitur" gibt, sind die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten im Fach Mathematik - sogar bei Studienanfängern formal gleicher Bildungswege - extrem unterschiedlich und nicht selten zu gering. Die Mathematikausbildung an Hochschulen orientiert sich dann meist an einem "mittleren" Studenten. Die Folge sind außerordentliche Schwierigkeiten bei einem beträchtlichen Teil der Studienanfänger, und das nicht nur im Fach Mathematik, sondern auch in anderen Grundlagenfächern. Oft ist das Scheitern eines Hochschulstudiums auf diese Anfangsschwierigkeiten zurückzuführen, während gute Mathematik-Vorkenntnisse für den Erfolg des Studiums und sogar für den beruflichen Erfolg entscheidend sein können. Die Autoren kennen diese Probleme von beiden Seiten: aus der Sicht der Mathematik Grundausbildung an Hochschulen und aus der Sicht der Vorbereitung auf das Hochschulstudium.Dabei haben sie auch jahrelang mit verschiedenen von ihnen entwickelten Lehrmaterialien Erfahrungen sammeln können. Trotz großer Bemühungen war es aus Papiermangel früher leider nicht möglich, diese erprobten und erfolgreichen Lehrmaterialien zu einem Buch zu verdichten. Das geschieht nun im vereinigten Teubner-Verlag Stuttgart-Leipzig. Den ersten Abschnitten sind nur kurze theoretische Einführungen vorangestellt, den späteren längere. Letzteres gilt vor allem für die Abschnitte 15-21, die dann schon Lehrbuchcharakter tragen. Jeder Abschnitt enthält eine Reihe instruktiver Lehrbeispiele (gelöste Musteraufgaben) und vor allem viele Aufgaben nebst Lösungen zum eigenständigen Üben. Somit kann der Leser überprüfen, ob er die einzelnen Teilgebiete wirklich schon in genügendem Maße beherrscht. Die Frage, welche Abschnitte besonders wichtig sind, vor allem wenn man aus Zeitgründen eine Auswahl treffen muß, ist natürlich schwer zu beantworten. Aber die folgende Regel dürfte der Wahrheit nahekommen: Die Abschnitte 1-4, 6 und 16 sind von fundamentaler Bedeutung, denn oft versteht

5 6 VOIWOrt man die "höhere" Mathematik recht gut, kann aber die gestellten Aufgaben nicht lösen, weil man die elementarsten Umformungen nicht beherrscht. An den Hochschulen werden aber auch Kenntnisse vorausgesetzt, die über die Elementarmathematik hinausgehen. Dringend zu empfehlen sind daher für die lineare Algebra und die analytische Geometrie die Abschnitte 11 und 17 und für die Analysis die Abschnitte 20 und 21, wobei man teilweise auf die Abschnitte 15, 18 und 19 zurückgreifen muß. Die Autoren möchten sich bei der B. G. Teubner Verlags gesellschaft sehr herzlich dafür bedanken, daß dieses schon lange geplante Buch nun erscheinen kann. Ihr besonderer Dank gilt den Herren Dr. P. Spuhler und J. Weiß für ihr persönliches Engagement, ohne das die Herausgabe so schnell nicht möglich gewesen wäre. Herrn H. Rößler danken wir für die Mitarbeit bei der Herstellung der reproduktions fähigen Druckvorlage. Leipzig, Dezember 1992 Wolfgang Schäfer Kurt Georgi Vorwort zur dritten Auflage Dankenswerterweise hat es uns die B. G. Teubner Verlagsgesellschaft ermöglicht, die 3. Auflage des Mathematik-Vorkurses auf der Basis einer neuen Druckvorlage herauszubringen. Damit hat sich nicht nur das Schriftbild verbessert - es konnten neben der Beseitigung von Druckfehlern auch zahlreiche Hinweise berücksichtigt werden, für die wir uns an dieser Stelle herzlich bedanken. Insbesondere wurden die Abschnitte 15, 16, 17 und 21 völlig neu gestaltet. Unser besonderer Dank gilt Herrn Oberstudienrat Rolf Trippler für die sehr zuverlässige Mitarbeit bei der Herstellung der reproduktionsfähigen Druckvorlage. Leipzig, August 1996 Die Autoren

6 Inhalt 1 Elementare Rechenoperationen mit reellen Zahlen Aufbau des Zahlensystems Abgeleitete Rechenregeln Übungsaufgaben 24 2 Potenzen und Wurzeln Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten Potenzen mit reellen Exponenten Zusammenfassung Übungsaufgaben 39 3 Logarithmen Begriff des Logarithmus Logarithmengesetze Zusammenfassung Übungsaufgaben 46 4 Goniometrie Elementargeometrie Die Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck Die Winkelfunktionen am Einheitskreis Sinus- und Kosinussatz Trigonometrische Formeln Übungsaufgaben 66 5 Komplexe Zahlen Summe und Differenz Produkt Quotient Übungsaufgaben 75 6 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Übungsaufgaben 84 7 Einige Grundbegriffe der mathematischen Logik Aussage, Wahrheitswert, Aussageform Verknüpfung von Aussagen (Aussagenfunktionen) Beziehungen zwischen den Aussagenfunktionen Existenz- und Universalaussagen Notwendige und hinreichende Bedingung Übungsaufgaben 99

7 8 Inhalt 8 Beweismethoden Der direkte Beweis Der indirekte Beweis Beweis durch vollständige Induktion Übungsaufgaben Grundbegriffe der Mengenlehre Der Begriff der Menge Relationen zwischen Mengen Operationen mit Mengen Abbildungen Übungsaufgaben Kombinatorik - Binomischer Satz Die Fakultät Binomialkoeffizienten Der binomische Satz Kombinatorik Übungsaufgaben Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten Beliebig viele Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten Homogene Gleichungssysteme Übungsaufgaben Algebraische Gleichungen Nichtlineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Gleichungen dritten Grades Wurzelgleichungen Übungsaufgaben Transzendente Gleichungen Logarithmische Gleichungen Exponentialgleichungen Goniometrische Gleichungen Übungsaufgaben Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Übungsaufgaben 230

8 Inhalt 9 15 Funktionen Funktionsbegriff und Darstellung von Funktionen Eigenschaften von Funktionen Elementare Funktionen Mittelbare Funktionen Übungsaufgaben Analytische Geometrie der Ebene Die Gerade Der Kreis Die Ellipse Die Hyperbel Die Parabel Zusammenfassung Übungsaufgaben Vektorrechnung und ihre Anwendung in der Geometrie Definition des Vektors Darstellung im kartesischen Koordinatensystem Das skalare Produkt zweier Vektoren Das vektorielle Produkt zweier Vektoren Das Spatprodukt Anwendung von Vektoren in der analytischen Geometrie Übungsaufgaben Zahlenfolgen Einführung Begriff der Zahlenfolge Grenzwerte von Zahlenfolgen Berechnung von Grenzwerten Übungs aufgaben Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Grundlegende Begriffe Sätze über Grenzwerte und Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Die Stetigkeit der elementaren Funktionen Übungsaufgaben 325

9 10 Inhalt 20 Differentialrechnung Differentialquotient und Ableitung Differentiationsregeln Die Ableitung der elementaren Funktionen Extremwerte und Wendepunkte Optimierungsprobleme Übungsaufgaben Integralrechnung Bestimmtes und unbestimmtes Integral Grundintegrale Integrationsregeln Anwendungen der Integralrechnung Übungsaufgaben 385 Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben 390 Sachverzeichnis 440