Trigonometrische Funktionen

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1 Trigonometrische Funktionen Kurvendiskussion ohne Verwendung der Differenzialrechnung Trainingsaufgaben Geeignet für die Klassenstufen 9 und 0. Die gezeigten Methoden werden zum Abitur vorausgesetzt! Datei 650 Stand: 5. Januar 04 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben Hinweise In diesen Aufgaben werden Sinus- und Kosinuskurven dahingehend untersucht dass man analysiert durch welche Abbildungen sie aus den Kurven y = sin x bzw. y = cos x hervor gehen. Dies wird in zwei Texten ausführlich erklärt. Im Text 00 wird gezeigt dass es zu Verschiebungen Spiegelungen und Streckungen so genannte Abbildungsgleichungen gibt. Mit ihrer Hilfe kann man die Gleichung einer abgebildeten Kurve berechnen. Damit versteht man dann auch wie man umgekehrt der Kurvengleichung entnehmen kann welche Abbildungen sie in diese Lage gebracht haben. Dasselbe passiert auf etwas andere Art in den ersten Seiten des Textes 640 der sich mit der Untersuchung von trigonometrischen Funktionen befasst. Inhalt Teil : Kurven nicht in x-richtung gestreckt 3 Teil : Kurven in x-richtung gestreckt und nicht verschoben 4 Teil 3: Kurven in x-richtung gestreckt und verschoben 5 Teil 4: Sinus-Kurven beliebig gestreckt und verschoben 6 Teil 5: Kosinus-Kurven beliebig gestreckt und verschoben 8 Teil 6: Kurvengleichungen aufstellen 0 Lösungen -39

3 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 3 Teil : Kurven nicht in x-richtung gestreckt Aufgabe 0 Zeichne die Schaubilder der Kurven y sinx und y cosx in ein gemeinsames Achsenkreuz für mindestens 0 x. (Maßstab für die x-achse: bei 3 cm.) Berechne ihre Schnittpunkte für D R. Aufgabe fxcosx Durch welche Abbildungen entsteht das Schaubild K von f aus y = cos x? Zeichne die Kosinuskurve die gestreckte Kurve und schließlich K im Intervall -p x p. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Aufgabe Zeichne die Kurve y sinx ; mit Längeneinheit 3 3 p. Gib für dieselbe Kurve eine Gleichung mit Kosinus an. im Intervall Welche Nullstellen Hoch Tief- und Wendepunkte hat die Funktion im maximalen Definitionsbereich R? Aufgabe 3 Zeichne das Schaubild der Funktion f(x) = sin(x + p ) + im Intervall [-p ;3p]. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Beschreibe durch welche Abbildungen die Kurve aus y = sin x entsteht. Gib eine Gleichung für diese Kurve an welche die Kosinusfunktion verwendet. Berechne die Nullstellen dieser Funktion für das Intervall [-p ;3p] mit einer geeigneten Gleichung. 4

4 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 4 Teil : Kurven in x-richtung gestreckt und nicht verschoben Aufgabe fx sin x 3 Ermittle die Abbildung mit der das Schaubild K aus f aus y = sin x entstanden ist. Berechne die Periodenlänge und die Lage der Nullstellen Maxima und Minima (aus denen der Sinuskurve). Zeichne das Schaubild für -p x 4p. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Aufgabe x f x 3sin Zeichne das Schaubild für 0 x 4 in ein Achsenkreuz. Beschreibe die Entstehung der Kurvenpunkte aus den Winkeln 30 o 60 o 90 o usw. Berechne die Nullstellen. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Aufgabe 5 Zeichne die Kurve y 4cos x 6 3 Wie groß ist das Periodenintervall? für 0 x 4 mit Längeneinheit cm.

5 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 5 Aufgabe 3 Teil 3: Kurven in x-richtung gestreckt und verschoben Zeichne die Kurve mit der Gleichung y cos x 3 im Bereich -p x p. Gib die Abbildungen an die diese Kurve aus y = cos x entstehen lassen. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Aufgabe 33 x y 4 sin Zeichne diese Kurve im Intervall [ ] 8;8 -. (Längeneinheit cm). Bestimme ihre Periode sowie die Abbildungen welche sie aus y = sin x entstehen lässt.

6 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 6 Teil 4: Sinus-Kurven beliebig gestreckt und verschoben Aufgabe 4 fxsinx Durch welche Streckung mit nachfolgender Verschiebung ist das Schaubild K von f aus y = sin x entstanden? Zeichne alle drei Kurven in ein Achsenkreuz und berechne die Nullstellen von f. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Aufgabe 4 Zeichne die Kurve mit der Gleichung y sin x im Intervall [- p;p ]. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Aufgabe 43 f x sin x 4 Durch welche Streckung mit nachfolgender Verschiebung ist das Schaubild K von f aus y = sin x entstanden. 9 Zeichne alle drei Kurven in ein Achsenkreuz für - p x p. d.h. wird bei 3 cm eingetragen. Berechne die Nullstellen von f. Aufgabe 44 Zeichne das Schaubild der Funktion f mit fx 4 sin x 6 (Maßstab für die x-achse: bei 3 cm.) für ;4 D. Beschreibe durch welche Folge von Abbildungen dieses Schaubild aus der Kurve y = sin x entsteht. Stelle die Gleichung dieser Funktion auch durch die Kosinusfunktion dar. Aufgabe 45 f x =- 3sin +p +. Gegeben ist die Funktion f durch ( ) x ( ) a) Zeichne ihr Schaubild in ein Achsenkreuz für -p x 4p. b) Lies die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte ab. c) Berechne die Nullstellen der Funktion. d) Gib eine weitere Gleichungen für f mit Kosinus an.

7 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 7 Aufgabe 46 Untersuchung der Kurve: y=-5 sin( x-p) - für -p x 3p. Bestimme eine Folge von Abbildungen welche diese Kurve aus y = - sin x entstehen lässt. Zeichne die Kurve. Lies die Extrempunkte ab und berechne die Nullstellen. Gib eine Gleichung der Kurve mit Kosinus an. Aufgabe 4 fx 4sin( x) für 0;6 3 Zeichne das Schaubild und gib die zugrunde liegenden Abbildungen an. Verwende cm als Längeneinheit. Gib die Länge der Periode sowie die Lage der Hoch- und Tiefpunkte an und berechne die Nullstellen von f in D.

8 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 8 Teil 5: Kosinus-Kurven beliebig gestreckt und verschoben Aufgabe 5 f x cos x 5 5 Zeichne das Schaubild für x 4. Berechne die Nullstellen. Aufgabe 5 Untersuchung der Kurve: ( p) y= cos x - + für 0 x 3p 3 6 Bestimme eine Folge von Abbildungen welche dies Kurve aus y = cos x entstehen lässt. Zeichne die Kurve. Lies die Extrempunkte ab und berechne die Nullstellen. Gib eine Gleichung der Kurve mit Sinus an. Aufgabe 53 f x = cos x- p + für -p x p. Gegeben ist die Funktion ( ) 3 ( ) a) Beschreibe welche Abbildung notwendig sind um das Schaubild von f aus y = cos x zu erzeugen. Zeichne die Kurve in ein Achsenkreuz. b) Welche Periode hat die Kurve? Berechne die Nullstellen der Funktion. c) Gib eine Gleichung der Kurve als Sinuskurve an. d) Zeichne ins gleiche Schaubild noch die Kurve mit der Gleichung: y=- sin x + Aufgabe 54 ( ) Gegeben ist die Funktion ( ) ( ) f x = cos x- p + für -p x p 6 Beschreibe welche Abbildung notwendig sind um das Schaubild von f aus y = cos x zu erzeugen. Zeichne die Kurve in ein Achsenkreuz. Welche Periode hat die Kurve? Berechne die Nullstellen der Funktion. Gib eine Gleichung der Kurve als Sinuskurve an!

9 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 9 Aufgabe 53 f x cos x für 0 x p. Zeichne das Schaubild so: Verschiebe zuerst das Achsenkreuz so dass nur noch die gestreckte Kosinuskurve einzuzeichnen ist. Ermittle dazu die Periodenlänge trage ins Hilfsachsenkreuz die wichtigen Kosinus- Kurven-Punkte ein und verbinde diese dann. d.h. wird bei 3 cm eingetragen.

10 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben 0 Aufgabe 6 Teil 6: Kurvengleichungen aufstellen Stelle eine Gleichung für die Funktion f auf deren Schaubild abgebildet ist: Aufgabe 6 Welche Gleichungen haben die folgenden beiden Kurven? Gib die Gleichung von a) mit sin und die von b) mit cos an. Findest du noch andere Lösungen? (a) (b)

11 650 Trigo. Funktionen Sammlung von Trainingsaufgaben Aufgabe 63 Gib je Kurve eine Gleichung mit Sinus und eine mit Kosinus an. Bestimme dazu zuerst die Periode usw. a b

12 650 Trigo. Funktionen Lösungen der Trainingsaufgaben

13 650 Trigo. Funktionen Lösungen der Trainingsaufgaben 3 Lösung 0 Zeichne die Schaubilder der Kurven y sinx und y cosx in ein gemeinsames Achsenkreuz für mindestens 0 x. (x-achse: bei 3 cm.) Berechne ihre Schnittpunkte für D R. Berechnung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: sinx cosx mit D R!! sin x sin x I quadrieren 4 sin x 8 sin x 4 sin x 5sin x8sinx sin x Aus sin x = folgt x. Aus sin x = 06 folgt x und x3 x 498. LS sin Probe für x : RS cos 0 Wahre Aussage. Probe für x : LS sin RS cos Falsche Aussage. Probe für x 3 : LS sin RS cos Wahre Aussage. (Die Probe musste gemacht werden weil die Gleichung quadriert worden ist) y-koordinaten: y sin und y sin 498 Ergebnis: S z½ S 498 z ½ für z Z.

14 650 Trigo. Funktionen Lösungen der Trainingsaufgaben 4 Lösung fx cosx Durch welche Abbildungen entsteht das Schaubild K von f aus y = cos x? Zeichne die Kosinuskurve die gestreckte Kurve und schließlich K. y cos x y cosx y cos x cosx!! Streckung Verschiebung mit k in um in yrichtung xrichtung Der dicke gestrichelte rote Pfeil zeigt die Verschiebung an. Beobachtung: Spiegelt man die schwarze Kurve y cosx an der x-achse entsteht dasselbe Endergebnis als wenn man diese Kurve um die Strecke nach rechts (oder links) verschiebt.

15 650 Trigo. Funktionen Lösungen der Trainingsaufgaben 5 Lösung 3 mit Längeneinheit p 3 Gib für dieselbe Kurve eine Gleichung mit Kosinus an. Zeichne die Kurve y sinx im Intervall ;. Welche Nullstellen Hoch Tief- und Wendepunkte hat die Funktion im maximalen Definitionsbereich R? Die Kurve y = sin x wurde um nach links 3 und um nach unten verschoben (Pfeil!). 3 v. Eine Streckung liegt nicht vor. Darstellung als Kosinuskurve: Wir denken uns den Hochpunkt H0 ( ) durch den kleinen Pfeil verschoben ergibt eine Verschiebung um p nach links und um 6 diese Kurve als Kosinuskurve z. B. diese Gleichung: y cos x 6 z Z Nullstellen: x N z 4z und x z z N 6 6 Hochpunkte: H z½ 6 Tiefpunkte: T 5 z½ 3 6 Wendepunkte: W z½ 3 nach unten. Daher hätte z Z Hinweis: Wer die Kurve als Sinuskurve dargestellt hat könnte diese Gleichung gefunden haben: y sin x 3 Oder diese: y sinx 3