Proseminar: Kosmologie und Astroteilchen Wintersemester 2011/12 Tobias Behrendt. Kosmologisches Standardmodell

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1 Proseminar: Kosmologie und Astroteilchen Wintersemester 2011/12 Tobias Behrendt Kosmologisches Standardmodell

2 Übersicht Einführung und kosmologisches Prinzip ART und Metriken Robertson-Walker-Metrik und Folgerungen Friedmann-Gleichungen und Folgerungen

3 Kosmologisches Prinzip Isotropie Homogenität gültig ist das Prinzip ab Skalen von etwa 100 Mpc Einführung

4 SRT Minkowski-Metrik ART Allgemeine Metrik Keine Krümmung Metrischer Tensor η μν =diag(1,-1,-1,-1) Gekrümmter Raum wegen Gravitation Metrischer Tensor g μν (x) i.a. ortsabhängig Allgemeine und spezielle Relativitätstheorie

5 Extrinsische vs. Intrinsische Beschreibung Extrinsisch: Beschreibung einer gekrümmten Oberfläche, eingebettet in einen höherdimensionalen Raum Intrinsisch: Beschreibung dieser Fläche allein mit darinliegenden Koordinaten Der metrische Tensor g ab verbindet die infinitesimale Längenänderung ds mit den gewählten Koordinaten Gauss'sche Koordinaten

6 In einem gekrümmten Raum mit einem allgemeinen Koordinatensystem x a und einem Metrikwert g ab an einem gegebenen Punkt P können wir immer eine Koordinatentransformation finden, so dass die Metrik an diesem Punkt flach ist. Zeigt, dass die allgemeine Raumzeitmetrik hauptsächlich durch die zweite Ableitung charakterisiert wird. Flatness-Theorem

7 Kosmologisches Prinzip => konstante Krümmung Universum: dreidimensionaler Raum eingebettet in vierdimensionalem Raum Vereinfachung: Betrachtung eine Dimension tiefer Robertson-Walker-Metrik

8 Erdoberfläche: k=-1,0,1 (Krümmung) k = +1 Kugeloberfläche k = -1 Pseudosphäre k = 0 flacher Raum x 1 2 x 2 2 x 3 2 = R2 k Robertson-Walker-Metrik

9 Erweiterung um eine Dimension x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 = R 2 führt zum Längenelement k dl 2 =R 2 dr 2 1 kr r 2 d 2 r 2 sin 2 d 2 2 Einführen der Zeit bringt die Robertson-Walker- Metrik im mitbewegten Koordinatensystem ds 2 =c 2 dt 2 R 2 t dr 2 1 kr 2 r2 d 2 Robertson-Walker-Metrik

10 Auch wenn das Universum unendlich groß ist: Der Teil den wir sehen ist endlich (endl. Lichtgeschwindigkeit) Licht breitet sich auf Geodäten aus: Berücksichtigt man dies in der Metrik ergibt sich ein Ausdruck: d t =R t dr 1 kr 2 ds 2 =0 Integration in den Grenzen von 0 bis r H liefert den Abstand zwischen Sender und Empfänger d H (t) Folgerungen aus der RW-Metrik: Partikelhorizont

11 Beobachtung: Rotverschiebung aller Galaxien außerhalb der lokalen Gruppe Für einen Lichtstrahl ist wieder ds=0 und die cdt RW-Metrik wird zu dr R t = 1 kr 2 Betrachtung zweier Wellenberge einer Lichtquelle die zu den Zeitpunkten t 1 sowie t 1 +Δt 1 emittiert wurden. Empfangen wurden beide zu den Zeitpunkten t 0 sowie t 0 +Δt 0. Integration auf beiden Seiten liefert die Rotverschiebung 0 1 =z 1 Folgerungen aus der RW-Metrik: Rotverschiebung

12 Das Hubble-Gesetz gibt die Proportionalität zwischen Rotverschiebung und Abtand eines Objekts wieder z=h 0 d H 0 kann experimentell bestimmt werden. Um das Hubble-Gesetz herzuleiten, normiert man R(t) auf den heutigen Wert und führt eine Taylorentwicklung durch mit dem Dämpfungsparameter So kommt man dann auf R t R t 0 1 H t t q H t t q 0 = R t 0 R t 0 2 H 0 2 0,5 z H 0 d q H d 2 Folgerungen aus der RW-Metrik: Hubble-Gesetz

13 Das Universum expandiert. Im Umkehrschluss heißt das: Am Anfang muss alles in einem Punkt konzentriert gewesen sein a(0)=0 (Big Bang) Die Einstein-Gleichung R R 2 g = 8 G T c 4 verbindet Geometrie d. Raumzeit mit Masse- Energie-Verteilung Energie-Impuls-Tensor ist der einer idealen Flüssigkeit Friedmann-Gleichungen

14 Setzt man die RW-Metrik zusammen mit dem Tensor einer idealen Flüssigkeit in die Einstein- Gleichung ein ergeben sich die grundlegenden Gleichungen der Kosmologie Erste Friedmann-Gleichung ȧ t 2 a t 2 kc2 G =8 2 R 0 a t 3 Zweite Friedmann-Gleichung ä t G = 4 a t c 2 p 1 3 c2 p und ρ > 0 ==> ä t 0 Friedmann-Gleichungen

15 Linearkombination der beiden Friedmann- Gleichungen führt zum Energieerhaltungssatz d dt c2 a 3 = p da3 dt weitere Relation: Zustandsgleichung p=w c 2 w charakterisiert Materieinhalt d. Universums w=0 (Materie), w=1/3 (Strahlung) Energieerhaltung

16 erste Friedmann-Gleichung: mit kritischer Dichte: Definiere: kc 2 a 2 R = H t 2 c = 8 G k= ȧ R 0 c 1 c Mit t=t 0 und ȧ= H 0 wird obiger Ausdruck für 0 = 0 zu c,0 Damit können wir drei Fälle charakterisieren Ω 0 > 1 k = +1 Geschlossene s Universum Ω 0 = 1 k = 0 Flaches Universum Ω 0 < 1 k = -1 Offenes Universum kc 2 R =H Kritische Dichte

17 Wir führen die Differentiation in der Energieerhaltungsgleichung aus und erhalten c 2 = 3 c 2 p ȧ a Zusammen mit der Zustandsgleichung erhalten wir eine Funktion für die Dichte 3 1 w t = 0 a t Je nach Beschaffenheit des Universums (w) ergibt sich ein anderer Dichteverlauf Zeitverlauf der Dichte

18 Kombination der ersten Friedmann-Gleichung mit der Dichtefunktion von eben führt zu a t = t x t 0 Annahme: ==> ȧ a = x t ȧ 2 a = 8 G w a Damit lässt sich nun das Alter des Universums mit der Hubble-Zeit in Beziehung setzen H 0 = ȧ a t 0 = x t 0 w=0 x=2/3 a=(t/t 0 ) 2/3 t 0 =2/3 t H w=1/3 x=1/2 a=(t/t 0 )1/3 T 0 =1/2 t H Modelluniversum mit k=0

19 Expansion des Universums

20 Caroll, Ostlie An Introduction to Modern Astrophysics Ta-Pei Cheng Relativity, Gravitation and Cosmology Bilder von map.gsfc.nasa.gov/media/ Quellen

21 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!