Keeners Ranking Methode Tabea Born

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1 Keeners Rnking Methode Tbe Born Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz

2 Überblick 1. Einführung Motivtion Idee 2. Keeners Rnking Methode Berechnung des Rnkings Beispiel 3. Ws ht Google mit Keeners Rnking-Methode zu tun? Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 2

3 Teil 1: EINFÜHRUNG Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 3

4 Motivtion Streitigkeiten, welches College Footbll Tem ds Beste ist Umfrgen und verschiedene mthemtische Rnking-Methoden in Zeitungen sorgen für Verwirrung Viele Rnking-Methoden bsieren uf Perron-Frobenius Theorem Rnking von (College Footbll) Tems ls Möglichkeit, Studenten ds Perron-Frobenius Theorem beizubringen Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 4

5 Idee Verwendung von nicht-negtiven Sttistiken zur Erstellung des Rtings Verknüpfen des Rtings eines Tems mit seiner bsoluten Stärke Absolute Stärke eines Tems bsiert uf seiner reltiven Stärke Annhmen: 1. Die Stärke s eines Tems wird durch Interktionen mit Gegnern und deren Stärke ermittelt 2. Ds Rting r jedes Tems ist proportionl zu seiner Stärke, d.h. für ein Tem i gilt: s i = λr i Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 5

6 Teil 2: KEENERS RANKING METHODE Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 6

7 Schritt 1: Auswhl des Stärke-Attributs ij ij = Wert der Sttistik, die bei einem Wettkmpf von Tem i gegen Tem j erzeugt wurde Beispiele: Anzhl der Spiele, bei dem Tem i gegen Tem j gewonnen ht Anzhl der Körbe / Tore / Punkte die Tem i gegen Tem j gemcht ht Sei ij die Anzhl der Punkte S ij die Tem i gegen Tem j gemcht ht: Rohe Dten nicht sinnvoll Offensive Tems hben besseres Rnking Sij Besser: Totle Anzhl der erreichten Punkte verwenden ij Sij Sji Noch besser: Lplce sche Regel nwenden ij S ij Sij 1 Sji Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 7

8 Schritt 1: Beispiel Fußbll-WM 2014: Gruppe G Deutschlnd, Ghn, Portugl, USA Sttistiken us den WMen 2006, 2010 & 2014 herngezogen ij = Anzhl der Tore ller Spiele des Tems i gegen ds Tem j ij = S ij Deutschlnd Ghn Portugl USA Deutschlnd Ghn Portugl USA Lnd DE 4 GH 5 PT 3 US 4 Gespielte Spiele (n i ) Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 8

9 Schritt 1: Beispiel (Fortsetzung) Anwenden der Lplce schen Regel: ij S ij Sij 1 Sji 2 ij DE GH PT US DE GH PT US ij DE GH PT US DE 0 4/7 4/5 ½ GH 3/7 0 ½ 6/11 PT 1/5 ½ 0 ½ US ½ 5/11 ½ Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 9

10 Schritt 2: Anpssen der Werte Kompensieren der Weil wir es können -Sitution Nichtlinere skewing-funktion: h( x) 1 sgn( x ) x 1 Mäßigender Effekt uf strke Differenzen im oberen und unteren Bereich Künstliche Seprierung von Werten, die nhe n ½ liegen Möglichkeit, ds System für bestimmte Wettkämpfe nzupssen Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 10

11 Schritt 2: Beispiel Skewing in diesem Fll nicht notwendig! Alle Mnnschften etw gleich strk Tems wren lle bei jeder WM dbei Tems hben meistens wenigstens ds Achtelfinle erreicht WM-Siege us vorherigen Jhrzehnten nicht ussgekräftig Komplett ndere Mnnschft / nderer Triner Evtl. Veränderung des Spielverhltens? Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 11

12 Schritt 3: Normlisieren der Werte ij n ij i Nicht jedes Tem ht dieselbe Anzhl n Spielen gespielt Tems die mehrere Spiele gespielt hben, können mehr Punkte mchen Messung der Stärke wird beeinflusst ABER: Skewing ht einen normlisierenden Effekt. Wenn Skewing ngewendet wird und es keine großen Unterschiede in der Anzhl von gespielten Spielen gibt, ist ds Normlisieren nicht nötig Gefhr der Über-Normlisierung! Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 12

13 Schritt 3: Beispiel D nicht lle Tems dieselbe Anzhl n Spielen gespielt hben, muss die Tbelle normlisiert werden: ij DE GH PT US DE 0 4/7 4/5 ½ GH 3/7 0 ½ 6/11 PT 1/5 ½ 0 ½ US ½ 5/11 ½ 0 ij DE GH PT US DE 0 1/7 1/5 1/8 GH 3/35 0 1/10 6/55 PT 1/15 1/6 0 1/6 US 1/8 5/44 1/8 0 Lnd DE GH PT US Gespielte Spiele (n i ) Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 13

14 Schritt 4: Rnking berechnen Bsics Orgnistion der berbeiteten Dten in eine Mtrix: A ij m m, wobei m = Anzhl der Tems Dmit können Methoden der Mtrixtheorie verwendet werden Möglichkeit, ein numerisches Rnking zu erstellen Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 14

15 Schritt 4: Rnking berechnen Rting r j (t) = numerisches Rting des Tems j zum Zeitpunkt t Explizite Zeitngbe t knn vernchlässigt werden Dher: r r r 1 2 rm der Rting-Vektor Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 15

16 Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 16 Schritt 4: Rnking berechnen Stärke Keeners erste Annhme wr: Die Stärke s eines Tems wird durch Interktionen mit Gegnern und deren Stärke ermittelt Reltive Stärke: Die reltive Stärke eines Tems i gegen ein Tem j ist definiert durch: Absolute Stärke: Die bsolute Stärke eines Tems i ist definiert durch: Der Stärke-Vektor knn uch so usgedrückt werden: j ij ij r s m j j ij m j ij i r s s 1 1 m s s s s 2 1 Ar rm r r r r r s mm m m m m j j mj j j j j j j

17 Schritt 4: Rnking berechnen Knckpunkt Keeners 2. Annhme wr: Ds Rting r jedes Tems ist proportionl zu seiner Stärke, d.h. für ein Tem i gilt: s i = λr i Also gilt s = λr Auf der vorherigen Folie hben wir gesehen: s = Ar Drus können wir folgende Gleichung schließen: Ar = λr Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 17

18 Schritt 4: Rnking berechnen Knckpunkt Ar = λr Linere Algebr: Proportionlitätsvektor λ = Eigenwert Rting r = Eigenvektor Berechnung des Rnkings = Berechnung des Eigenvektors? 1. Für eine m m - Mtrix gibt es m verschiedene Eigenwerte λ Whl des Eigenwerts beeinflusst ds Rnking 2. Eigenwerte λ können komplexe Zhlen sein Eigenvektoren enthlten komplexe Zhlen unbruchbr 3. Eigenwerte λ können negtive Zhlen sein nicht optiml 4. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren oft schwer Beschränkung der Berechnung uf Näherungswerte bei großen Mtrizen Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 18

19 Schritt 4: Rnking berechnen - Bedingungen Keener vermeidet gennnte Probleme durch drei Bedingungen: 1. Nicht-Negtivität Die verwendeten Sttistiken dürfen keine negtiven Zhlen enthlten A = [ ij ] 0 ist eine nichtnegtive Mtrix 2. Nicht-Reduzierbrkeit Zwei Tems i und j müssen miteinnder verglichen werden können (uch wenn sie nicht gegeneinnder gespielt hben) i k k... k 1 p j ik1 0, k1k 2 0,, kpj 0 2 mit 3. Primitivität Strengere Version der Nicht-Reduzierbrkeit Alle Tems müssen durch dieselbe Anzhl n Spielen miteinnder verbunden sein Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 19

20 Schritt 4: Rnking berechnen Erzwingen von Nicht-Reduzierbrkeit und Primitivität Setze: A A E, wobei E ee T Dbei ist e eine Splte voller 1en und ε > 0 ist genügend klein gewählter Wert Effekt: es wird ein künstliches Spiel zwischen llen Tems erzeugt ε ist so klein gewählt, dss es die relen Spiele nicht beeinflusst Jedes Tem ist jetzt mit jedem nderen Tem direkt verbunden Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 20

21 Schritt 4: Rnking berechnen Perron-Frobenius Theorem Sei A ( ij) eine reelle n n-mtrix mit positiven Einträgen ij 0 und bezeichne 1,, n die Eigenwerte von A, so dss 1 2 n. Dnn gilt: n 2. Der Eigenrum zu 1 ist eindimensionl. 3. Es gibt einen Eigenvektor zu 1, dessen Einträge lle positiv sind Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 21

22 Schritt 4: Rnking berechnen 1. Prüfen, dss A nicht-reduzierbr ist 2. Eigenwerte und den Eigenvektor zum größten Eigenwert berechnen 1. Mit Hilfe einer Softwre In diesem Fll muss der Eigenvektor ngepsst werden: r m x i1 xi 2. Mit Hilfe der Potenzfunktion: r lim k m A i1 k A x k 0 x Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 22

23 Schritt 4: Beispiel Mtrix A us den Spieldten herleiten: ij DE GH PT US DE 0 1/7 1/5 1/8 GH 3/35 0 1/10 6/55 PT 1/15 1/6 0 1/6 US 1/8 5/44 1/8 0 Eigenwerte λ der Mtrix A berechnen: 3 0, A , , i 2 0, , i 4 0, Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 23

24 Schritt 4: Beispiel (Fortsetzung) Berechnen des Eigenvektors ν für den Eigenwert λ 4 λ i : λ 4 = 0, ,5859 0,4094 v 0,5023 0,4867 Rting-Vektor ermitteln: 0,5859 0,4094 r 0,5023 0, i1 vi 0,2953 0,2063 0,2531 0, Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 24

25 Beispiel - Ergebnis Keine Spiele DE US (seit 2002) oder GH PT in einer WM Rnking der Mnnschften nch Keener: Für WM : Nur für WM 2014: Tem Rnking Tem Rnking Deutschlnd 0,2953 Portugl 0,2531 USA 0,2453 Ghn 0,2063 Deutschlnd 0,2886 USA 0,2661 Ghn 0,2403 Portugl 0,2050 Ws bedeutet ds für die Spiele DE US und GH PT? Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 25

26 Ws bedeutet ds für die Spiele DE US und GH PT? Rnkings kein objektives Abbild der Relität: Keine linere Reltion zwischen Rnking und relen Spielen Viele Fktoren werden nicht berücksichtigt (z.b. Heimvorteil, Verletzungen, ) Aufstellung und Tktik der Mnnschft verändert sich Spiele mit Gleichstnd werden in dem Beispiel nicht berücksichtigt Es ist nicht möglich, eine klre Aussge über den Spielusgng zu treffen Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 26

27 Teil 3: WAS HAT GOOGLE MIT KEENERS RANKING-METHODE ZU TUN? Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 27

28 Ws ht Google mit Keeners Rting-Methode zu tun? PgeRnk-Algorithmus Erstellt ein Rnking über Wichtigkeit von Webseiten Genuer: Die Wichtigkeit einer Seite hängt von der Wichtigkeit der Seiten b, die Links zu dieser Seite hben Logik ähnlich der von Keeners Rting-Methode Es wird eine Hyperlink-Mtrix definiert Dnch wird der Eigenwert bzw. der Eigenvektor zu Berechnung des Rnkings ermittelt Perron-Frobenius Theorem hilft dbei, ein positives Rnking zu erhlten Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 28

29 VIELEN DANK FÜR EURE AUFMERKSAMKEIT Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 29

30 Quellen Litertur: Who's #1? - The Science of Rting nd Rnking, Kpitel 4 The Perron-Frobenius theorem nd the rnking of footbll tems, Jmes Keener PgeRnk-Methode: Mthemtik für Informtiker, Springer Verlg Bilder: Keener: Google: Footbll Tem: WM-Pokl: Fchbereich Informtik Knowledge Engineering Group Prof. Fürnkrnz 30

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