6. Das klassische Komponentenmodell. 6. Das klassische Komponentenmodell. 6. Das klassische Komponentenmodell. 6. Das klassische Komponentenmodell

Transkript

1 6. Das klassische Komponentenmodell Gegeben sei eine ZR x t für die Zeitpunkte t = 1,..., T. Im additiven klassischen Komponentenmodell wird sie folgendermaßen zerlegt: x t = ˆm t + ŝ t + ε t ˆm t ist die Trendkomponente für die langfristige systematische Änderung des Niveaus. ŝ t ist die Saisonkomponente. Man nimmt hier eine Periodenlänge p an, z.b. p = 12 bei Monatsdaten. Weiters gilt, dass sich die einzelnen Saisonkomponenten über die Jahre nicht verändern: ŝ t+p = ŝ t 6. Das klassische Komponentenmodell und dass die Summe über alle Saisonkomponenten 0 ist: p ŝ k = 0. k=1 In den Saisonkomponenten ist daher keine Information über das Niveau der ZR enthalten, sondern nur über die saisonale Schwankung um dieses Niveau. Department für Statistik & Mathematik 6-44 Department für Statistik & Mathematik Das klassische Komponentenmodell ε t ist die Restkomponente (Residuen). Diese ist eine zufällige Störkomponente, die übrig bleibt, wenn man von der ursprünglichen ZR die Trend- und die Saisonkomponente abzieht. Sie entspricht daher der um Trend und Saison bereinigten ZR: ε t = x t ˆm t ŝ t Die Störung ε t ist stationär und nicht autokorreliert. Wir nehmen im folgenden an, dass das Niveau der ZR in der Trendkomponente m t enthalten ist. Der Erwartungswert von ε t ist dann gleich 0, die Varianz ist konstant. D.h. in der Restkomponente sind keine systematischen Einflüsse mehr enthalten. 6. Das klassische Komponentenmodell In den nächsten Abschnitten werden wir Methoden zur Bestimmung der Trend- und die Saisonkomponenten kennen lernen. Die Methode soll so gewählt werden, dass die Restkomponente keine systematischen Einflüsse enthält. Wir werden bei diesen Verfahren die ZR x t, t = 1,..., T glätten. D.h. irregluäre Schwankungen werden weggefiltert. Ziel der Verfahren ist es, Prognosen über das zukünftige Verhalten der ZR zu erstellen. Wir werden in den folgenden Abschnitten die Prognosefähigkeit der Verfahren für verschiedenen Szenarien untersuchen. Department für Statistik & Mathematik 6-46 Department für Statistik & Mathematik 6-47

2 6. Das klassische Komponentenmodell Vorgangsweise bei der Analyse von ZR: 1. Schritt: Zeitreihenplot der Daten 2. Schritt: Welche Muster sind erkennbar? Gibt es Trend, Saison? Sind Ausreißer oder Brüche erkennbar? Sollen die Daten transformiert werden? Welche Methoden können gewählt werden? 3. Schritt: Modellschätzung, Ziel sind stationäre Residuen 4. Schritt: Modellwahl, Modellprüfung und Residuenanalyse Falls 4. nicht zufriedenstellend: 5. Schritt: andere Methode und Vergleich der Methoden 6. Das klassische Komponentenmodell Je nachdem welche Gestalt eine ZR hat, kann das Komponentenmodell vereinfacht werden. Abschnitt 7: Es wird nur das Niveau der ZR modelliert. Abschnitt 9: Es wird nur die Trendkomponente modelliert. Abschnitt 11: Es werden Trend- und Saisonkomponenten modelliert. Department für Statistik & Mathematik 6-48 Department für Statistik & Mathematik Zeitreihen ohne Trend und Saisonalität In diesem Abschnitt wird das Niveau einer ZR modelliert. Wir gehen dabei von einem Modell aus, das die ZR in ein Niveau und eine zufällige Restkomponente aufgeteilt. Wir werden dazu zunächst lineare Filter definieren. In Abschnitt 7.1. werden wir einen Spezialfall eines linearen Filters, die Methode des gleitenden Durchschnitts, kennen lernen und ihre Glättungseigenschaften untersuchen. Das Verfahren des exponentiellen Glättens ist ebenfalls ein spezieller linearer Filter und ist für die Prognose von ZR, die keinen Trend und keine Saisonalität enthalten, geeignet (Abschnitt 7.2.). 7. Zeitreihen ohne Trend und Saisonalität Die Nil-Daten: In Abb. 11 ist ein Zeitreihenplot über den Wasserstand des Nils bei Assuan für die Jahre 1901 bis 1970 gezeichnet. Diese Daten weisen keinen Trend und keine Saisonalität auf. Ein passendes Prognosemodell muss daher das zukünftige Niveau vorhersagen. Daher ist hier ein Modell geeignet, das zufällige Schwankungen um ein Niveau enthält. Department für Statistik & Mathematik 7-50 Department für Statistik & Mathematik 7-51

3 7. Zeitreihen ohne Trend und Saisonalität nil Linearer Filter: Ein linearer Filter transformiert eine ZR (x t ), t = 1,..., T in eine gefilterte ZR (y t ): y t = a q x t+q + a q+1 x t+q a s 1 x t s+1 + a s x t s a q,..., a s sind Konstante. t = s + 1,..., T q Abbildung 11: Die Nil-Daten. Department für Statistik & Mathematik 7-52 Department für Statistik & Mathematik 7-53 Einfacher gleitender Durchschnitt: Er ist ein linearer Filter mit symmetrischem Zeitfenster [t q,..., t + q]: y t = mit den Gewichten q u= q a u x t u, a u = 1 2q + 1 t = q + 1,..., T q u = q,..., q Ein einfaches Beispiel ist der Mittelwert aus allen Zeitpunkten x t (1,..., T ) 5 : T 1 x = T x t t=1 Der einfache gleitende Durchschnitt ist also der Mittelwert über ein bestimmtes Zeitfenster. 5 Für ungerades T Department für Statistik & Mathematik 7-54 Department für Statistik & Mathematik 7-55

4 Einfacher gleitender Durchschnitt der Nil-Daten: In Abb. 12 wird der einfache gleitende Durchschnitt für die Nil- Daten berechnet. Es werden dafür verschieden lange Zeitfenster verwendet. Man sieht deutlich, dass bei q = 5 die Glättung am stärksten ist, während bei q = 1 die Fluktuationen auch in der geglätteten Reihe noch viel stärker erkennbar sind. nil Abbildung 12: Einfacher gleitender Durchschn. für q = 1, 2, 5. Department für Statistik & Mathematik 7-56 Department für Statistik & Mathematik 7-57 Zur Anwendung des einfachen gleitenden Durchschnitts: Das Verfahren schätzt ein lokales Niveau der Zeitreihe indem der Durchschnitt über die Werte in [t q, t + q] gebildet wird. Die Glättung ist umso stärker, je mehr Terme einbezogen werden. Umso kürzer wird dann die gefilterte Reihe. Die Outputreihe hat um 2 q Zeitpunkte weniger als die Inputreihe. Beim einfachen gleitenden Durchschnitt werden schnelle Fluktuationen herausgefiltert, während langfristige lineare Trendänderungen in der geglätteten ZR erhalten bleiben. Der einfache gleitende Durchschnitt ist ein symmetrisches Filterverfahren, bei dem um den Zeitpunkt t ein symmetrisches Zeitfenster [t q, t + q] beim Glätten verwendet wird. Die Outputreihe wird daher an beiden Enden um q Werte kürzer. Beim Verfahren des exponentiellen Glättens handelt es sich um ein rekursives Filterverfahren. Wir erhalten Outputwerte bis zum Endzeitpunkt T und können dieses Verfahren daher für eine Prognose über den Zeitpunkt T hinaus verwenden. Department für Statistik & Mathematik 7-58 Department für Statistik & Mathematik 7-59

5 Beim exponentiellen Glätten wird an die ZR ein lokales Niveau angepasst. Es wird ein konstantes Niveau für zukünftige Zeitpunkte prognostiziert. Das exponentielle Glätten ist daher zur Prognose von ZR geeignet, die keinen langfristigen Trend und keine saisonalen Schwankungen aufweisen. Gegeben sei die ZR (x t ) für die Zeitpunkte t = 1,..., T. Der geglättete Wert der ZR ist eine Einschritt-Vorhersage und wird mit ˆx t (1) bezeichnet. Notation: ˆx t (h) heißt, dass zum Zeitpunkt t eine Vorhersage des Wertes der ZR für h Zeitpunkte in die Zukunft gemacht wird, also für den Zeitpunkt t + h. Department für Statistik & Mathematik 7-60 Department für Statistik & Mathematik 7-61 Die Einschritt-Vorhersage zum Zeitpunkt t (Bez.: ˆx t (1)) ist also jener Wert, der für den Zeitpunkt t + 1 vorhergesagt wird. Er entspricht dem gewichteten Mittel aus der aktuellen Beobachtung x t und aus der Einschritt-Vorhersage für den Zeitpunkt t: ˆx t 1 (1). Rekursion: ˆx t (1) = αx t + (1 α)ˆx t 1 (1), t = 1,..., T. Wir bezeichnen das für den Zeitpunkt t geschätzte, lokale Niveau der ZR mit â t. Dann gilt: ˆx t 1 (1) = â t. â T +1 ist dann das über den Zeithorizont der ZR hinaus geschätzte Niveau, und entspricht der Prognose ˆx T (h), h = 1, 2,.... Mit Startwert ˆx 0 (1) = x 1. Der Glättungsparameter α liegt zwischen 0 und 1. Department für Statistik & Mathematik 7-62 Department für Statistik & Mathematik 7-63

6 Das rekursive Verfahren: Holt Winters filtering Startwert: ˆx 0 (1) = â 1 = x 1 Rekursion: ˆx 1 (1) = â 2 = αx 1 + (1 α)ˆx 0 (1) = x 1 ˆx 2 (1). = â 3 = αx 2 + (1 α)ˆx 1 (1) ˆx T 1 (1) = â T = αx T 1 + (1 α)ˆx T 2 (1) Prognose f. T+1: ˆx T (1) = â T +1 = αx T + (1 α)ˆx T 1 (1) Prognose f. T+h: ˆx T (h) = â T +1 Observed / Fitted Abbildung 13: Exponentielles Glätten der Nil-Daten, α = 0.2. Department für Statistik & Mathematik 7-64 Department für Statistik & Mathematik 7-65 Exponentielles Glätten der Nil-Daten: Wir haben Daten über den Wasserstand des Nils bei Assuan für die Jahre 1901 bis Die Nil-Daten der Jahre wurden mit exponentiellem Glätten modelliert. Die Jahre wurden vorhergesagt. Da hier Daten vorliegen, die keinen systematischen Trend und keine saisonalen Schwankungen aufweisen, liefert dieses Verfahren eine sinnvolle Prognose. Observed / Fitted Holt Winters filtering Abbildung 14: Exponentielles Glätten der Nil-Daten, α = 0.5. Department für Statistik & Mathematik 7-66 Department für Statistik & Mathematik 7-67

7 Wahl des Glättungsparameters α beim exponentiellen Glätten der Nil-Daten: Holt Winters filtering In Abb. 13 wurde α = 0.2 und in Abb. 14 wurde α = 0.5 gewählt. Man sieht, dass die Glättung für den kleineren Wert von α viel stärker ist, denn da werden auch länger zurückliegende Werte stärker berücksichtigt. Observed / Fitted 1.0 e e Abbildung 15: Exponentielles Glätten der Hotel-Daten. Department für Statistik & Mathematik 7-68 Department für Statistik & Mathematik 7-69 Exponentielles Glätten der Hotel-Daten: Wir haben Daten über die Anzahl an Übernachtungen in österreichischen 4/5-Sterne-Hotels pro Jahr für den Zeitraum Die Hotel-Daten in Abb. 15 weisen einen deutlichen Trend auf. Die Jahre wurden zur Prognose der Jahre verwendet. Man sieht deutlich, dass die Prognose eines konstanten Niveaus für Daten mit einem langfristigen Trend unpassend ist. Observed / Fitted 5.0 e e+07 Holt Winters filtering Abbildung 16: Exponentielles Glätten der Nächtigungs-Daten. Department für Statistik & Mathematik 7-70 Department für Statistik & Mathematik 7-71

8 Exponentielles Glätten der Nächtigungs-Daten: Die ZR enthält Tourismusdaten über die Anzahl an Übernachtungen in allen österreichischen Unterbringungsformen pro Monat (Zeitraum Jän Mai 2004). Die Daten in Abb. 16 weisen eine deutliche Saisonalität auf. Die Jahre wurden zur Prognose der Jahre verwendet. Man sieht deutlich, dass die Prognose eines konstanten Niveaus für Daten mit einer Saisonalität unpassend ist. Zur Anwendung des einfachen exponentiellen Glättens: Der Glättungsparameter α liegt zwischen 0 und 1. Die Glättung ist umso stärker, je näher der Glättungsparameter an 0 liegt. In diesem Fall werden auch länger zurückliegende Beobachtungen noch stärker berücksichtigt. Die letzte Beobachtung erhält ein umso größeres Gewicht, je näher der Glättungsparameter an 1 liegt. In diesem Fall spielen Beobachtungen, die schon länger zurück liegen eine geringe Rolle. Department für Statistik & Mathematik 7-72 Department für Statistik & Mathematik 7-73 Der Glättungsparameter α soll so gewählt werden, dass die Fehlerquadratsumme zwischen Einschritt-Vorhersage und wahrem Wert der ZR möglichst klein wird: T 1 SSE(α) = (x t+1 ˆx t (1)) 2 min t=m (m wird hier so groß gewählt, dass der Effekt des Startwertes vernachlässigbar ist.) Oft wird aus α = 0.1, 0.2,..., 0.9 jenes α gewählt, das die kleinste SSE(α) aufweist. Für die Prognose ist wichtig, dass diese nur bei ZR ohne langfristigem Trend und ohne saisonale Schwankungen mit Hilfe des exponentiellen Glättens durchgeführt werden. Der lineare Trend bleibt zwar bei der geglätteten ZR bis zum Zeitpunkt T erhalten. Prognostiziert wird bei diesem Verfahren aber nur ein konstantes Niveau. (Vgl. Abb. 15) Department für Statistik & Mathematik 7-74 Department für Statistik & Mathematik 7-75

9 8. Einfache Filterverfahren in R Um in R die Methoden für das Glätten von ZR ohne Trend und Saisonalität durchzuführen, werden die Funktionen filter und HoltWinters verwendet. Die Erklärung zur Anwendung stehen in ExpGlaetteninR.pdf und können von der LV-Seite heruntergeladen werden. Übungen 2 Lösen Sie die folgenden Beispiele mit Hilfe von R: 1. Folgen Sie der Anleitung in ExpGlaettinR.pdf und rechnen Sie das Beispiel Einfacher gleitender Durchschnitt der Nil-Daten nach. 2. Laden Sie die Quartalsdaten approve.rda in das Arbeitsverzeichnis. Glätten Sie die ZR mit dem einfachen gleitenden Durchschnitt und wählen Sie einmal ein Fenster mit Breite 5 und dann ein Fenster mit Breite Folgen Sie der Anleitung in ExpGlaettinR.pdf und rechnen Sie das Beispiel Exponentielles Glätten der Nil-Daten nach. Department für Statistik & Mathematik 8-76 Department für Statistik & Mathematik 0-77 Übungen 2 4. Laden Sie die Daten approve.rda in das Arbeitsverzeichnis. Gehen Sie wie in Bsp. 3. vor. Die Daten der Jahre sollen verwendet werden, um Werte für 1972 vorherzusagen. (Wir haben hier Quartalsdaten, daher müessen 4 Werte für 1972 vorhergesagt werden.) Beim exponentiellen Glätten soll α = 0.2 gewählt werden. Vergleichen Sie mit einer alternativen Wahl α = 0.4. Wie lautet Ihre Prognose für das 4. Quartal 1972? 5. Lassen Sie für die Daten aus Bsp. 4. den Glättungsparameter von R optimieren. Wie lautet die Prognose jetzt? Wie hat sich die Fehlerquadratsumme verändert? Department für Statistik & Mathematik 0-78