Hilfsblätter Lineare Algebra

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1 Hilfsblätter Lineare Algebra Sebastian Suchanek unter Mithilfe von Klaus Flittner Matthias Staab c 2002 by Sebastian Suchanek Printed with L A TEX

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 1 11 Norm 1 12 Addition, Mulitplikation Addition Multiplikation mit einem Skalar Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt 2 2 Matrizen 2 21 Besondere Matrizen 2 22 Addition, Multiplikation Addition Multiplikation 2 23 Determinaten Matrix Matrix (Regel von Sarrus) n n Matrix 3 24 Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme Gaußsches Eliminationsverfahren Cramersche Regel 4 25 Besondere Eigenschaften von Matrizen und besondere Matrizen-Paare Inverse Transponierte Konjugierte Orthogonale Matrix Symmetrie, Schiefsymmetrie, Zerlegung Dimension Rang 5 26 Eigenwerte 6 27 Eigenvektoren 6 28 Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren 6 29 Hauptachsentransformation 6 3 Lineare Abbildungen 6 31 Linearität 6 32 Bild 7 33 Kern 7 34 Dimension 7 i

3 1 Vektoren 11 Norm Die sog Euklidische Norm entspricht der Länge eines Vektors a R n gemäß a = n i=1 a 2 i bei a C n gilt analog Beispiel, a R 3 : a = n a i a i a = i=1 a a2 2 + a Addition, Mulitplikation 121 Addition Zeilenweise Addition der Komponenten Beispiel ( a, b, R 3 ): a + b = a 1 a 2 + b 1 a 1 + b 1 b 2 = a 2 + b 2 a 3 b 3 a 3 + b Multiplikation mit einem Skalar Multiplikation des Skalars λ R mit jeder Komponenten Beispiel ( a R 3 ): 123 Skalarprodukt λ a = λ a 1 a 2 a 3 = λ a 1 λ a 2 λ a 3 Das Skalarprodukt ist eine eindimensionaler Wert (=Skalar) (a, b R n ): a b ˆ= a, n b = a i b i Beispiel mit a, b R 3 : a, b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 i=0 124 Vektorprodukt Das Vektorprodukt zweier Vektoren a, b R 3 erzeugt einen dritten Vektor c, der senkrecht auf dem Parallelogramm steht, welches von a und b aufgespannt wird Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms Berechnet wird er wie folgt: a b = a 2 a 3 b 2 b 3 e 1 + a 3 a 1 b 3 b 1 e 2 + a 1 a 2 b 1 b 2 e 3 mit e 1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 =

4 125 Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c R 3 entspricht dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats : a, a 1 a 2 a 3 b c = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = a 1(b 2 c 3 c 2 b 3 ) a 2 (b 1 c 3 c 1 b 3 ) + a 3 (b 1 c 2 c 1 b 2 ) 2 Matrizen 21 Besondere Matrizen Eine n n Matrix A folgender Art nennt man Diagonalmatrix: a a a a nn Einen Sonderfall Einheitsmatrix E oder I (falls in C n gearbeitet wird): Durch Multiplikation mit der sog Drehmatrix werden Vektoren a R 2 um den Winkel ϕ gedreht, ohne deren Länge zu ändern: ( cos ϕ ) sin ϕ sin ϕ cos ϕ 22 Addition, Multiplikation 221 Addition Elementweise Addition der Matrizen Beispiel (A, B als 3 3 Matrix): A + B = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + = a 31 a 32 a Multiplikation b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + a 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 Die Multiplikation zweier Matrizen A und B ist nur möglich, wenn sie dem Schema A M (m n), B M (n p) genügen, also die Spaltenanzahl des linken gleich der Zeilenzahl des rechten Faktors ist a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2p AB = a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b np 2

5 a 11 b 11 + a 12 b a 1n b n1 a 11 b 1p + a 12 b 2p + + a 1n b np a 21 b 11 + a 22 b a 2n b n1 a 11 b 1p + a 12 b 2p + + a 1n b np = a m1 b 11 + a m2 b a mn b n1 a m1 b mp + a m2 b mp + + a mn b np dh, die Komponenten werden bei der linken Matrix zeilen- und bei der rechten Matrix spaltenweise miteinander multipliziert und addiert Die Matrizen-Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, dh AB BA 23 Determinaten Folgende Kurzschreibweise ist möglich: det (A) ˆ= A Matrix a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a Matrix (Regel von Sarrus) Addition der drei fallenden und Subtraktion der drei steigenden Diagonalen: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a n n Matrix Rekursive Berechnung durch Entwicklung nach einer beliebigen Zeile oder Spalte Zweckmäßig ist dabei die Wahl einer Spalte, die möglichst viele 0 enthält Die daraus entstehenden Matrizen werden mit der Komponente, nach der Entwickelt wurde, multipliziert und addiert Ist die Summe aus x- und y- Position des Matrix-Elementes, nach dem entwickelt wurde, gerade, so erhält die neue Matrix eine positives Vorzeichen Ist die Summe ungerade, ein negatives Das Enwtickeln nach einem Matrizen-Element geschieht dadurch, daß man von der ursprünglichen Matrix sowohl die komplette Zeile als auch die komplette Spalte, in welcher das Element steht, wegfallen läßt Beispiel (Entwicklung nach der ersten Spalte): = +a 11 a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44 a 21 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 12 a 13 a 14 a 32 a 33 a 34 a 42 a 43 a 44 + a 31 a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 42 a 43 a Lösungsalgorithmen für lineare Gleichungssysteme a 41 a 12 a 13 a 14 a 22 a 23 a 24 a 32 a 33 a 34 Für ein Gleichungssystems des Typs A x = b mit A M n n, vecb, vecx R n gibt es ua folgende Lösungsverfahren: 3

6 241 Gaußsches Eliminationsverfahren Beispiel n = 3: Man notiert das Gleichungsystem in folgender Form: a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 Dieses System wird nun durch Zeilenoperationen (Addition von Vielfachen der Zeilen oder Vertauschen von Zeilen) so umgeformt, daß sich links eine sog Dreiecksmatrix ergibt: c 11 c 12 c 13 x 1 0 c 22 c 23 x c 33 x 3 Hier kann nun direkt abgelesen werden, daß x 3 = c 33 Entsprechend können durch Einsetzen von unten nach oben x 2 und x 3 bestimmt werden 242 Cramersche Regel Falls für die Determinate D = det (A) 0 gilt, kann die Cramersche Regel angewandt werden Dabei gilt für die Lösungen x 1 x n : x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,, x n = D n D wobei D 1 D n die Determinaten der Matrizen sind, die entstehen, wenn jeweils der n-te Spaltenvektor von A durch b ersetzt werden 25 Besondere Eigenschaften von Matrizen und besondere Matrizen- Paare 251 Inverse Die Inverse A 1 zu Matrix A ist diejenige Matrix, die mit A multipliziert die Einheitsmatrix E ergibt Bestimmungsalgorithmus am Beispiel einer 3 3 Matrix: Man notiert neben die Matrix A die Einheitsmatrix: a 11 a 12 a a 21 a 22 a a 31 a 32 a Dieses System wird nun durch Zeilenoperationen (Addition von Vielfachen der Zeilen) so umgeformt, daß sich links eine Einheitsmatrix ergibt: b 11 b 12 b b 21 b 22 b b 31 b 32 b 33 Die so auf der rechten Seite entstandene Matrix B entspricht A Transponierte Als Transponierte A T einer Matrix A bezeichnet man die Matrix, die entsteht, wenn die A an der Hauptdiagonalen gespiegelt wird Dabei wird aus einer n m Matrix (n m) eine m n Matrix 253 Konjugierte Enthält eine Matrix A komplexe Elemente (a nm C, also a nm = x + iy), so erhält man die konjugierte Matrix A, indem man die komplexen Elemente konjugiert, also die Vorzeichen der Imaginärteile umkehrt 4

7 254 Orthogonale Matrix Eine Matrix A, welche die Beziehungen A T = A 1 und/oderaa T = A T A = E erfüllt, nennt man orthogonale Matrix Weiters ergibt das Skalarprodukt zweier beliebiger Zeilen oder Spalten stets den Wert 0, das Skalarprodukt einer Zeile oder Spalte mit sich selbst 1 Außerdem gilt det (A) = ±1 255 Symmetrie, Schiefsymmetrie, Zerlegung Gilt für eine n n Matrix A für alle ihre Elemente die Beziehung A = A T bezeichnet man sie als symmetrisch, dh es gilt a xy = a yx Gilt dagegen A = A T bezeichnet man die Matrix als schiefsymmetrisch und es gilt a xy = a yx sowie a xx = 0 Jede Matrix A läßt sich in eine symmetrische Matrix A S und eine schiefsymmetrische Matrix A SS zerlegen, so daß gilt: A = A S + A SS Dabei gilt: A S = 1 2 (A + AT ) und A SS = 1 2 (A AT ) 256 Dimension Die Dimension einer Matrix ist die Gesamtzahl ihrer Zeilenvektoren (Ähnliches gilt für Vektorräume und Lineare Abbildungen) 257 Rang Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen, also die Dimension (Anzahl der Zeilen) des Bildes der Matrix Eine einfache Möglichkeit zur Berechnung ist, die Matrix durch elementare Umformungen in eine Trapezmatrix b 11 b 12 b 1r b 1,r+1 b 1,r+2 b 1n 0 b 22 b 2r b 2,r+1 b 2,r+2 b 2n 0 0 b rr b r,r+1 b r,r+2 b rn umzuformen Folgende elementaren Umformungen sind für die Berechnung des Ranges erlaubt: Zwei Zeilen oder Spalten miteinander vertauschen Multiplikation mit einem Skalar ungleich Null Addition oder Subtraktion zweier Zeilen oder Spalten 5

8 26 Eigenwerte Aus der Gleichung A x = λ x mit A M (n n), x R n, λ R erhält man als Lösung p A (λ) := det (A λe n ) welches als das charakteristische Polynom bezeichnet wird Alle Nullstellen λ 1 λ n C dieses Polynoms nennt man Eigenwerte der Matrix A Beispiel für eine 3 3-Matrix: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 λ a 31 a 32 a = a 11 λ a 12 a 13 a 21 a 22 λ a 23 a 31 a 32 a 33 λ 27 Eigenvektoren = (a 11 λ)(a 22 λ)(a 33 λ) + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 (a 22 λ)a 13 a 32 a 23 (a 11 λ) (a 33 λ)a 21 a 12! = 0 Sind λ 1 λ n Eigenwerte der Matrix A, so nennt man alle Vektoren v i mit der Eigenschaft (A λ i E)v i = 0 Eigenvektoren der Matrix A Dh, es gibt mindestens soviele Eigenvektoren wie Eigenwerte 28 Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Mit dem Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren wird eine Basis von n Vektoren v 1 v n C n so umgeformt, daß eine neue Basis entsteht,die den selben Raum wie die ursprüngliche Basis aufspannen und deren Vektoren alle die Länge 1 besitzen und senkrecht aufeinander stehen Vorgehen: u l+1 = 29 Hauptachsentransformation u 1 = v 1 v 1 v l+1 < v l+1, u 1 > u 1 < v l+1 u l > u l v l+1 < v l+1, u 1 > u 1 < v l+1 u l > u l Zu jeder symmetrischen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix U und eine Diagonalmatrix D mit A = UDU T Dabei entsprechen die Elemente von D den Eigenwerten von A und die Spaltenvektoren von U den normierten Eigenvektoren von A Die Formulierung D = UAU T bezeichnet man dabei als Hauptachsentransformation 3 Lineare Abbildungen 31 Linearität Eine Abbildungsvorschrift L wird als linear bezeichnet, falls folgende Gleichung erfüllt ist: mit x 1, x 2 R n, λ 1, λ 2 R L(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 L( x 1 ) + λ 2 L x 2 ) 6

9 32 Bild Das Bild einer Abbildungsvorschrift entspricht dem Vektorraum, in dem alle möglichen Ergebnisse der Abbildung liegen Dabei werden alle linear abhängigen Zeilen weggelassen Der Rang des Bildes entspricht dem Rang der Matrix der Abbildungsvorschrift 33 Kern Die Lösung x der Gleichung L x = 0 bezeichnet man als Kern der Abbildung L Dh der Kern entspricht sozusagen den Nullstellen der Abbildung 34 Dimension Ähnlich wie für Matrizen ist auch für Vektorräume und Lineare Abbildungen ein Dimensionsbegriff definiert Dabei gilt die Beziehung dim ( Kern(L) ) + dim ( Bild(L) ) = dim (L) 7