Grundlagen der Regelungstechnik

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1 Grundlagen der Regelungstechnik Dr.-Ing. Georg von Wichert Siemens AG, Corporate Technology, München Termine Nächste Termine: 28.., 4.2.

2 Wiederholung vom letzten Mal Regelkreis Geschlossener Regelkreis d v w u y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) G F (s): Führungsfilter K(s): Regler G(s): Prozess G M (s): Messglied d: Störung w: Führungsgröße u: Stellgröße y: Ausgangsgröße

3 Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises d v w u y G F (s) K(s) G(s) - G M (s) Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G g (s): Übertragungsfunktion des offenen Kreises d v w u y G F (s) K(s) G(s) G M (s) Offener Kreis Geschlossener Kreis

4 Grundlegendes Stabilitätskriterium Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied ist dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen. Im{s}=jω s s arg(s) Re{s}=σ Stabilitätskriterien Numerische Kriterien Ausgehend von der Charakteristischen Gleichung Algebraische Bedingungen für deren Koeffizienten z.b. Hurwitz-Kriterium Grafische Kriterien Aussagen basierend auf dem Verlauf des Frequenzgangs, insbesondere des Phasenverlaufs Dargestellt als Ortskurven Nyquist-Kriterium

5 Die Wurzelortskurve - Bedeutung und Analyse der Pollage des geschlossenen Kreises Bedeutung der Polstellenlage Bereits viele Hinweise auf die zentrale Bedeutung der Pole einer Übertragungsfunktion für das Verhalten des zugehörigen dynamischen Systems Die Pole legen fest, ob das System schwingt, wie schnell es schwingt (Frequenz) und wie lange es schwingt oder abklingt (Dämpfung) Beurteilung der Regelung anhand der Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises Vgl. Nyquist-Kriterium, das aber nur eine Aussage über die Stabilität macht!

6 Polstellenlage des geschlossenen Kreises für verschiedene K.5 Pole-Zero Map 0.5 Imag Axis Real Axis Bedeutung der Polstellenlage Wie ändert sich die Pollage des geschlossenen Kreises in Abhängigkeit der Reglerparameter? Wurzelortskurve! Basis für Reglerauslegung Wurzelortskurve? w - K G(s) y Bestimmung der Pollage des geschlossenen Kreises anhand von Die Wurzelortskurve ist die Gesamtheit aller Punkte s, welche die charakteristische Gleichung erfüllen

7 Definition der Wurzelortskurve Die Wurzelortskurve (WOK) ist die Gesamtheit aller Punkte s, welche die charakteristische Gleichung erfüllen wobei k der Parameter ist Eigenschaften der WOK () Die WOK ist symmetrisch zur reellen Achse Nenner ist ein Polynom mit reellen Koeffizienten komplexe Pole nur als konjugiert komplexes Polpaar Die WOK beginnt für k=0 in den Polen des offenen Kreises und endet für k=+ in seinen Nullstellen Polstellenüberschuss (n>m) (n-m) Pole gehen gegen s=

8 Beispiel PT 2 jω s s 2 s σ Eigenschaften der WOK (2) Ein Punkt der reellen Achse gehört dann zur WOK, wenn rechts von ihm eine ungerade Anzahl kritischer Stellen des offenen Kreises liegt. Kritische Stellen: Pole und Nullstellen Kritische Stellen, die nicht auf der reellen Achse liegen spielen für diese Regel keine Rolle! jω σ -

9 Eigenschaften der WOK (2) Die Asymptoten der ins unendliche strebenden WOK-Äste schneiden sich sämtlich in einem Punkt σ w auf der reellen Achse, dem Wurzelschwerpunkt jω σ - Eigenschaften der WOK (3) Die Anstiegswinkel der Asymptoten der WOK sind jω σ -

10 Eigenschaften der WOK (4) Die (von den Nullstellen und Polen des offenen Kreises verschiedenen) Verzweigungspunkte der WOK erhält man aus der Gleichung jω σ - Eigenschaften der WOK (5) Schneiden sich in einem (von den Nullstellen und Polen des offenen Kreises verschiedenen) Verzweigungspunkt der WOK r Äste, gehen also z=2r Kurvenstücke von ihm aus, so ist der Betrag des Schnittwinkels benachbarter Kurvenstücke jω σ -

11 Wurzelortskurve, die Moral Die Wurzelortskurve beschreibt die Wanderung der Pole des geschlossenen Kreises bei Variation der Reglerverstärkung k Veränderung der Dynamik Sie kann damit als Basis für den Reglerentwurf dienen Reglerentwurf Standard-Regler Bisherige Beispiele: Proportional-Regler (P-Regler) Beseitigung der bleibenden Regelabweichung Integral-Anteil erforderlich (PI-Regler) Erhöhung der Regelgeschwindigkeit Differentialanteil hinzufügen (PID-Regler) Sollgröße - Regelfehler K I Stellgröße G(s) Istgröße D

12 Der PID-Regler Reglerübertragungsfunktion: Sollgröße - Regelfehler Regler K I Stellgröße G(s) Istgröße D Der PID-Regler Reglerübertragungsfunktion: 2 Nullstellen Frei wählbar 2 Polstellen Eine resultiert aus Verzögerung T ν des realen D-Gliedes Eine liegt bei s=0 und gehört zum I-Anteil Reglerentwurf mit Ortskurve Matlab SISO-Tool (Single Input Single Output, Eingrößen- Regelung)

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