Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Transkript

1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Yves Schneider Universität Luzern Frühjahr 2016

2 Repetition Kapitel 1 bis 3 2 / 54

3 Repetition Kapitel 1 bis 3 Ausgewählte Themen Kapitel 1 Ausgewählte Themen Kapitel 2 (Gleichungen lösen) Ausgewählte Themen aus Kapitel 3 3 / 54

5 Ausgewählte Themen Kapitel 1 Repetition Kapitel 1 bis 3 Wenn a > b, dann ist a + c > b + c für alle c: b + c b a + c a Wenn a > b und b > c, dann ist a > c Wenn a > b und c > 0, dann ist ac > bc Wenn a > b und c < 0, dann ist ac < bc Beachte Richtungsänderung der Ungleichung! Wenn a > b und c > d, dann ist a + c > b + d Dasselbe gilt für statt >. 5 / 54

6 Ausgewählte Themen Kapitel 1 Repetition Kapitel 1 bis 3 Für welche Werte von x gilt: (x 1)(3 x) > 0? x 1 3 x (x 1)(3 x) Die Ungleichung gilt für 1 < x < 3. 6 / 54

9 Ausgewählte Themen aus Kapitel 3 Repetition Kapitel 1 bis 3 9 / 54

10 Einführung Grundlegende Definitionen Graphen von Funktionen Lineare Funktionen und lineare Modelle Quadratische Funktionen Polynome Potenzfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen 10 / 54

13 Grundlegende Definitionen Definition (Funktion) Eine Funktion ist eine Relation, die einem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zuordnet. y y x x 13 / 54

14 Grundlegende Definitionen Die Funktion f ist eine Abbildung von einer Menge D in eine andere Menge R. Wir schreiben f : D R. D ist die Definitionsbereich und R der Wertebereich der Abbildung. Wird ein Punkt x aus der Definitionsbereich auf einen Punkt y im Wertebereich abgebildet, schreibt man y = f(x). f(x) ist der Funktionswert an der Stelle x. 14 / 54

15 Veranschaulichung Definitionsbereich (D f ) und Wertebereich (R f ) y R f f D f x 15 / 54

16 Zwei Beispiele: 1. f(x) = 1 3+x Definitionsbereich: alle reellen Zahlen mit Ausnahme von 3: R \ { 3} 2. g(x) = 2x + 4 Definitionsbereich: [ 2, ) 16 / 54

17 Grundlegende Definitionen Definition f : D R ist eine reellwertige Funktion, falls D eine beliebige Menge ist und R R. 17 / 54

18 Montone Funktionen Definition (Monoton wachsende Funktion) Die Funktion f ist monoton wachsend, falls x 2 > x 1 f(x 2 ) f(x 1 ). Definition (Strikt monoton wachsende Funktion) Die Funktion f ist strikt monoton wachsend, falls x 2 > x 1 f(x 2 ) > f(x 1 ). Jede strikt monoton steigende Funktion ist auch monoton steigend. Die Umkehrung gilt nicht. 18 / 54

20 Graphen von Funktionen Jede Funktion einer Variable kann durch einen Graphen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt werden. Definition (Graph) Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte (x, f(x)), wobei x zum Defintionsbereich D f der Funktion f gehört: graph(f) := {(x, f(x)) x D f } 20 / 54

21 Graphen von einigen wichtigen Funktionen y y y x x y y x y x x x 21 / 54

23 Lineare Funktionen und lineare Modelle f(x) = ax + b Der Parameter b ist der Achsenabschnitt. Der Parameter a entspricht der Steigung der Funktion: a > 0: Gerade steigt mit wachsendem x. Je grösser a, desto steiler die Gerade a < 0: Gerade fällt mit wachsendem x. Je kleiner a, desto steiler fällt die Gerade. a = 0: Die Gerade ist parallel zur x-achse. 23 / 54

24 Lineare Funktionen und lineare Modelle y y y x x x 24 / 54

25 f(x) = 1 2 x + 1 y x 25 / 54

26 Lineare Funktionen und lineare Modelle y y 2 y 2 y 1 y 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x Die Steigung der Geraden beträgt y 2 y 1 x 2 x 1 für x 2 x 1. Anwendung: Gesucht ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a durch den Punkt (x 1, y 1 ). 26 / 54

27 Gleichgewicht bei linearer Angebots- und Nachfragefunktion Nachfrage: D(P ) = 100 P Angeobt: S(P ) = P P = 30, Q = 70 P Q 27 / 54

28 Schnittpunkt zweier lineare Funktionen bestimmen Bestimme den Schnittpunkt zwischen f(x) = a bx und g(x) = α + βx, wobei a > 0, b > 0, α > 0, β > / 54

30 f(x) = ax 2 + bx + c y P y y x 1 x 2 x f(x) = 2x 2 + 4x + 6 g(x) = x 2 4x + 3 h(x) = (x + 1) 2 f(x) = 2(x + 1)(x 3) g(x) = (x 2) h(x) = x 2 + 2x + 1 P x P x 1 x 30 / 54

31 Quadratische Funktionen Falls x 1 und x 2 Nullstellen der quadratischen Gleichung sind, dann gilt: ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ). Quadratische Erweiterung: ( f(x) = ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 b2 4ac 2a 4a ( 2 nur a x + 2a) b hängt von x ab ( 2 a x + 2a) b = 0 x = b/2a f(x) hat für a > 0 ein Minimum bei x = b/2a f(x) hat für a < 0 ein Maximum bei x = b/2a 31 / 54

32 Quadratische Funktionen Mit der quadratischen Erweiterung ( f(x) = ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 b2 4ac 2a 4a finden wir die Nullstellen, also diejenigen x i für welche f(x i ) = 0 gilt: x 1,2 = b ± b 2 4ac 2a 32 / 54

34 Polynome Eine kubische Funktion: f(x) = x 3 + 4x 2 x 6 20 y x / 54

35 Polynome Allgemeines Polynom vom Grad n: wobei a n 0. P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Theorem (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom kann als Produkt von Polynomen erster und zweiter Ordnung (d.h. als Produkt von linearen und quadratischen Funktionen) geschrieben werden. 35 / 54

36 Polynome Theorem (ganzzahlige Lösungen) Nehmen Sie an, dass a n, a n 1,..., a 1, a 0 alle ganze Zahlen sind. Dann müssen alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 Faktoren des konstanten Terms a 0 sein. Zerlege folgende Polynome: x 3 + 4x 2 x x3 x x 1 = 0 36 / 54

37 Polynome Bestimme das zu folgendem Graphen gehörende Polynom : y x Berechne: (x 2 x 20) (x 5) ( 3x x) (x 4) 37 / 54

39 Potenzfunktionen f(x) = x r 2 y r = 3 r = 2 r = 1 r = r = x 39 / 54

41 Exponentialfunktionen f(x) = Aa x y a > 1 A x 41 / 54

42 Exponentialfunktionen f(x) = Aa x y A 0 < a < 1 x 42 / 54

43 Exponentialfunktionen Anwendung: wirtschaftliches Wachstum Bevölkerungswachstum stetig angehäufter Zins radioaktiver Zerfall Statistik 43 / 54

44 Bevölkerungswachstum in Zimbabwe 70er und 80er Jahre: Wachstum in Zimbabwe 3.5% jährlich. 1969: t = 0, P (t = 0) = 5.1 Millionen. Bevölkerung nach t Jahren: P (t) = t Verdoppelungszeit der Bevölkerung ist ungefähr 20 Jahre. 44 / 54

45 Zinseszins Sparkonto mit Startkapital von K 0 und jährlichem Zins von p% wächst in t Jahren auf 1 Euro zu 8% p.a.: K(t) K(t) = K 0 ( 1 + p 100 ) t 1.08 t 1 t 45 / 54

46 Natürliche Exponentialfunktion Die natürliche Exponentialfunktion hat die Basis e e also f(x) = e x = exp(x) 46 / 54

47 Rechenregeln e s e t = e s+t e s e t = es t (e s ) t = e st 47 / 54

49 Logarithmusfunktionen Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie löst die Gleichung a x = b nach x auf. Beispiel mit Basis e: e x = 4 log e 4 ln 4. Falls e u = b, dann heisst u der natürliche Logarithmus von b. Wir schreiben Es gilt also e ln b = b. u = ln b. Beachte: ln 1 = 0, ln e = 1 und ln(1/e) = / 54

50 Rechenregeln ln(xy) = ln x + ln y ln x y = ln x ln y ln x p = p ln x Beispiel: Löse ln (Aαe αx ) = ln k nach x auf. 50 / 54

51 Beispiel: Verdoppelungszeit (Siehe auch Bevölkerungswachstum von Zimbabwe) Die Verdoppelungszeit ist die Zeit t die verstreichen muss, bis sich f(t) = Aa t verdoppelt. t erfüllt also die Gleichung a t = 2. Löse diese Gleichung nach t auf: a t = 2 t = ln 2 ln a 51 / 54

52 Logarithmusfunktionen 2 1 y x 52 / 54

53 Logarithmusfunktionen y 20 exp(x) ln(x) x / 54

54 Logarithmusfunktionen Allgemein: Wenn a u = x dann heisst u der Logarithmus von x zur Basis a. Wir schreiben u = log a x Da a log a x = x folgt durch bilden des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung: log a x = ln x ln a Mit diesem Vorgehen kann somit die Basis des Logarithmus gewechselt werden (Basiswechsel) 54 / 54