Masse, Impulserhaltung und die Mechanik

Transkript

1 Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik Kapitel 3 Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik Wi weden dazu physikalische Gössen einfühen, die fü die gesate Physik von fundaentale edeutung sind: de lineae Ipuls und die Kaft. uf den egiffen Masse, Ipuls und Kaft basiet die gesate klassische Mechanik. 3.1 Die Masse Wenn die eschleunigung eines Teilchens bekannt ist, haben wi gelent, wie wi seine oentane Geschwindigkeit und seine Lage als Funktion de Zeit it Diffeentialechnung ode it nueische Rechnung bestien können. islang haben wi gefagt, wie wid sich ein Teilchen bewegen. be in vielen ealistichen Fällen kennen wi die eschleunigung des Teilchens nicht. Wi kennen die Käfte, die auf das Teilchen wiken, ode die Enegie des Teilchens, und wi wollen diese Infoation benutzen, u die ewegung vohezusagen. Wi wollen wissen, weshalb ein Teilchen sich bewegt. In diese Kapitel weden wi von Käften spechen. Diese Methoden bilden das Gebiet de Dynaik. Eine zentale Rolle in de Dynaik spielt die Masse Die Definition de Masse In unsee lltagsspache benutzen wi austauchba die Wöte Masse und Gewicht. I Rahen de Physik weden diese Wöte it veschiedene edeutung benutzt. Wi sagen: a) Das Gewicht ist eine Kaft 1, die ein Köpe z.. auf den oden ausübt. Das Gewicht ist eine Gösse, die it eine Waage geessen wid. b) Die Masse ist eine Eigenschaft eines Köpes. Die Masse ist ein Mass dafü, wieviel Stoff i Köpe enthalten ist. Das Gewicht eines Köpes kann in veschiedenen Situationen veschieden sein. Das Gewicht eines stonauts sei z.. auf de Edobefläche 90 kg. Wenn e in seine Ulaufbahn u die Ede ist, ist sein Gewicht gleich null. 1. Wi weden eine genaue Definition de Kaft i Kap einfühen. Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

2 Die Masse Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik I Gegensatz dazu ist die Masse des stonauts auf de Ede und in de Ulaufbahn ie dieselbe. De stonaut ist nicht asselos gewoden, sonden nu gewichtslos. Rückstossvesuch. U die Masse genau zu definieen, weden wi einen Rückstossvesuch vewenden. Wi betachten zwei Wagen, und, die sich eibungsfei übe eine Luftkissenbahn bewegen können. Siehe bb. 1. nfang weden die beide Wagen it eine Faden zusaen gebunden. Eine Fede ist zwischen den beiden Wagen eingeklet. In diese Vesuch wid de Faden zeschnitten und die Geschwindigkeiten de Wagen v und v geessen. Wenn de Faden zeschnitten ist, entfenen sich beide Wagen it engegengesetzen Geschwindigkeiten voneinande. Wi beeken, dass die Geschwindigkeiten de Wagen nicht ie denselben etag besitzen. Faden Fede (a) eibungsfeie Luftkissenbahn us Expeienten it veschiedenen Wagen schliessen wi, dass das Vehältnis de Geschwindigkeiten de beiden Wagen gegeben ist duch wobei und die Massen de Wagen sind. Zwei wichtige eekungen: v = v 1. Das Rückstossexpeient hat nichts it den Gewichten de Wagen zu tun. Man könnte ebenso das Expeient i Weltau (wo die Wagen gewichtlos wäen) duchfühen. Das Egebnis wäe dasselbe! uf de Ede haben wi eine Luftkissenbahn vewendet, so dass die Wagen sich fei bewegen. Die nach unten geichtete Edbeschleunigung wid von de Luftkissenbahn kopensiet (die Wagen fallen nicht nach unten). Obwohl die Wagen auf die Luftkissenbahn dücken, ist de Effekt dank de Luftfluss venachlässigba. 2. Das Egebnis ist auch unabhängig von de Fede. Wäe die Fede stäke, wüden beide Wagen sich schnelle voneinande entfenen. Das Vehältnis de Geschwindigkeiten wüde sich abe nicht änden. D.h., dass die Masse eines Wagens nu von den Eigenschaften de Wagen abhängt. V V is jetzt haben wi nu von eine Vehältnis gespochen. (b) Figu 1. Ein Rückstosssvesuch. a) nfangszustand b) Faden zeschnitten. Wie sollen wi die Masse definieen? Wi wählen eine de Massen, z.., so, dass sie eine genote Masse besitzt. Von eine solchen genoten Masse haben wi schon Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

3 Die Masse Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik i Kap. 1.2 gespochen, als die Definition de Einheit de Masse (das Kiloga) betachtet wude. Wi haben dot gesagt: Das Kiloga ist die Masse eines Pototyps des Kilogas. Es ist ein Platin-Iidiu-Zylinde, de i ueau Intenational des Poids et Mesues in Sèves bei Pais aufbewaht wid. Dann weden alle Massen elativ zu gewählten Masse geessen, als v = v Gegenstand Stab Dehpunkt genote Masse lle andeen Massen weden dann duch einen Rückstossvesuch als vipm = Ê Ë Á -Pototyp ˆ ( 1 Kiloga) v definiet, wobei v IPM-Pototyp die geessene Geschwindigkeit des Pototyps ist Täge und schwee Masse Die vohe gegebene Definition de Masse entspicht eine genauen, abe koplizieten t von Messung de Masse! Eine Messung it eine Waage ist eine einfachee Methode, u die Masse zu essen. Siehe bb. 2. Figu 2. Waage. Wenn die zwei Massen gleich sind, wid de Stab stillstehen. De Stab ist i Gleichtgewicht. Die Waage vegleicht die Gewichte de Massen, d.h. die nach unten geichteten Gavitationskäfte, die die zwei Massen auf den Telle ausüben. Wenn die Gavitationskäfte einande gleich sind, bleibt de Stab i Gleichgewicht. Mit eine solchen Waage können wi die Gavitationskäfte von Massen it de Gavitationskaft, die die genote Masse auf den Telle ausübt, vegleichen. Wenn wi die Messungen it eine Waage it denjenigen des Rückstossvesuches vegleichen, beeken wi, dass gleiche Massen die gleichen Gavitationskäfte ausüben. Wi nehen zwei Wagen, die sich it deselben Geschwindigkeit i Rückstossvesuch bewegen. D.h., dass sie die gleiche Masse besitzen. Wenn wi diese Wagen auf den Telle de Waage stellen, wid de Stab i Gleichgewicht stehen. Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

4 De Ipuls Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik Dieses expeientelle Egebnis ist keine offensichtliche Sache! De Physike Etvös hat 1922 it seh genauen Vesuchen bewiesen, dass Köpe it gleiche Masse gleiche Gavitationskäfte ausüben. E hat dieses Egebnis it eine Genauigkeit von 1 Teil in 10 9 gepüft. Wi sagen gewöhnlich a) die täge Masse ist die Gösse, die wi it eine Rückstossexpeient essen, und b) die schwee Masse ist die Gösse, die wi it eine Waage essen. Dank R.H. Dicke, de das Etvösche Expeient noch vebesset hat, wissen wi heutzutage, dass beide Definitionen it eine Genauigkeit von 1 Teil in gleich sind. I eeich de Mechanik wid nicht gesagt, wau diese zwei Massen einande gleich sind. Nu in de llgeeinen Relativitätstheoie von Einstein kann an it Hilfe des Äquivalenzpinzips (Siehe Kap ) vestehen, wau beide gleich sein üssen. 3.2 De Ipuls Nun weden wi das Gesetz de Ipulsehaltung einfühen. Ein Ehaltungs -Gesetz i Gebiet de Physik dückt aus, dass eine Gösse sich nicht ändet. Sie wid ehalten, d.h. sie wid vo und nach veschiedenen Vogängen dieselbe sein Die Definition des Ipulses In de Definition de Masse haben wi gesehen, dass in Rückstossvesuchen das Vehältnis de Geschwindigkeiten de Wagen eine konstante Zahl wa, unabhängig von de Fede. Wi haben dieses Egebnis als ausgedückt. Jetzt wollen wi diese Gleichungen vewenden, u eine Gösse zu definieen, die sich nicht änden wid, wenn de Faden zwischen den Wagen zeschnitten wid. Wi scheiben die Gleichung als v v = v Jetzt beeken wi, dass v und v die etäge de Geschwindigkeitsvektoen de Wagen sind. Da die Wagen sich in entgegengesetzen Richtungen voneinande entfenen, gilt v = -v wobei wi die Geschwindigkeitsvektoen statt de etäge de Geschwindigkeiten benutzt haben. Diese Gleichung wid geschieben als v + v =0 (nachde de Faden zeschnitten ist) = v Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

5 De Ipuls Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik Mit eine solchen usduck haben wi die folgende Gösse den Wagen und zugeodnet: v ist nu eine Eigenschaft des Wagens, und v nu eine Eigenschaft des Wagens. Eine neue Gösse wid deshalb definiet: De lineae Ipuls eines Teilchens ist gleich de Podukt aus seine Masse und seine Geschwindigkeit: p = v De Ipuls ist eine vektoielle Gösse, weil e das Podukt eine skalaen Gösse (die Masse) und eine vektoiellen Gösse (die Geschwindigkeit) ist. Die Gleichung dückt aus, dass die Sue de Ipulse nach de Rückstoss gleich null ist. evo de Faden zeschnitten wude, sind beide Wagen in Ruhe. Vo de Rückstoss, gilt v = 0 v = 0 Die Sue de lineaen Ipulse bevo de Faden zeschnitten wude, ist dann v + v =0 (bevo de Faden zeschnitten ist) Wi schliessen daaus, dass die Sue de lineaen Ipulse de Wagen sich wegen des Rückstosses nicht geändet hat. Die Sue de lineaen Ipulse de Wagen nennen wi den Gesatipuls Ptot Ptot = p + p = v + v Die Gleichung dückt die Ehaltung des Gesatipulses aus. 3.3 Die Ipulsehaltung Das allgeeine Gesetz uf den voheigen Seiten haben wi einen Rückstossvesuch betachtet. Wi haben gefunden, dass in eine solchen Vesuch eine vektoielle Gösse de Gesatipuls ehalten ist. ishe haben wi nu das Egebnis des Rückstossvesuches auf eine andee t neu dagelegt. Das Gesetz de Ipulsehaltung ist abe ganz allgeein gültig. Es kann so fouliet weden: P ( vohe) = P ( nachhe) tot Ein isolietes Syste ist ein Syste, das keine Wechselwikungen it andeen Köpen spüt. Das Syste kann seh weit von andeen Köpen entfent sein, ode die Wechselwikungen it andeen Köpen kopensieen einande, so dass de Effekt veschwindet. In eine solchen isolieten Syste ist de Gesatipuls ehalten. tot Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

6 Das este Newtonsche Gesetz: T gheit Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik Das Gesetz de Ehaltung des Ipulses ist eines de gundlegenden und allgeein gültigen Gesetze de Physik. Wi kennen keine usnahen von diese Pinzip. Wi haben noch nicht viel von Käften gespochen. Von Käften wid ein bisschen späte gespochen. Wi üssen nu vestehen, dass es i Rückstossvesuch keine äussee Kaft gab. Wi haben i Vesuch eine Luftkissenbahn vewendet, so dass keine äussee esultieende Kaft auf den Wagen wikt. Die nach unten geichtete Gewichtskaft eines Wagens wude von de Luft de Luftkissenbahn ausgeglichen. Die esultieende vetikale Kaft wa deshalb gleich null. Wenn de Faden zeschnitten wude, hat die Fede eine nicht veschwindene Kaft ausgeübt. Diese Kaft ist abe keine äussee Kaft, sonden eine innee Kaft, die auf die Wagen wikt. Sie kann deshalb den Gesatipuls des Systes nicht änden. 3.4 Das este Newtonsche Gesetz: Tägheit Eine este Folgeung aus de Ipulsehaltungsgesetz ist das Tägheitspinzip. Wi sehen, dass fü ein isolietes Syste gelten uss: dptot ptot = Konst fi = 0 Wenn ein Syste nu einen Köpe enthält, ist de Gesatipuls gleich de Ipuls des Köpes, und wi ehalten dp dv dv ( ) = 0 = = wobei wi angenoen haben, dass sich die Masse des Köpes it de Zeit nicht ändet. Es folgt, Wi sagen, dv = 0 fi v = Konst. fi a( t) 0 Tägheitspinzip: Ein Köpe bleibt in Ruhe ode bewegt sich it konstante Geschwindigkeit, wenn e isoliet ist. In den Zeiten vo Galileo Galilei ( ) nah an an, dass die Kaft in Vebindung it de Geschwindigkeit eines Köpes wa. Man dachte, dass eine Kaft wiken uss, u einen Köpe in ewegung zu halten. Je gösse die Kaft, desto schnelle bewegt sich das Teilchen. In unsee täglichen Efahungen ist dieses Denken nicht ganz so falsch. Galileo und Newton ekannten, dass in den eisten Situationen auf de Edobefläsche Köpe sich nicht eibungsfei bewegen. D.h., in den eisten Fällen sind die Köpe nicht isoliet, weil die esultieende Wechselwikung it andeen Köpen nicht gleich null ist. 1. Wenn ein Köpe gewofen wid und sich in de Luft bewegt, wikt auf ihn die Gavitationskaft ein und e fühlt auch die Reibung de Luft (d.h. Luftwidestand). Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

7 Das zweite Newtonsche Gesetz: ktionspinzip Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik 2. Wenn ein Köpe sich auf de oden bewegt, fühlt e die Reibung zwischen seine Fläche und de odenfläche. us diesen eobachtungen haben Galilei und Newton sich vozustellen vesucht, wie ein Köpe such bewegen wüde, wenn es fei ist. Sie sind zu Schluss bekoen, dass die Wechselwikung it andeen Köpen it de eschleunigung zusaenhängt, so dass das Tägheitspinzip gelten uss. 3.5 Das zweite Newtonsche Gesetz: ktionspinzip Die Definition de Kaft Wi betachten eine gleichföige Keisbewegung, die wi i Kap. 2.6 studiet haben. und dait ist de Ipuls gleich: pt () = vt () = w -sinwte coswte wobei die Masse des Köpes ist. [( ) x + ( ) y] De Ipulsvekto zeigt in die Richtung des Geschwindigkeitsvektos und ist deshalb tangential. E ändet sich it de Zeit, so dass de all sich auf de Keis bewegt. Wi können die zeitliche bleitung des Ipulses betachten: dp = w[ w( -coswt) ex + w( -sinwt) ey] 2 =- w [ ( coswt) ex + ( sinwt) ey] 2 =-w De esultieende Vekto zeigt zu Zentu des Keises. Dies ist die Richtung des Fadens. Wi haben gesehen, dass eine nach de Zentu des Keises geichtete eschleunigung auf das Teilchen wiken uss, dait das Teilchen sich auf eine Keisbahn bewegt. Siehe bb. 3. Faden a all Wi können den Ipuls des alles beechnen. Es gilt: t () = ( coswte ) x + ( sinwte ) y d vt () = = w( -sinwt) ex + w( coswt) e y Figu 3. Die eschleunigung des alles ist zu Zentu des Keises geichtet. Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)

8 Das zweite Newtonsche Gesetz: ktionspinzip Masse, Ipulsehaltung und die Mechanik Was ist fü die zeitliche Ändeung des Ipulses veantwotlich? Wi sagen, dass de Faden eine Kaft auf den Köpe ausübt. Diese Kaft ist fü die zeitliche Ändeung des Ipulses veantwotlich. Zusaenfassend: Die esultieende Kaft, die auf einen Köpe wikt, wid als die zeitliche Ändeung des Ipulses des Köpes definiet: dp F Wi sagen, dass wenn sich de Ipuls eines Köpe it de Zeit ändet, wikt auf den Köpe eine nicht veschwindende Kaft. Weil de Ipuls eine vektoielle Gösse ist, de eine Richtung und einen etag besitzt, ist die Kaft auch ein Vekto. I folgenden Kapitel weden wi veschiedene ten von Käften definieen. Wenn wi die Wikung ehee Käfte auf einen Köpe betachten, wid die esultieende Kaft als die Vektosue de einzelnen Käfte geschieben: F = Â F i i zwischen de esultieenden Kaft und de eschleunigung hezuleiten, die nu gilt, wenn die Masse des Köpes konstant ist: dp() t d F v t dv () = ( ()) = t = a() t Es folgt dait, ktionspinzip: Die eschleunigung eines Köpes, dessen Masse sich it de Zeit nicht ändet, ist ugekeht popotional zu seine Masse und diekt popotional zu esultieenden Kaft, die auf ihn wikt: at ( ) = 1 Ft ( ) Weil die Masse eine skalae Gösse ist, zeigen die eschleunigung und die esultieende Kaft ie in dieselbe Richtung. Einheit: Die Einheit de Kaft ist 1 Newton (N) und entspicht jene Kaft, die benötigt wid, u einen Köpe de Masse 1 kg it 1 /s 2 zu beschleunigen. Es folgt daaus, dass sich de Ipuls eines Köpes nu dann it de Zeit änden wid, wenn sich die Wikungen alle Käfte nicht gegenseitig kopensieen. Welche Rolle spielt dann die Masse? Wi können die Definition des Ipulses als Funktion de Masse und de Geschwindigkeit des Köpes vewenden, u eine eziehung Physik Physik I&II, WS 02/03-SS03, Pof.. Rubbia (ETH/Züich)