Zufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale. Stochastikseminar, Dezember 2011
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- Michael Hertz
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1 Zufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale Stochastikseminar, Dezember 2011
2 2 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile Integrale α-stabile Zufallsmaße
3 3 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile Integrale α-stabile Zufallsmaße
4 4 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Definition X = {X(t)} t T reellwertiger stochastischer Prozess. X heißt (strikt, symmetrisch) stabil genau dann, wenn t 1,..., t d T : (X(t 1 ),..., X(t d )) (strikt, symmetrisch) stabil ist.
5 4 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Definition X = {X(t)} t T reellwertiger stochastischer Prozess. X heißt (strikt, symmetrisch) stabil genau dann, wenn t 1,..., t d T : (X(t 1 ),..., X(t d )) (strikt, symmetrisch) stabil ist. Theorem X = {X(t)} t T stochastischer Prozess. Dann ist X strikt stabil/symmetrisch stabil genau dann, wenn d k=1 b kx(t k ) strikt stabil/symmetrisch stabil t 1,..., t d T, b 1,..., b d R.
6 5 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess Beispiel X = {X(t)} t 0 stochastischer Prozess
7 5 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess Beispiel X = {X(t)} t 0 stochastischer Prozess X: α-stabiler Lévy-Prozess genau dann, wenn
8 5 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess Beispiel X = {X(t)} t 0 stochastischer Prozess X: α-stabiler Lévy-Prozess genau dann, wenn X(0) = 0 f.s. X(t2 ) X(t 1 ),..., X(t d ) X(t d 1 ) unabh. t 1... t d α (0, 2], β [ 1, 1], 0 s < t : X(t) X(s) S α ((t s) 1/α, β, 0)
9 5 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Beispiel: α-stabiler Lévy-Prozess Beispiel X = {X(t)} t 0 stochastischer Prozess X: α-stabiler Lévy-Prozess genau dann, wenn X(0) = 0 f.s. X(t2 ) X(t 1 ),..., X(t d ) X(t d 1 ) unabh. t 1... t d α (0, 2], β [ 1, 1], 0 s < t : X(t) X(s) S α ((t s) 1/α, β, 0) X α-stabiler Lévy-Prozess X α-stabiler Prozess
10 6 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile Integrale α-stabile Zufallsmaße
11 7 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Endlich dimensionale Verteilungen (E, E, m) Maßraum β : E [ 1, 1] messbar
12 7 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Endlich dimensionale Verteilungen (E, E, m) Maßraum β : E [ 1, 1] messbar F = { L α (E, E, m), α 1 {f : f L 1 (E, E, m), f (x)β(x) log f (x) m(dx) < }, sonst
13 8 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Ziel: Stochastischer Prozess {I(f )} f F mit Eigenschaften
14 8 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Ziel: Stochastischer Prozess {I(f )} f F mit Eigenschaften Linearität: I(a1 f 1 + a 2 f 2 ) = a 1 I(f 1 ) + a 2 I(f 2 ), a 1, a 2 R, f 1, f 2 F f F : I(f ) stabile ZV
15 8 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Ziel: Stochastischer Prozess {I(f )} f F mit Eigenschaften Linearität: I(a1 f 1 + a 2 f 2 ) = a 1 I(f 1 ) + a 2 I(f 2 ), a 1, a 2 R, f 1, f 2 F f F : I(f ) stabile ZV Idee: Spezifikation der endlich-dimensionalen Verteilungen + Satz von Kolmogorov
16 9 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Endlich dimensionale Verteilungen Für α 1 φ f1,...,f d (θ 1,..., θ d ) = d exp θ j f j (x) E j=1 d 1 iβ(x)sign θ j f j (x) tan(πα/2) m(dx) α j=1
17 9 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Endlich dimensionale Verteilungen Für α 1 φ f1,...,f d (θ 1,..., θ d ) = d exp θ j f j (x) E Für α = 1 j=1 j=1 d 1 iβ(x)sign θ j f j (x) tan(πα/2) m(dx) α φ f1,...,f d (θ 1,..., θ d ) = d exp θ j f j (x) 1 + i 2 d E π β(x)sign d θ j f j (x) log θ j f j (x) m(dx) j=1 j=1 j=1
18 10 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale 1. Schritt Zeige: vorherige Ausdrücke sind CF eines α-stabilen ZV
19 10 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale 1. Schritt Zeige: vorherige Ausdrücke sind CF eines α-stabilen ZV Details: Tafel
20 11 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Erinnerung Theorem Sei 0 < α < 2, α 1, X = (X 1, X 2,..., X d ) ZV X α-stabil
21 11 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Erinnerung Theorem Sei 0 < α < 2, α 1, X = (X 1, X 2,..., X d ) ZV X α-stabil Γ: endliches Maß auf Sd µ 0 R d sodass
22 11 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Erinnerung Theorem Sei 0 < α < 2, α 1, X = (X 1, X 2,..., X d ) ZV X α-stabil Γ: endliches Maß auf Sd µ 0 R d sodass φx (θ) = ( ) exp (θ, s) α (1 isign((θ, s)) tan(πα/2))γ(ds) + i(θ, µ 0 ) S d
23 12 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale 2. Schritt Theorem (Kolmogorov) {P t1,t 2,...,t n } t1,...,t n T W Maße auf (R n, B(R n ))
24 12 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale 2. Schritt Theorem (Kolmogorov) {P t1,t 2,...,t n } t1,...,t n T W Maße auf (R n, B(R n )) φ t1,...,t n : charakteristische Funktion von P t1,...,t n
25 12 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale 2. Schritt Theorem (Kolmogorov) {P t1,t 2,...,t n } t1,...,t n T W Maße auf (R n, B(R n )) φ t1,...,t n : charakteristische Funktion von P t1,...,t n Angenommen Symmetrie: φtπ(1),...,t π(n) (θ π(1),..., θ π(n) ) = φ t1,...,t n (θ 1,..., θ n ) für alle Permutationen π S(n), t 1,..., t n T Konsistenz: φ t1,...,t n (θ 1,..., θ n ) = φ t1,...,t n,...,t d (θ 1,..., θ n, 0,..., 0) für alle n d, t 1,..., t n T stochastischer Prozess {X(t)} t T mit endlichen Verteilungen von Rang n gegeben durch {P t1,...,t n } t1,...,t n
26 12 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale 2. Schritt Theorem (Kolmogorov) {P t1,t 2,...,t n } t1,...,t n T W Maße auf (R n, B(R n )) φ t1,...,t n : charakteristische Funktion von P t1,...,t n Angenommen Symmetrie: φtπ(1),...,t π(n) (θ π(1),..., θ π(n) ) = φ t1,...,t n (θ 1,..., θ n ) für alle Permutationen π S(n), t 1,..., t n T Konsistenz: φ t1,...,t n (θ 1,..., θ n ) = φ t1,...,t n,...,t d (θ 1,..., θ n, 0,..., 0) für alle n d, t 1,..., t n T stochastischer Prozess {X(t)} t T mit endlichen Verteilungen von Rang n gegeben durch {P t1,...,t n } t1,...,t n Im konkreten Fall: beide Bedingungen erfüllt
27 13 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Linearität Theorem Seien a 1, a 2 R, f 1, f 2 F. Dann gilt
28 13 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Linearität Theorem Seien a 1, a 2 R, f 1, f 2 F. Dann gilt I(a 1 f 1 + a 2 f 2 ) = a 1 I(f 1 ) + a 2 I(f 2 ) f.s.
29 13 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Linearität Theorem Seien a 1, a 2 R, f 1, f 2 F. Dann gilt I(a 1 f 1 + a 2 f 2 ) = a 1 I(f 1 ) + a 2 I(f 2 ) f.s. f 3 := a 1 f 1 + a 2 f 2, a 3 = 1
30 13 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile Integrale Linearität Theorem Seien a 1, a 2 R, f 1, f 2 F. Dann gilt I(a 1 f 1 + a 2 f 2 ) = a 1 I(f 1 ) + a 2 I(f 2 ) f.s. f 3 := a 1 f 1 + a 2 f 2, a 3 = 1 Eexp(iθ(a 1 I(f 1 ) + a 2 I(f 2 ) I(f 3 ))) = exp = 1, E 3 θa j f j (x) j=1 da a 1 f 1 + a 2 f 2 f 3 = 0. α (1 iβ(x)sign( 3 θa j f j (x)) tan(πα/2))m(dx) j=1
31 14 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile Integrale α-stabile Zufallsmaße
32 15 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Notationen: (Ω, F, P) W raum L 0 (Ω): reellwertige ZVen
33 15 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Notationen: (Ω, F, P) W raum L 0 (Ω): reellwertige ZVen (E, E, m) Maßraum β : E [ 1, 1] messbar E 0 = {A E : m(a) < }
34 15 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Notationen: (Ω, F, P) W raum L 0 (Ω): reellwertige ZVen (E, E, m) Maßraum β : E [ 1, 1] messbar E 0 = {A E : m(a) < } Für M : E 0 L 0 (Ω) gelte M σ-additiv: A = i=1 A i, A E 0 M(A) = i=1 M(A i) f.s. M independently scattered: A1,..., A k pw. disjunkt M(A 1 ),..., M(A k ) unabhängig
35 16 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Ziel: Definition stochastischer Prozesse {M(A)} A E0
36 16 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Ziel: Definition stochastischer Prozesse {M(A)} A E0 Eigenschaften M(A) α-stabil A = i=1 A i, A E 0 M(A) = i=1 M(A i) f.s. A 1,..., A k pw. disjunkt M(A 1 ),..., M(A k ) unabhängig
37 16 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Ziel: Definition stochastischer Prozesse {M(A)} A E0 Eigenschaften M(A) α-stabil A = i=1 A i, A E 0 M(A) = i=1 M(A i) f.s. A 1,..., A k pw. disjunkt M(A 1 ),..., M(A k ) unabhängig Idee: Setze M(A) = I(1 A )
38 17 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Definition Sei M : E 0 L 0 (Ω) indep. scattered und σ-additiv, sodass M(A) S α ((m(a)) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0) für alle A E 0. Dann heißt M α-stabiles Zufallsmaß auf (E, E).
39 17 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Definition Sei M : E 0 L 0 (Ω) indep. scattered und σ-additiv, sodass M(A) S α ((m(a)) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0) für alle A E 0. Dann heißt M α-stabiles Zufallsmaß auf (E, E).
40 17 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Definition Sei M : E 0 L 0 (Ω) indep. scattered und σ-additiv, sodass M(A) S α ((m(a)) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0) für alle A E 0. Dann heißt M α-stabiles Zufallsmaß auf (E, E). Existenz: M(A) = I(1 A )
41 18 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße I(1 A ) S α (m(a) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0)
42 18 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße I(1 A ) S α (m(a) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0) independently scattered: E(exp(i d j=1 θ jm(a j ))) = d α d exp θ j 1 Aj (x) 1 iβ(x)sign( θ j 1 Aj (x)) tan(πα/2) m(dx E j=1 j=1
43 18 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße I(1 A ) S α (m(a) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0) independently scattered: E(exp(i d j=1 θ jm(a j ))) = d α d exp θ j 1 Aj (x) 1 iβ(x)sign( θ j 1 Aj (x)) tan(πα/2) m(dx E j=1 j=1 d = exp θ j α 1Aj (x)(1 iβ(x)sign(θ j 1 Aj (x)) tan(πα/2))m(dx) j=1 E
44 18 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße I(1 A ) S α (m(a) 1/α, A β(x)m(dx)/m(a), 0) independently scattered: E(exp(i d j=1 θ jm(a j ))) = d α d exp θ j 1 Aj (x) 1 iβ(x)sign( θ j 1 Aj (x)) tan(πα/2) m(dx E j=1 j=1 d = exp θ j α 1Aj (x)(1 iβ(x)sign(θ j 1 Aj (x)) tan(πα/2))m(dx) j=1 = d j=1 E(exp(iθ jm(a j ))) E
45 19 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße f.s. Additivität
46 19 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße f.s. Additivität n n M(A i ) = I(1 Ai ) i=1 i=1 = I( n 1 Ai ) i=1 = M(A 1... A n ) f.s.
47 20 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße σ-additivität A 1, A 2,... E 0 pw. disjunkt, B = j=1 A j E 0 z.z. M(B) i=1 M(A i) = lim n M(B \ n j=1 A j) = 0 f.s.
48 20 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße σ-additivität A 1, A 2,... E 0 pw. disjunkt, B = j=1 A j E 0 z.z. M(B) i=1 M(A i) = lim n M(B \ n j=1 A j) = 0 f.s. Theorem Seien ξ 1, ξ 2,... unabhängige reellwertige ZVen Dann: i ξ i konvergiert f.s. i ξ i konvergiert in Verteilung
49 20 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße σ-additivität A 1, A 2,... E 0 pw. disjunkt, B = j=1 A j E 0 z.z. M(B) i=1 M(A i) = lim n M(B \ n j=1 A j) = 0 f.s. Theorem Seien ξ 1, ξ 2,... unabhängige reellwertige ZVen Dann: i ξ i konvergiert f.s. i ξ i konvergiert in Verteilung Genügt z.z. M(B) n i=1 M(A i) = M(B \ n j=1 A j) 0 in Verteilung
50 21 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Z.z.: B 1 B 2... E 0, j B j = M(B n ) 0 in Wahrscheinlichkeit Theorem Sei 0 < α < 2, σ > 0 C 1, C 2 > 0 β [ 1, 1] λ > C 1 und X S α (σ, β, 0) gilt: P( X > λ) C 2 λ α
51 21 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Z.z.: B 1 B 2... E 0, j B j = M(B n ) 0 in Wahrscheinlichkeit Theorem Sei 0 < α < 2, σ > 0 C 1, C 2 > 0 β [ 1, 1] λ > C 1 und X S α (σ, β, 0) gilt: P( X > λ) C 2 λ α M(B n ) d = m(b n ) 1/α X n, X n S α (1, β n, 0) für ein β n [ 1, 1] P( M(B n ) > ε) C 2 ε α m(b n ) n 0
52 22 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Beispiel (E, E, m) = ([0, ), B, ν 1 ), β(x) = β M zugehöriges α-stabiles Maß
53 22 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Beispiel (E, E, m) = ([0, ), B, ν 1 ), β(x) = β M zugehöriges α-stabiles Maß Dann: X(t) = M([0, t]) ist α-stabiler Lévy-Prozess
54 23 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße [2],[1] Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
55 24 Stabile Prozesse Dezember 2011 α-stabile Zufallsmaße Literature I O. Kallenberg. Foundations of modern probability. Springer Verlag, G. Samorodnitsky and M.S. Taqqu. Stable non-gaussian processes: Stochastic models with infinite variance. Chapman & Hall, 1994.
κ Κα π Κ α α Κ Α
κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ
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