Kapitel 7. Deformierbare Körper. Deformierbare Körper. Deformierbare Körper. Deformierbare Körper. Spannung und Dehmung.

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1 Deforierbare Körper Spannung und Dehung F = E A A Kapitel 7 Deforierbare Körper = F A = E Oberflächenkraft = Zug Zugspannung = Kraft pro Flächeneinheit F Elastiitätsodul Deforierbare Körper Aggregatsustand Deforierbare Körper Querkontraktion kristallines Gitter aorphe Materie Flüssigkeiten gasförige Materie Nahordnung - Fernordnung Ursache für Schwingungen Massenkräfte: Gravitation + Trägheit Elastische Kräfte: Deforation repariert sich selbst oder : plastische Verforung bleibt urück potentielle Energie V - - V VH Gradient V potentielle Energie wischen wei Atoen Poissonahl : µ = V = d d / d V V = d d + = F A = E d Σ Σ Zugspannung = Kraft pro Flächeneinheit d

2 Deforierbare Körper Kopression Deforierbare Körper Torsion Scherspannung V V = d d + d d = G = ' r/ = G r ' = p E ( µ) = K Kopressionodul p Druck = Kraft pro Flächeneinheit Drehoent M = Z r da = Z = G ' = apple'= D ' r dr Α φ ichtoent Scherspannung = Kraft pro Flächeneinheit 5 7 Deforierbare Körper Scherung (Torsion) Hydrostatik ruhende Flüssigkeiten Gestalt von Flüssigkeiten = F d Scherspannung = Kraft pro Flächeneinheit Α d d Τ ideal: Schubodul = Schwerkraft bedingt For der Oberfläche = G Schubodul, Scherodul Torsionsodul (r) =! g tan =! r g Z = d dr rdr=! r g +. a F = g w r rotierender Flüssigkeitsbehälter 6 8

3 Hydrostatik Hydrostatik statischer Druck Auftrieb A Druck: p = F/A Archiedisches Prinip FA uhende Fl ussigkeit: die Gesatkraft auf ein ruhendes Volueneleent ist gleich Null D bei vernachl assigbare Eigengewicht: rp = ) Der Druck i Fl ussigkeitsvoluen ist konstant F=Mg Druckunterschied wischen Ober- und Unterseite p = fl g. ergibt die Auftriebskraft FA = A p = A fl g = Gfl gleich der Gewichtskraft der verdr angten Fl ussigkeit. F F A A F /A = F /A 9 Hydrostatik Schweredruck Auftrieb Eisberg, Ballon Eis = 95 kg/ Druck: p = F/A A Annahe : Dichte sei unabh angig vo Druck h 9 F= gha p() = g h 5 Pascal = bar Pascal = Pa = N/ H O = 5 kg/ dv p() = g h Wassers aule von H ohe ereugt den Druck Schiff schwit auf schwere Gas : Heliu Sticksto uft SF g/ol g/ol g/ol g/ol

4 Grenflächen an Flüssigkeiten Oberflächenspannung Abhängigkeiten Oberflächenspannung Kohäsionskräfte i Inneren. An der Oberfläche fehlen Nachbaroleküle. Es bleibt resultierende Kraft in ichtung ur Flüssigkeit. (N/) T S (K) Methan. 8 Benol. 5 Wasser.7 7 Hg.7 6 Bei einer Vergrößerung der Oberfläche u A leisten wir die Arbeit W : hydrophob - hydrophil - = W A [ ] = J = N Oberflächenenergiedichte Grenflächen- Spannung F s Tenside (Seifenanionen) 5 Grenflächen Überdruck in Seifenblase Grenflächen Miniale Oberflächen Kugelvoluen Kugeloberfläche V K = / A K = V K = A K =8 p p Bei positiver Oberflächenspannung versucht die Flüssigkeit eine For inialer Oberfläche einunehen. W = V p = p W = A = 6 } p = / 6

5 Benetung Kohäsion Adhäsion Grenflächenspannung p= Kapillarität cos ' = r j r!! r Kraftwirkung durch die Oberflächenspannung F = r Steighöhenethode = = gh r/ cos '! h= cos ' r g 7 Grenflächenspannung wischen verschiedenen Phasen 9 Grenflächenspannung Tropfen Grenfl achenspannung: ik = ik die Energie dw, die notwendig ist u die Grenfl ache wischen den Phasen i und k u eine Fl ache da u vergr oßern. Die Gr oße von ik bestit den Kontaktwinkel an einer Grenfl ache. d π ist der Ufang der Grenlinie Σ gas Σ liquid Σ liquid gas " Σ " Σ Σ Σ Σ solid d sin = g solid bei Abreissen des Tropfens geht α auf 9 Grad. Σ 8

6 Gedäpfter Osillator ÿ + ẏ +! y = Kapitel 8 Mechanische Schwingungen k.y <! y(t) =Ae t cos (! t + ')! = q! charakteristische Däpfungseit : = Mechanische Schwingungen freier Osillator Gedäpfter Osillator ÿ + ẏ +! y =! Zugspannung = F apple A = N! Elastiitätsodul <! =! >! schwache Däpfung g = w = 5 v =.5 aperiodischer Grenfall g = 5 w = 5 v =.5 starke Däpfung g = 5 w = 5 v = k.y k s H - - g y> y< ÿ +! y = y(t) =A cos (! t + ') y'@td t Hs 8 6 schwache Däpfung q! =! t Hs g = w = 5 v = y'@td. t Hs aperiodischer Grenfall g = 5 8 w = 5 6 v = t Hs. t Hs starke Däpfung g = 8 w = 5 6 v = y'@td t Hs q =! haronischer Osillator it Eigenfrequen! y(t) =Ae t cos (! t + ') y(t) =v t exp[ t] y(t) = v e t e t e t

7 F Æ Getriebener Osillator stationärer Fall Getriebener Osillator Einschwingvorgang w w e F Æ w we ÿ +! y + ẏ = F cos! e t stationärer Fall y(t) =A cos (! e t + ') A = F / q (!! e) +! e ' = arctan! e /(!! e) 5 Aplitude Aplitude y Ht +. y Ht + yht á cosh. t 6 8 y Ht +. y Ht + yht á cosht Aplitude Aplitude y Ht +. y Ht + yht á cosh. t y Ht +. y Ht + yht á cosh t Getriebener Osillator esonanverhalten Paraetrischer Osillator ineare Näherung F Æ r Ω `(t) = ` + r cos (! e t + ) = ` [ + cos (! e t + )] φ w w e stationärer Fall w = g=. w = ' + ' + (t) ' = A F ê g=.5 g=.5 g= wêw j g= g=.5 g=.5 g=. wêw (t) = r apple g `(t)! cos (! et + ) Matthieusche Di erentialgl. 6 8

8 Paraetrischer Osillator esonanverhalten Gekoppelte Pendel Schwebungen r Ω φ Die Energieufuhr durch die von außen erwirkte ängenänderung wird optial, wenn die treibende Frequen! e das Doppelte der Eigenfrequen! ist. j Ht +. j Ht + jht H -. cosht á. j Ht +. j Ht + jht H -. cosh t á. jht Aplitude änge des Pendels jht Aplitude - änge des Pendels Mechanische Schwingungen gekoppelte Osillatoren Noraloden Molekülschwingungen k k k CO Ν H O Ν = k + k ( ) = k k ( ) Ν Ν Ν Ν Noralschwingungen (Eigenschwingungen) neue Koordinaten: ( + )/ beschreibt die Bewegung des Schwerpunktes beider Massen, ( ) die Dehnung der Feder wischen beiden Massen. N Atoe haben N Freiheitsgrade - für Translation verbleiben N- für innere FG oder für otation, der est für Schwingungen

9 Überlagerung von Schwingungen Schwebungen Überlagerung von Schwingungen rationale Verhältnisse a φ x t a Π Π Π x t cos Ω t Π Π Π Π Teiler = ê5! = Teiler = ê7 Teiler = ê a a Π Π Π c c x t Π Π Π φ φ x t gleiche Frequenen x t cos Ω t Π Π Π Π E x t Π Π Π Π ungleiche Frequenen tie tie cos! t + cos 5! t cos! t + cos! t cos! t + cos! t 7 - tie 5 Überlagerung von Schwingungen issajous-figuren Überlagerung von Schwingungen Vielfache Sin Ωt φ φ 5 φ 9 φ 5 φ 8 Ω Ω Sin Ωt φ φ 5 φ 9 φ 5 φ 8 Sin 5Ωt Ω Ω Ω Ω φ φ 5 φ 9 φ 5 φ 8 X f(t) =a + a n cos (n!t + ' n ) n= Sin 7Ωt Sin 9Ωt Sin Ωt Ω Ω φ φ 5 φ 9 φ 5 φ 8 Sin Ωt t Π t Π t 6Π t 8Π t Π Sin 5Ωt Ω Ω.69 5 Sin n n n 6

10 Fourier Zerlegung periodische Funktionen Fourier Zerlegung so-in-etwa periodische Funktionen f(t) = sinht w + sinh t w + sinh5 t w + sinh7 t w + sinh9 t w + sinh t w + sinh t w f@td X n= n n = sin [(n )!t] f@wd = n =. 6 8 haronische - g =. w = 5 v = 5 t Hs..5. fhw.5 fhw frequency w g = w = 5 v = 5 t Hs frequency w fhw. g = 5 w = 5 v = 5 t Hs frequency w 7 9 Fourier Zerlegung periodische Funktionen f(t) = X n= n sin [(n)!t] sinh t w + sinh t w + sinh6 t w + sinh8 t w + sinh t w + sinh t w + sinh t w 6 8 f@td n = f@wd n =. 6 8 haronische =7 8