Mathematik für Ingenieure

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1 Mathematik für Ingenieure

2 Klaus Dürrschnabel Mathematik für Ingenieure Eine Einführung mit Anwendungsund Alltagsbeispielen 2., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM

3 Klaus Dürrschnabel, Karlsruhe, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden 2004, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Kerstin Hoffmann Einbandentwurf: KünkelLopka GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Vorwort zur 2. Auflage Viele Studienanfänger haben Probleme mit Mathematik. Die abstrakten Inhalte fallen den Studierenden zunehmend schwer. Hinzu kommt, dass angehende Ingenieure keine Studienanfänger des Studienfachs Mathematik sind, sondern die unbestritten notwendige Mathematik nur als Hilfswissenschaft einsetzen. Aus dieser Tatsache resultiert ein gewisses Motivationsproblem für dieses Fach, welches es zusätzlich zu überwinden gilt. Eine weitere Schwierigkeit bilden die zunehmend heterogenen Vorkenntnisse der Studienanfänger. Der Mathematikunterricht in der Schule hat sich auch infolge der internationalen Studien grundlegend gewandelt. Aufgrund der veränderten Unterrichtsmethoden mit Projekten und selbstentdeckendem Lernen sowie der vermehrt um sich greifenden Verkürzung der Gymnasialzeit wurden die Bildungspläne inhaltlich ausgedünnt. Themen wie Logarithmusfunktion, Kreisund Kugelgleichung, Quotientenregel der Differenzialrechnung oder Matrizenrechnung dürfen an der Hochschule nicht mehr als selbstverständlich bekannt vorausgesetzt werden. Dieses Buch möchte den Studienanfängern eine Hilfe beim Einstieg in die sog. Höhere Mathematik bieten. Dabei orientiert sich das Vorgehen an folgender Strategie: Zunächst wird in Anwendungsbeispielen formuliert, wozu die neu einzuführende Theorie überhaupt gewinnbringend eingesetzt werden kann. Es werden Fragen aus Technik und Alltag gestellt, die es zu beantworten gilt. In einem zweiten Schritt wird die grundlegende Idee der Theorie entwickelt, um erst anschließend die abstrakten mathematischen Definitionen und Sätze zu formulieren. Schließlich werden Beispiele gerechnet und insbesondere die anfangs aufgeworfenen Fragestellungen mit Hilfe der entwickelten Mathematik gelöst. Gegebenenfalls wird die Theorie noch weiter geführt und für spezielle, beispielhafte Anwendungen konkretisiert. Die vielfältigen Anwendungsbeispiele kommen gewöhnlich nicht aus einem speziellen Ingenieurbereich. Vielmehr wurden sie überwiegend aus dem Alltag und dem physikalischen Umfeld gewählt. Zum einen kann man davon ausgehen, dass diese Beispiele für die Studierenden jeder Ingenieurrichtung verständlich und von Interesse sind, zum anderen sind sie sehr anschaulich und belegen, wie unser Alltag mit Mathematik durchzogen ist. So ist es sicher für viele überraschend, dass das Phänomen des Regenbogens mit Hilfe der Differenzialrechnung erklärt werden kann (Kapitel 12.3) oder dass man mit Hilfe von Potenzreihen im freien Feld große Kreise in einer einfachen Weise ohne Zirkel bestimmen kann (Kapitel ). Sehr wohl orientieren sich aber die mathematischen Inhalte an den erforderlichen mathematischen Kenntnissen, welche für das erfolgreiche Absolvieren eines Ingenieurstudiums benötigt werden. Das mathematische Kalkül ist in diesem Buch bewusst knapp gehalten. Wo immer möglich, wird auf den mathematischen Formalismus verzichtet. Die Mathematiker mögen mir verzeihen, dass in mathematischen Sätzen die benötigten Voraussetzungen nicht alle exakt formuliert, sondern die Inhalte auf die zentralen Aussagen reduziert sind. In Anbetracht der Zielgruppe erscheint

5 VI mir dieses Vorgehen legitim. Es werden darüber hinaus nur die unbedingt notwendigen und in den Ingenieurwissenschaften allgemein verwendeten mathematischen Zeichen und Symbole eingeführt. Wo immer möglich, habe ich stattdessen eine Beschreibung mittels Alltagssprache gewählt. Computeralgebrasysteme halten vermehrt Einzug in den Schul- und Hochschulbereich. Den neuen Möglichkeiten dieser Programmsysteme wird in diesem Buch Rechnung getragen, indem Beispiele und Aufgaben auch mit Hilfe von Computeralgebrasystemen gelöst und mathematische Sachverhalte damit visualisiert werden. Gerade der Einsatz von derartigen Systemen erlaubt es auch, gewisse rechenintensive Inhalte und Themen abzukürzen. So wurde z. B. das Thema Differenzialgleichungen auf das unbedingt erforderliche Maß beschränkt. Die einzelnen Abschnitte werden durch Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades abgerundet, deren Ergebnisse im Anhang zu finden sind. Auf vielfachen Wunsch wurden für die Neuauflage ausführliche Lösungen erstellt, welche als Zusatzmaterial auf der Website des Buches unter abrufbar sind. Zum Schluss möchte ich mich bei verschiedenen Personen bedanken, die mich während der Erstellung dieses Buches unterstützt haben. Hier sind zuerst die Studierenden und Leser zu nennen, die dieses Buch dankbar angenommen und mich auf einige Unzulänglichkeiten in der Erstauflage hingewiesen haben. Meinen Kolleginnen und Kollegen danke ich für Anregungen und Korrekturhinweise, dem Verlag für die reibungslose Zusammenarbeit. Nicht zuletzt möchte ich mich bei meiner Frau Simone und meinen Kindern bedanken, die während der Erstellung des Buches etliche Entbehrungen in Kauf nehmen mussten. Karlsruhe, im April 2012 Klaus Dürrschnabel

6 Inhaltsverzeichnis 1 Zahlenbereiche Mengen Natürliche,ganzeundrationaleZahlen ReelleZahlen KomplexeZahlen Funktionen FunktionenalsModellederWirklichkeit DerFunktionsbegriff EigenschaftenvonFunktionen UmkehrbareFunktionen VerkettungvonFunktionen BeschränktheitundabsoluteExtrema Monotonie Elementare Funktionen Signum- und Betragsfunktion GanzerationaleFunktionen Modellierung realer Vorgänge mittels Potenzfunktionen Definition ganzer rationaler Funktionen AffineFunktionen QuadratischeFunktionen GanzerationaleFunktionenbeliebigenGrades GebrochenerationaleFunktionen AllgemeinePotenz-undalgebraischeFunktionen Trigonometrische Funktionen Trigonometrie Trigonometrische Funktionen Inverse trigonometrische Funktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Allgemeine und natürliche Exponentialfunktion Logarithmusfunktionen HyperbolischeFunktionen DieEuler scheformel... 81

7 VIII Inhaltsverzeichnis 4 Lineare Gleichungssysteme Problemstellung DasGauß scheeliminationsverfahren Vektorrechnung Vektorielle Größen in Alltag und Technik Vektoren im Anschauungsraum AllgemeineVektorräume LineareAbhängigkeitundUnabhängigkeit BasisundDimension Produkte von Vektoren Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt Das Spatprodukt Analytische Geometrie ProblemeimRaum ParameterdarstellungvonGeraden ParameterdarstellungvonEbenen Hyperebenen in Gleichungsform Schnittprobleme Abstandsberechnungen Winkelberechnungen KreisundKugel Matrizen TransformationeninderEbeneundimRaum Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation InvertierenvonMatrizen Koordinatentransformation Abbildungen Abbildungen in der Ebene Abbildungen im Raum Determinanten Eigenwerte Problemstellungen in der Anwendung EigenwerteundEigenvektoren Grenzwerte Folgen DerGrenzwertbegriffbeiFolgen Die Euler sche Zahl e...242

8 Inhaltsverzeichnis IX 10.4DerGrenzwertbegriffbeiFunktionen Stetigkeit Differenzialrechnung Der Ableitungsbegriff DasTangentenproblem DieMomentangeschwindigkeit Die Ableitungsfunktionen Weitere Anwendungen Ableitungsregeln Notwendigkeit von Ableitungsregeln Grundlegende Eigenschaften der Ableitung AbleitungelementarerFunktionen Produkt- und Quotientenregel Kettenregel AbleitungderUmkehrfunktion Weitere Ableitungen elementarer Funktionen Beispiele Mittelwertsatz und stetige Differenzierbarkeit Anwendungen der Differenzialrechnung Monotonieuntersuchungen Extremwertprobleme Der Regenbogen Wendepunkte und Kurvendiskussion Regel von Bernoulli-de l Hospital DasNewton-Verfahren Unbestimmtes Integral Stammfunktionen und unbestimmtes Integral Integrationsmethoden Produktintegration Substitutionsregel Partialbruchzerlegung Bestimmtes Integral Flächeninhaltsproblem und Definition des bestimmten Integrals Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Uneigentliche Integrale Numerische Integration Problemstellung Trapezregel Kepler-FassregelundSimpson-Regel...356

9 X Inhaltsverzeichnis 16 Anwendungen der Integralrechnung Flächenberechnungen VoluminavonRotationskörpern Physikalische Anwendungen DieArbeit HydrostatischerDruck Schwerpunkt Wahrscheinlichkeitsrechnung Reihen DerReihenbegriff Konvergenzkriterien Potenzreihen DerBegriffderPotenzreihe PotenzreihenundFunktionen DerSatzvonTaylor Wichtige Potenzreihenentwicklungen Exponentialreihe Trigonometrische Reihen HyperbolischeReihen Logarithmusreihe BinomischeReihe Anwendungen Näherungsweise Berechnung von Funktionswerten Grenzwertberechnung IntegrationelementarnichtintegrierbarerFunktionen KlassischeundrelativistischekinetischeEnergie Viertelsmethode zum Abstecken von Kreisbögen Fourier-Reihen und Fourier-Transformation Trigonometrische Reihen Fourier-Reihen KomplexeSchreibweisederFourier-Reihen Fourier-Transformation Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher FunktionenmehrererVeränderlicher DerStetigkeitsbegriff Partielle Ableitungen TotalesDifferenzial DieIdeedestotalenDifferenzials Anwendung: Fehlerrechnung AbleitungimpliziterFunktionen Richtungsableitung...474

10 Inhaltsverzeichnis XI 20.6 Partielle Ableitungen höherer Ordnung DivergenzundRotation Extrema bei Funktionen mehrerer Veränderlicher Extrema ohne Nebenbedingungen Anwendung: Lineare Regression Extrema mit Nebenbedingungen Mehrfache Integrale Bereichsintegrale Berechnung von Bereichsintegralen über Normalbereichen MehrfacheIntegraleinPolar-,Zylinder-undKugelkoordinaten Allgemeine Kurven DerKurvenbegriff TangentenvektorundTangente BogenlängeundBogenlängenparametrisierung DieKrümmung DasallgemeineKurvenintegral Gewöhnliche Differenzialgleichungen Der Begriff der Differenzialgleichung Explizite Differenzialgleichung erster Ordnung GeometrischeLösung Lösung durch Trennung der Veränderlichen Lineare Differenzialgleichung erster Ordnung Schwingungsdifferenzialgleichung Anhang 585 Lösungen der Aufgaben 587 Sachverzeichnis 623

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