Technische Hochschule Köln Cologne University of Applied Sciences

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1 echische Hochschle öl Coloe Uiersity of Applied cieces Fakltät für Iformatios-, Medie- d Elektrotechik arameterschätz d Eistellreel für I- d ID-eler mit Hilfe der Wedetaete bzw. Asymptote a die Überasfktio für roportioal- d Iteralstrecke rof. Dr. I. H. M. chaedel tad: Oktober 05 Copyriht by rof. Dr.-I. H.M. chaedel, öl 00/0

2 . Eileit Zieler d Nichols habe mit ihre Eistellreel ezeit, dass die Iformatio as der Wedetaete a die Überasfktio zr elerdimesioier erwedet werde ka. Ihre Utersche stützte sich af trecke erster Ord mit otzeit ( - t ). Für eie Überasfktio höherer Ord erweist sich die - t -Approximatio als zreiched. Offesichtlich ibt es eie aze char o möliche Überasfktioe erschiedeer Ord d otzeit mit idetischer Verzszeit d Asleichszeit. Um die spezifische Überasfktio ierhalb der möliche Fktioserläfe z lokalisiere, wird ei zsätzlicher arameter beötit. Bild : pratwort eier Verzöersstrecke d Näher drch eie - t -tecke mit idetischem d. roportioalstrecke. arameterschätz für Verzöersstrecke höherer Ord mit otzeit mit über die Wedetaete a die Überasfktio Das roblem sollte as der icht der rozessidetifikatio betrachtet werde. Ei sioller eleretwrf wird r af der Basis der Wedetaete mölich sei, we eie asreiched eae Idetifikatio der treckeparameter erzielt werde ka. Bild zeit die ormierte mmezeitkostate / als Fktio der ormierte Verzszeit µ / für die typische rozesse ach abelle. Der otzeitterm wird über eie aylor-eihe eähert. abelle. Eistellreel ach Zieler d Nichols -eler I-eler 0,9,

3 ID-eler, 0,5 G s e G 4 abelle : Übertrasfktioe für typische trecke st ( ) G ( s) G ( s) +t s ( +τ s )( +ατ s ) ( s) G 5 ( s) ( +τ s ) i τ + s i i e mit α t +αt s t ( s )( s ) Es eribt sich eie reschar, die am obere ad drch die - t -trecke (G ) d am tere ad drch die -trecke (G 4 ) berezt wird. Af der like eite ist für kleie Verhältisse µ / das Gebiet drch de Übera o de trecke erster zr zweite Ord mit terschiedliche Zeitkostate (G ) berezt. Um für ei eebees Verhältis µ / die mmezeitkostate z bestimme, ist eie zsätzliche Iformatio erforderlich. Für die praktische Awed mss diese Iformatio af eifache Weise as der Überasfktio etomme werde köe. Es liet ahe, hierz de Wert der Überasfktio zm Zeitpkt t + z wähle. Dieser Afbawert h x h( + ) ka mit ter Geaikeit ermittelt werde, ach we das ial estört ist. Die eifachste Näher für die Überasfktio ist der olyoz über die Wedetaete. I s s G ( s) e ( e ) mit I () s Dies ka als Überlaer o zwei Iteralterme mit erschiedee otzeite d t + realisiert werde. Dieser Asatz wird drch die Eiführ eier Verzöer i de zweite Iteralterm eräzt. I s I st G ( s) e e () s s ( +t s) Die arameter d t müsse so aepasst werde, dass die Überasfktio der Näher drch de Afbawert h x h( + ) der z approximierede Überasfktio eht. Hieras fidet sich eie Bezieh zwische der Zeitkostate t als Fktio des Afbawerts h x. Mit der Verzszeit, der Asleichszeit d dem Afbawert h x h( + ) lasse sich die charakteristische arameter der trecke d schätze. arameterschätz arameterschätz arameterschätz ( µ + Σ A ) ( ) µ + Σ A ( ) Σ µ + A µ µ + 0, 48A Σ, Σ µ µ + 0, 7A Σ 4, Σ µ A A 8 ( ) Σ + µ +

4 Für µ>0, µ µ 6 ( -0,) Σ Σ 4, ( µ + 0, 6A ) Σ 0 ; µ 0 Für µ>0, µ µ 6 ( -0,) Σ Σ 4, ( µ + 0, 7A ) Σ 0 ; µ 0 ( A) µ A - 05 ( - ) A -, Σ + µ + µ - A 6 4 wobei ( x ) ; A 0,5( + H ) H e h Verzszeit; Asleichszeit µ / ; h x h( + ) Afbawert. elereistelle für roportioalstrecke über die Wedetaete a die Überasfktio eler Führ / tör 0,586A 0,5+ µ D eler Führ / tör 0,7A µ 0, 45A,5 A + 0, 6µ ; τ 0, I eler Führ / tör I 0,5 A ( µ + ) I eler Führ tör 0,75 0,88A + µ 0, A + µ A +,4µ ( µ + A) A +, 7µ A + 0, µ A 4 +,µ 4

5 ID eler Führ 0,5 µ + 0, 7A µ 0,08 9 für µ < 0, für µ > 0, tör, A µ ( 0,5µ ) + A, 7A A + 0,86µ µ + 0,A 0, µ + 0,A 4 0,55A A + 0, 5µ ; τ 0,,5 ; τ 0, 5

6 . Iteralstrecke. arameterschätz über die aete a die Überasfktio ( eh) wobei ( ) h h I. elereistelle für Iteralstrecke über die Asymptote a die Überasfktio h(t) h(t m ) I h( ) t m Bild. Überasfktio eier I -trecke t Die Überasfktio der I-trecke wird drch eie I-t-trecke aeähert (Iteralstrecke mit Verzöer. Ord d otzeit). Ei chätzwert für die mmezeitkostate Σ ka as dem Wert der Überasfktio h( ) ermittelt werde, -eler tör/ Führ 0,5 Btterworth I 0,75 IAE I 0, IAE 6

7 D-eler Führ 0,75 I eh charfer Etwrf schebyscheff 0,5db 0,5 eh ( ) 0,5 I 0, eh Btterworth 0, eh I-eler tör 0,7 I schebyscheff 0,db, 0,69 I IAE,8 ID-eler parallel, tör 0,69 ( ) I eh Btterworth, 44 eh ( ) ( )( ) 0, 5 eh + 5,8eh ID-eler parallel, tör, 4 ( ) I eh IAE,58 eh ( ) ( )( ) 0,5 eh +,eh ID-eler parallel tör 7

8 0,864 ( ) I eh, 48( ) ( )( ) eh 0,7 eh +,6eh schebyscheff 0,db 8