Vorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1

Transkript

1 5 Logik, Teil 1 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer Oktober 2008 Kap. 5: Logik, Teil 1 1

2 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Kap. 5: Logik, Teil 1 2

3 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Objekte (Variablen), mit denen wir hantieren, sind Aussagen Kap. 5: Logik, Teil 1 2

4 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Objekte (Variablen), mit denen wir hantieren, sind Aussagen hier setzen wir Großbuchstaben für Aussagen: A, B, C Kap. 5: Logik, Teil 1 2

5 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Objekte (Variablen), mit denen wir hantieren, sind Aussagen hier setzen wir Großbuchstaben für Aussagen: A, B, C Verknüpfungen von Aussagen ergeben wieder Aussagen, etc. Kap. 5: Logik, Teil 1 2

6 Verknüpfungen Verknüpfungen ähnlich +,, etc. auf Zahlen aber: zunächst erfreulich einfach, weil Ergebnistabellen klein sind Kap. 5: Logik, Teil 1 3

7 Verknüpfungen Verknüpfungen ähnlich +,, etc. auf Zahlen aber: zunächst erfreulich einfach, weil Ergebnistabellen klein sind einfachste Operation: Negation A A false true true false Kap. 5: Logik, Teil 1 3

8 UND und ODER die Und -Verknüpfung heißt auch Konjunktion: A B A B false false false false true false true false false true true true Kap. 5: Logik, Teil 1 4

9 UND und ODER die Und -Verknüpfung heißt auch Konjunktion: A B A B false false false false true false true false false true true true die Oder -Verknüpfung heißt auch Disjunktion: A B A B false false false false true true true false true true true true Kap. 5: Logik, Teil 1 4

10 Implikation und Äquivalenz Gewöhnungsbedürftiger ist die Implikation ( Aus A folgt B ): A B A B false false true false true true true false false true true true Kap. 5: Logik, Teil 1 5

11 Implikation und Äquivalenz Gewöhnungsbedürftiger ist die Implikation ( Aus A folgt B ): A B A B false false true false true true true false false true true true und noch eine Verknüpfung mit Namen, die Äquivalenz: A B A B false false true false true false true false false true true true Kap. 5: Logik, Teil 1 5

12 Zweistellige Verknüpfungen Wie viele 2-stellige Verknüpfungen gibt es eigentlich? Kap. 5: Logik, Teil 1 6

13 Zweistellige Verknüpfungen Wie viele 2-stellige Verknüpfungen gibt es eigentlich? nur vier verschiedene Kombinationsmöglichkeiten für jede nur 2 verschiedene Werte zur Auswahl Kap. 5: Logik, Teil 1 6

14 Zweistellige Verknüpfungen Wie viele 2-stellige Verknüpfungen gibt es eigentlich? nur vier verschiedene Kombinationsmöglichkeiten für jede nur 2 verschiedene Werte zur Auswahl demnach nur 2 4 verschiedene 2-stellige Verknüpfungen Kap. 5: Logik, Teil 1 6

15 Zweistellige Verknüpfungen Wie viele 2-stellige Verknüpfungen gibt es eigentlich? nur vier verschiedene Kombinationsmöglichkeiten für jede nur 2 verschiedene Werte zur Auswahl demnach nur 2 4 verschiedene 2-stellige Verknüpfungen weitere bekannte: NAND, NOR, XOR Kap. 5: Logik, Teil 1 6

16 Umformungsgesetze und Rechenregeln Herleiten z.b. durch Aufstellen der Wahrheitstafeln (ggf. auch die der vorkommenden Teilausdrücke) Kap. 5: Logik, Teil 1 7

17 Umformungsgesetze und Rechenregeln Herleiten z.b. durch Aufstellen der Wahrheitstafeln (ggf. auch die der vorkommenden Teilausdrücke) z.b. ist für beliebige A und B A B gleichwertig mit (A B) (B A): Kap. 5: Logik, Teil 1 7

18 Umformungsgesetze und Rechenregeln Herleiten z.b. durch Aufstellen der Wahrheitstafeln (ggf. auch die der vorkommenden Teilausdrücke) z.b. ist für beliebige A und B A B gleichwertig mit (A B) (B A): A B A B B A (A B) (B A) A B false false true true true true false true true false false false true false false true false false true true true true true true Kap. 5: Logik, Teil 1 7

19 Umformungsgesetze und Rechenregeln (2) die Implikation A B lässt sich auch ausdrücken als ( A) B: A B A ( A) B A B false false true true true false true true true true true false false false false true true false true true Kap. 5: Logik, Teil 1 8

20 Kommutativität und Assoziativität es gibt gleich zwei Kommutativgesetze: A B = B A (1) A B = B A (2) Kap. 5: Logik, Teil 1 9

21 Kommutativität und Assoziativität es gibt gleich zwei Kommutativgesetze: A B = B A (1) A B = B A (2) und ebenso zwei Assoziativgesetze: (A B) C = A (B C) (3) (A B) C = A (B C) (4) (also genau wie bei + und ) Kap. 5: Logik, Teil 1 9

22 Distributivgesetz und de morgansche Regeln es gibt zwei(!) Distributivgesetze: (A B) C = (A C) (B C) (5) (A B) C = (A C) (B C) (6) Kap. 5: Logik, Teil 1 10

23 Distributivgesetz und de morgansche Regeln es gibt zwei(!) Distributivgesetze: (A B) C = (A C) (B C) (5) (A B) C = (A C) (B C) (6) und die de morganschen Regeln: (A B) = ( A) ( B) (7) (A B) = ( A) ( B) (8) Kap. 5: Logik, Teil 1 10

24 Weitere Regeln Unspektakulär, aber nützlich und oft benötigt: ( A) = A (9) A A = A (10) A A = A (11) Kap. 5: Logik, Teil 1 11