Tutoraufgabe 1 (Floyd-Warshall):

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1 für Informatik Prof. aa r. Ir. Joost-Pieter Katoen atenstrukturen und lgorithmen SS hristian ehnert, Friedrich Gretz, enjamin Kaminski, Thomas Ströder Tutoraufgabe (Floyd-Warshall): etrachten Sie den folgenden Graphen: Führen Sie den lgorithmus von Floyd auf diesem Graphen aus. Geben Sie dazu nach jedem urchlauf der äußeren Schleife die aktuellen ntfernungen in einer Tabelle an. ie erste Tabelle enthält bereits die djazenzmatrix nach ildung der reflexiven Hülle.er intrag in der Zeile i und Spalte j ist also, falls es keine Kante vom Knoten der Zeile i zu dem Knoten der Spalte j gibt, und sonst das Gewicht dieser Kante. eachten Sie, dass in der reflexiven Hülle jeder Knoten eine Kante mit Gewicht 0 zu sich selbst hat Lösung:

2 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Tutoraufgabe (Ford-Fulkerson): etrachten Sie das folgende Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t:

3 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS 0/ 0/ 0/ s t 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ erechnen Sie den maximalen Fluss in diesem Netzwerk mithilfe der Ford-Fulkerson Methode. Geben Sie dazu jedes Restnetzwerk (auch das initiale) sowie nach jeder ugmentierung den aktuellen Zustand des Flussnetzwerks an. Geben Sie außerdem den Wert des maximalen Flusses an. ie vorgegebene nzahl an Lösungsschritten muss nicht mit der benötigten nzahl solcher Schritte übereinstimmen. Lösung: Schritt 0: Initiales Flussnetzwerk: 0/ 0/ 0/ s t 0/ 0/ 0/ 0/ 0/

4 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / s t s t 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / s t s t / / 0/ 0/ 0/

5 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / s t s t / / / 0/ / Schritt : Schritt 8: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / 0/ / s t s t / / / / /

6 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt 9: s t er maximale Fluss hat den Wert: Tutoraufgabe (Flussnetzwerke): Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Graphen um Flussnetzwerke handelt. a) 9 s 8 t 9 9 b)

7 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS 9 s 8 t 9 9 c) 9 8 s t 0 Lösung: a) ei diesem Graphen handelt es sich nicht um ein Flussnetzwerk, da der Knoten nicht auf einem Pfad von der Quelle zur Senke liegt. b) ei diesem Graphen handelt es sich nicht um ein Flussnetzwerk, da die Kante (, ) eine negative Kapazität, nämlich, hat. c) ei diesem Graphen handelt es sich um ein Flussnetzwerk, da alle Kapazitäten nichtnegativ sind, lediglich vorhandene Kanten mit einer Kapazität ungleich 0 versehen sind, und alle Knoten auf einem Pfad von der Quelle zur Senke liegen. Tutoraufgabe (igenschaften von Flüssen): eweisen Sie die folgenden ussagen über einen Fluss f und ein Flussnetzwerk G(V,, c) mit Quelle s und Senke t: a) Für alle X, Y V gilt: f (X, Y ) = f (Y, X)

8 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS b) Für alle X, Y, Z V mit X Y = gilt: f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) c) Sei (S,T) ein Schnitt über G, so gilt: f (S, T ) = f d) Sei (S,T) ein Schnitt über G, so gilt: f c(s, T ) Lösung: ie folgenden ussagen waren zu beweisen: a) Für alle X, Y V gilt: f (X, Y ) = f (Y, X) b) Für alle X, Y, Z V mit X Y = gilt: f (X, Y ) = f (x, y) x X y Y = f (y, x) x X y Y = f (y, x) x X y Y = f (y, x) y Y x X = f (Y, X) f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) f (X Y, Z) = f (x, y) x X Y y Z = f (x, y) + f (x, y) x X y Z x Y y Z = f (X, Z) + f (Y, Z) X Y = c) Sei (S,T) ein Schnitt über G, so gilt: f (S, T ) = f f (S, T ) = f (S, V ) f (S, V T ) f (S, V ) = f (S, T ) + f (S, V T ) mit S T = V = f (S, V ) f (S, S) f (X, X) = 0 = f (S, V ) f (X Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z) = f (s, V ) + f (S {s}, V ) Flusserhaltung = f (s, V ) = f 8

9 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS d) Sei (S,T) ein Schnitt über G, so gilt: f c(s, T ) f = f (S, T ) = f (x, y) x S y T c(x, y) x S y T = c(s, T ) ufgabe (Floyd-Warshall): etrachten Sie den folgenden Graphen: ( Punkte) Führen Sie den lgorithmus von Floyd auf diesem Graphen aus. Geben Sie dazu nach jedem urchlauf der äußeren Schleife die aktuellen ntfernungen in einer Tabelle an. ie erste Tabelle enthält bereits die djazenzmatrix nach ildung der reflexiven Hülle.er intrag in der Zeile i und Spalte j ist also, falls es keine Kante vom Knoten der Zeile i zu dem Knoten der Spalte j gibt, und sonst das Gewicht dieser Kante. eachten Sie, dass in der reflexiven Hülle jeder Knoten eine Kante mit Gewicht 0 zu sich selbst hat

10 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Lösung: ufgabe (Ford-Fulkerson): etrachten Sie das folgende Flussnetzwerk mit Quelle s und Senke t: (9 Punkte) 0

11 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ erechnen Sie den maximalen Fluss in diesem Netzwerk mithilfe der Ford-Fulkerson Methode. Geben Sie dazu jedes Restnetzwerk (auch das initiale) sowie nach jeder ugmentierung den aktuellen Zustand des Flussnetzwerks an. Geben Sie außerdem den Wert des maximalen Flusses an. ie vorgegebene nzahl an Lösungsschritten muss nicht mit der benötigten nzahl solcher Schritte übereinstimmen. Lösung: Schritt 0: Initiales Flussnetzwerk: 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/

12 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: 0/ 0/ 0/ / 0/ 0/ / 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/

13 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: 0/ 0/ 0/ 0/ / 0/ / 0/ / / 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/ 0/

14 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: 0/ 0/ 0/ 0/ / 0/ / 0/ / / 0/ / 0/ 0/ / 0/ 0/ 0/

15 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt 8: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: 0/ / 0/ / 0/ 0/ / / / / 0/ / 0/ 0/ / 0/ 0/ 0/

16 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt 9: Schritt 0: Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: 0/ / 0/ 0/ / 0/ / / / / 0/ / 0/ / / 0/ 0/ 0/

17 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: 0/ / 0/ 0/ / 0/ / / / / 0/ / 0/ / / / 0/ /

18 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / / / 0/ / 0/ / / / / 0/ / 0/ / / / 0/ / 8

19 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : Schritt : Nächstes Flussnetzwerk mit aktuellem Fluss: / / / 0/ / 0/ / / / / / / 0/ / / / / / 9

20 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS Schritt : er maximale Fluss hat den Wert: 0 ufgabe (Flussnetzwerke): ( + + Punkte) Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Graphen um Flussnetzwerke handelt. egründen Sie Ihre ntwort. a) 9 s 8 t 9 9 b) 0

21 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS 9 s 8 t 9 9 c) 9 8 s t 0 Lösung: a) ei diesem Graphen handelt es sich nicht um ein Flussnetzwerk, da die Kante (, ) eine negative Kapazität, nämlich, hat. b) ei diesem Graphen handelt es sich nicht um ein Flussnetzwerk, da die Knoten, und nicht auf einem Pfad von der Quelle zur Senke liegen. c) ei diesem Graphen handelt es sich um ein Flussnetzwerk, da alle Kapazitäten nichtnegativ sind, lediglich vorhandene Kanten mit einer Kapazität ungleich 0 versehen sind, und alle Knoten auf einem Pfad von der Quelle zur Senke liegen. ufgabe 8 (Flussnetzwerke und Flüsse): (0 Punkte) a) eweisen oder widerlegen Sie, dass es sich bei dem Graphen zusammen mit der Kapazitätsfunktion G = (V, ) V = N { } = {(x, y) x < y} c : V V R, (u, v) { v, falls v = u +, 0, andernfalls.

22 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS um ein Flussnetzwerk handelt. Geben Sie für den Fall, dass es sich bei G um ein Flussnetzwerk handelt, die Quelle und die Senke des Flussnetzwerkes an. b) etrachten Sie das Flussnetzwerk G aus Teil a). eweisen oder widerlegen Sie, dass es sich bei der Funktion, falls v = u +, f : V V R, (u, v), falls u = v +, 0, andernfalls. um einen Fluss in G handelt. Hinweis: iese ufgabe wirkt schwerer als sie ist. Zu ihrer Lösung sind größtenteils lediglich efinitionen ineinander einzusetzen. Ziel ist es, Ihnen den Schrecken vor solch kompliziert wirkenden ufgaben (wie beispielsweise der Treap-ufgabe in der Präsenzübung) zu nehmen. Lösung: a) ei G handelt es sich um ein Flussnetzwerk mit der Quelle 0 und der Senke. Wir zeigen dazu zunächst, dass sich jeder Knoten v N { } auf einem Pfad von der Quelle zur Senke befindet: Sei dafür v N \ {0} ein beliebiger Knoten, der nicht die Quelle oder die Senke ist. ann gilt 0 < v < und damit existieren laut definition von zwei Kanten (0, v) und (v, ) und damit auch ein Pfad (0, v, ). Somit liegt jeder Knoten auf einem Pfad von der Quelle 0 zur Senke. ls nächstes Zeigen wir, dass die Kapazitätsfunktion c den nforderungen an ein Flussnetzwerk entspricht: Für alle (u, v) V V gilt c(u, v) 0 und damit gilt insbesondere auch für alle (u, v), dass c(u, v) 0. Sei (u, v). ann gilt: (u, v) = u v = v u + = c(u, v) = 0 b) ei der Funktion f handelt es sich um einen Fluss. azu zeigen wir, dass die drei an einen Fluss gestellten Forderungen gelten: eschränkung: Sei u < v. ann folgt, dass v ist. amit gilt c(u, v) und damit auch f (u, v) c(u, v), da f maximal den Wert annehmen kann. Sei nun u v. ann gilt f (u, v) 0 und damit wiederum f (u, v) c(u, v), da c mindestens 0 ist. symmetrie: Sei v = u +. ann gilt f (u, v) =. ann gilt aber auch f (v, u) =, denn v = u +. Sei nun u = v +. ann gilt f (u, v) =. ann gilt aber auch f (v, u) =, denn u = v +. Gelte nun weder v = u + noch u = v +. ann gilt entweder u = v oder die ifferenz zwischen u und v ist größer. In beiden Fällen gilt dann f (u, v) = 0 = f (v, u). Flusserhaltung: Sei u N \ {0}. ann gilt: f (u, v) = f (u, u ) + f (u, u + ) + v V v V \{u, u+} f (u, v) = = 0 ufgabe 9 (Sortieren): (0 Minuten, = 9 Punkte) a) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Selectionsort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Swap- Operation an. 8 9 Hinweis: er Pseudocode von Selectionsort wurde auf Übungsblatt in der Tutoraufgabe angegeben.

23 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS b) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von ubblesort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Swap- Operation an. c) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Insertionsort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Iteration der äußeren Schleife an. d) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Mergesort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Merge- Operation an. 8 e) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Quicksort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Partition- Operation an und markieren Sie das jeweils verwendete Pivot-lement. 8 9 f) Sortieren Sie das folgende rray mithilfe von Heapsort. Geben Sie dazu das rray nach jeder Swap-Operation an. Lösung: a) 8 9 b)

24 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS c) d) e) 8 9

25 für Informatik atenstrukturen und lgorithmen SS f)