Beweis: Sind ϕ 1,ϕ 2 C 1 (Ω) Stammfunktionen von F, so folgt. grad(ϕ 2 ϕ 1 ) = gradϕ 2 gradϕ 1 = F F = 0,

Transkript

1 Die Physiker nennen ds Grvittionsfeld konservtiv, weil der Energieerhltungsstz gilt. Die verrichtete Arbeit zum Beispiel bei Trnsport einer Msse vom Mthemtischen Institut zum Kndel entspricht genu der zugewonnen Lgeenergie, und diese kommt beim Herunterrollen uch wieder herus, theoretisch jedenflls. Der Begriff des konservtiven Feldes ist uch in der Mthemtik interessnt. Definition 1.7 Sei Ω R n offen. Ein Vektorfeld F C 0 (Ω,R n ) heißt Grdientenfeld (bzw. konservtiv), wenn es eine Funktion ϕ C 1 (Ω) gibt mit grdϕ = F. Die Funktion ϕ heißt Stmmfunktion (bzw. Potentil) von F. Lemm 1.4 (Eindeutigkeit der Stmmfunktion) Ist Ω R n wegweise zusmmenhängend, so ist eine Stmmfunktion von F C 0 (Ω,R n ) eindeutig bestimmt, bis uf eine dditive Konstnte. Beweis: Sind ϕ 1,ϕ 2 C 1 (Ω) Stmmfunktionen von F, so folgt grd(ϕ 2 ϕ 1 ) = grdϕ 2 grdϕ 1 = F F = 0, lso ist ϕ 2 ϕ 1 konstnt nch Stz 1.1, ds heißt ϕ 2 = ϕ 1 +c. Wir werden jetzt sehen, dss die Existenz einer Stmmfunktion gleichbedeutend dmit ist, dss ds Kurvenintegrl für Kurven mit gleichem Anfngs- und Endpunkt stets denselben Wert ht. Zuvor eine Definition. Definition 1.8 Eine Kurve : [,b] R n heißt geschlossen, wenn () = (b). Aus () = (b) folgt nicht notwendig () = (b), zum Beispiel ist im Fll der Acht us Beispiel 1.1 (π/2) = (3π/2) = (0,0), während (π/2) = ( 1, 2) (1, 2) = (3π/2). Anschulich schneidet sich die Kurve hier mit einem Winkel. Stz 1.2 (Wegunbhängigkeit des Kurvenintegrls) Sei Ω R n offen und wegweise zusmmenhängend. Für ein Vektorfeld F C 0 (Ω,R n ) sind folgende Aussgen äquivlent: () F ist ein Grdientenfeld. (b) Für jede geschlossene Kurve PC 1 ([,b],ω) ist F dx = 0. (c) Für je zwei Kurven 0, 1 PC 1 ([,b],ω) mit 0 () = 1 (), 0 (b) = 1 (b) gilt F dx = F dx. 0 1 Beweis: Ist F = grdϕ mit ϕ C 1 (Ω), so folgt für PC 1 ([,b],ω) geschlossen b F dx = grdϕ ( (t) ) b, (t) dt = (ϕ ) (t)dt = ϕ((b)) ϕ(()) = 0. Für 0,1 PC 1 ([,b],ω) mit gleichem Anfngs- und Endpunkt ist die Kurve { 0 (t) t b (t) = 1 (2b t) b t 2b 52

2 geschlossen und stückweise C 1, und us (b) ergibt sich mit Lemm = F dx = F dx F dx. 0 1 Für (c) () sei x 0 Ω fest. Zu x Ω wählen wir eine Kurve x PC 1 ([0,1],Ω) mit x (0) = x 0 und x (1) = x, und setzen ϕ(x) = F dx. x Die Existenz von x ist gesichert nch Lemm 1.2 in Kpitel 7, genuer können wir x stückweise liner wählen. Nch Vorussetzung (c) hängt ds Kurvenintegrl nicht von der Whl von x b. Dher ist die Funktion ϕ : Ω R wohldefiniert. Sei nun x Ω. Für h klein erhlten wir eine Kurve von x 0 nch x + he j, indem wir x mit der Kurve c : [0,1] R n, c(t) = x+the j, zusmmensetzen. Es folgt ϕ(x+he j ) ϕ(x) h = F dx = Also gilt j ϕ = F j für j = 1,...,n. c 1 0 F(x+the j ),e j dt F j (x) mit h 0. Die zentrle Frge dieses Kpitels ist: wie können wir entscheiden, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Grdientenfeld ist? Für C 1 -Vektorfelder gibt es eine notwendige Bedingung, die offensichtlich ist. Stz 1.3 (Rottionsfreiheit von Grdientenfeldern) Sei Ω R n offen. Ist F C 1 (Ω,R n ) ein Grdientenfeld, so gilt für lle i,j = 1,...,n i F j = j F i in Ω. Beweis: Ist F = grdϕ, so folgt ϕ C 2 (Ω) und wegen der Vertuschbrkeit der prtiellen Ableitungen, Stz 2.2 in Kpitel 6, gilt i F j = i j ϕ = j i ϕ = j F i. Für n = 3 lässt sich die Bedingung schreiben ls rotf = 0, wobei rotf = ( 2 F 3 3 F 2, 3 F 1 1 F 3, 1 F 2 2 F 1 ). Beispiel 1.5 F : R 2 R 2, F(x,y) = ( y,x), ht keine Stmmfunktion uf R 2, denn Beispiel 1.6 Für ds Winkelvektorfeld vgl. Beispiel 1.4, berechnen wir 1 F 2 = 1, ber 2 F 1 = 1. W : R 2 \{0} R 2, W(x,y) = ( y x 2 +y 2, 1 W 2 = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = 2W 1, 53 x ) x 2 +y 2

3 ds heißt die notwendige Bedingung us Stz 1.3 ist erfüllt. Dennoch ist ds Kurvenintegrl nicht wegunbhängig: für k Z und r > 0 ist die Kurve k : [0,2π] R 2 \{0}, k (t) = r(coskt,sinkt), geschlossen und es gilt nch Beispiel 1.4 k W dx = 2πk ( 0 für k Z\{0}). Wir wollen jetzt untersuchen, wie sich ds Kurvenintegrl längs einer Schr von Kurven ändert. Sttt Schr verwenden wir den moderneren Ausdruck Homotopie. Dies ist ein fundmentles Konzept der Anlysis. Definition 1.9 (Homotopie) Eine Homotopie in Ω zwischen Kurven 0, 1 C 0 ([,b],ω) ist eine Abbildung C 0 ([,b] [0,1],Ω) mit (,0) = 0 und (,1) = 1. Gilt 0 () = 1 () = p, 0 (b) = 1 (b) = q, und gibt es eine Homotopie mit (,t) = p, (b,t) = q für lle t [0,1], so heißen 0, 1 homotop in Ω mit festen Endpunkten. Gilt 0 () = 0 (b), 1 () = 1 (b), und gibt es eine Homotopie mit (,t) = (b,t) für lle t [0,1], so heißen 0, 1 in Ω geschlossen homotop. Es gilt folgende llgemeine Formel für die Änderung des Kurvenintegrls unter (hinreichend gltten) Homotopien. Lemm 1.5 (Homotopieformel) Sei Ω R n offen und F C 1 (Ω,R n ). Dnn gilt für C 1 ([,b] [0,1],Ω), flls s t C 0 ([,b] [0,1],R 2 ), F dx F dx = F dx F dx (,1) (,0) (b, ) 1 b + 0 (, ) ( DF t, s DF s, ) dsdt. t Gilt i F j = j F i für i,j = 1,...,n, und ht die Homotopie feste Endpunkte oder ist geschlossen, so ist die rechte Seite Null. Beweis: Nch Zustz zum Stz von Schwrz, Stz 2.2 in Kpitel 6, gilt t s = s t. Wir berechnen mit Stz 4.2 und prtieller Integrtion bezüglich s [, b] t (,t)f dx = b F((s,t), t s (s,t) ds b = DF t, b 2 ds+ F, ds s t s = b DF t, s ds+ F, t s=b s= b DF s, ds. t Integrtion bezüglich t ergibt die Formel. Ist i F j = j F i oder mit nderen Worten DF symmetrisch, so verschwindet ds Doppelintegrl. Bei festen Endpunkten sind (, ) und (, b) konstnt, lso die zugehörigen Kurvenintegrle Null. Ist die Homotopie geschlossen, so gilt (, ) = (, b) und die Kurvenintegrle rechts heben sich gegenseitig weg. Wir können n dieser Stelle ls Anwendung den Fundmentlstz der Algebr (Kpitel 2, Stz 3.10) beweisen. Es gibt vielleicht einfchere Beweise, ber dieses Argument ist jedenflls sehr nschulich. 54

4 Stz 1.4 (Fundmentlstz der Algebr) Jedes komplexe Polynom vom Grd n 1 ht mindestens eine Nullstelle z 0 C. Beweis: Wir verwenden ds Winkelvektorfeld W : R 2 \{0} R 2. Nch Beispiel 1.6 gilt 1 W 2 = 2 W 1. Sei p(z) = z n + n 1 z n mit i C und n 1. Schreibe p(z) = p n (z) +q(z) mit p n (z) = z n. D q höchstens den Grd n 1 ht, gilt z n q(z) 0 mit z, lso für R > 0 hinreichend groß q(re iθ ) 1 2 Rn für θ [0,2π]. Betrchte nun die geschlossene Kurve 0 : [0,2π] R 2, 0 (θ) = p(re iθ ), und die Homotopie : [0,2π] [0,1] R 2, (θ,t) = p n (Re iθ )+(1 t)q(re iθ ). Wir berechnen (θ,t) p n (Re iθ ) q(re iθ ) R n 1 2 Rn > 0. D (θ,1) = p n (Re iθ ) = R n e inθ, folgt us Lemm 1.5 und Beispiel 1.6 W dx = W dx = 2πn. 0 (,1) Wir betrchten jetzt eine zweite, ebenflls gltte Homotopie: : [0,2π] [0,R] R 2, (θ, ) = p( e iθ ). Es ist (θ,0) = p(0) = 0 eine konstnte Abbildung. Hätte p keine Nullstelle in C, so ist uch dies eine geschlossene Homotopie in R 2 \{0}, und es folgt wieder mit Lemm 1.5 W dx = W dx = 0, 0 (,0) ds heißt 2πn = 0, ein Widerspruch. Lemm 1.6 (ffine Homotopie) Sei Ω R n offen und F C 1 (Ω,R n ) mit i F j = j F i für i,j = 1,...,n. Für Kurven 0, 1 PC 1 ([,b],ω) betrchte die ffine Homotopie : [,b] [0,1] R n, (s,t) = (1 t) 0 (s)+t 1 (s). Hben 0, 1 gleiche Endpunkte oder sind geschlossen, und gilt ([,b] [0,1]) Ω, so folgt F dx = F dx. 0 1 Beweis: Sind 0, 1 C 1 ([,b],ω), so folgt die Aussge direkt us Lemm 1.5. Für 0, 1 stückweisec 1 zerlegenwir[,b]inteilintervlle, ufdenenbeidekurvenc 1 sind,undwenden Lemm 1.5 uf den Teilintervllen n. Die Rndintegrle heben sich bei Addition herus. Stz 1.5 (Homotopieinvrinz des Kurvenintegrls) Sei Ω R n offen und F C 1 (Ω,R n ) mit i F j = j F i uf Ω für 1 i,j n. Sind dnn 0, 1 PC 1 ([,b],ω) homotop in Ω mit festen Endpunkten (oder geschlossen homotop), so gilt F dx = F dx

5 Beweis: Ist die Homotopie hinreichend gltt, so folgt die Aussge us Lemm 1.5. Es geht lso um ds technische Problem, dss die gegebene Homotopie C 0 ([,b] [0,1],Ω) eventuell nur stetig ist. Die Lektüre des Beweises könnte zurückgestellt werden. Aus Kompktheitsgründen gibt es ein ε > 0 mit B 2ε (p) Ω für lle p ([,b] [0,1]), vgl. Lemm 1.1 in Kpitel 7. D uf der kompkten Menge [,b] [0,1] gleichmäßig stetig ist, gibt es weiter ein δ > 0 mit (s 0,t) (s 1,t), (s,t 0 ) (s,t 1 ) < ε für s 0 s 1, t 0 t 1 < δ. Wir ersetzen jetzt (,t) durch stückweise linere Kurven. Für N N mit (b )/N < δ und s k = +k(b )/N, k = 0,1,...,N, definieren wir : [,b] [0,1] R n durch (s,t) = s k s s k s k 1 (s k 1,t)+ s s k 1 s k s k 1 (s k,t) für s [s k 1,s k ]. Es gilt (,t) = (,t), (b,t) = (b,t) für lle t [0,1]. Für s [s k 1,s k ] hben wir s k s ( (s,t) (s,t) = (sk 1,t) (s,t) ) + s s k 1 ( (sk,t) (s,t) ) < ε. s k s k 1 s k s k 1 Für λ [0,1] folgt ( 1 λ)(s,t) +λ (s,t) ) (s,t) (s,t) (s,t) < ε, ds heißt die ffine Homotopie zwischen (,t) und (,t) liegt in Ω. Insbesondere folgt us Lemm 1.6 (1.3) F dx = F dx und F dx = F dx. 0 (,0) 1 (,1) Weiter gilt für t 0 t 1 < δ und s [s k 1,s k ] s k s ( (s,t 0 ) (s,t 1 ) = (sk 1,t 0 ) (s k 1,t 1 ) ) + s s k 1 ( (sk,t 0 ) (s k,t 1 ) ) < ε, s k s k 1 s k s k 1 und es folgt für lle λ [0,1] ( (1 λ) (s,t 0 )+λ (s,t 1 ) ) (s,t 0 ) (s,t 1 ) (s,t 0 ) + (s,t 0 ) (s,t 0 ) < 2ε. Für 1/N < δ folgt mit t l = l/n für l = 0,1,...,N us Lemm 1.6 F dx = F dx für l = 1,...,N, (,t l ) (,t l 1 ) und Kombintion mit (1.3) beweist den Stz. Definition 1.10 Eine Menge Ω R n heißt einfch zusmmenhängend, wenn jede geschlossene Kurve C 0 ([,b],ω) in Ω geschlossen homotop zu einer konstnten Kurve ist. Beispiel 1.7 Eine Menge Ω R n heißt sternförmig, wenn es ein x 0 Ω gibt mit (1 t)x+tx 0 Ω für lle x Ω, t [0,1]. Eine sternförmige Menge ist einfch zusmmenhängend, denn jede geschlossene Kurve 0 C 0 ([,b],ω) ist homotop zur konstnten Kurve in x 0, nämlich durch die Homotopie : [,b] [0,1] Ω, (s,t) = (1 t) 0 (s)+tx 0. 56

6 Stz 1.6 Sei Ω R n offen und einfch zusmmenhänged. Dnn sind für ein Vektorfeld F C 1 (Ω,R n ) folgende Aussgen äquivlent: () i F j = j F i für i,j = 1,...,n. (b) F ht eine Stmmfunktion. Beweis: Aus () folgt mit Stz 1.5 für jeden geschlossenen Weg PC 1 ([,b],ω) F dx = 0. Hierus ergibt sich mit Stz 1.2 die Existenz einer Stmmfunktion. Die umgekehrte Impliktion wurde schon in Stz 1.3 festgestellt. Beispiel 1.8 Ein Spezilfll von Stz 1.6 ist ds Lemm von Poincré: ist Ω R n sternförmig und F C 1 (Ω,R n ) rottionsfrei, so besitzt F eine Stmmfunktion ϕ. Ttsächlich knn diese explizit ngegeben werden: Integrtion längs x (t) = (1 t)x 0 +tx, t [0,1], ergibt ϕ(x) = F dx = x 1 0 F((1 t)x 0 +tx,x x 0 dt. Wir fssen unsere Resultte über Kurvenintegrle in einer kleinen Tbelle zusmmen: F Grdientenfeld Stz 1.2 F dx wegunbhängig Stz fch zshg. Stz 1.6 Stz 1.5 i F j = j F i F dx homotopieinvrint Zu begründen ist noch die Impliktion von rechts nch links in der unteren Zeile. Ist ds Kurvenintegrl homotopieinvrint, so ist es uf einer Umgebung B (x) Ω ber wegunbhängig. Also ht ds Vektorfeld uf B (x) eine Stmmfunktion, und es folgt i F j = j F i uf B (x). Wir wollen zum Schluss des Abschnitts eine lterntive Nottion für Kurvenintegrle einführen, die uf lnge Sicht ds überlegene Konzept ist. Wir bruchen dzu den Rum L(R n,r) ller Linerformen uf R n, mit nderen Worten den Dulrum (R n ). Definition 1.11 (1-Form) Eine Abbildung α : Ω (R n ) heißt Differentilform vom Grd Eins oder kurz 1-Form (oder uch Kovektorfeld) uf Ω. Für f C 1 (Ω) ist die Ableitung df (die wir in diesem Kontext mit einem kleinen d sttt einem großen D schreiben) eine 1-Form, ds sogennnte Differentil von f: df : Ω (R n ), df(x)v = 57 n j=1 f x j (x)v j.

7 Speziell bezeichnet mn die Differentile der n Koordintenfunktionen x x i uf R n mit dx i : R n (R n ). Es gilt lso dx i (x)v = v i, insbesondere dx i (x)e j = δ ij. D dx i (x) für lle x R n gleich ist, ds heißt die Abbildung dx i : R n (R n ) ist konstnt, wird die Vrible x meistens weggelssen und stttdessen ein Punkt geschrieben, lso dx i (x)v = dx i v. Jede 1-Form uf Ω R n ht nun eine eindeutige Drstellung α = n α i dx i mit α i : Ω R, α i (x) = α(x)e i. i=1 Dies folgt sofort, wenn wir n der Stelle x Ω beide Seiten uf die Bsis e 1,...,e n nwenden. Die α 1,...,α n sind die Koordintenfunktionen von α. Für ds Differentil einer Funktion gilt beispielweise n f df = dx i. x i i=1 Eine Form α = n i=1 α idx i uf Ω ist von der Klsse C k, flls α i C k (Ω) für i = 1,...,n. Definition 1.12 (Kurvenintegrl von 1-Formen) Sei α eine stetige 1-Form uf der offenen Menge Ω R n. Für PC 1 ([,b],ω) setzen wir α = b α((t)) (t)dt. Ds Stndrdsklrprodukt erlubt es, jedem Vektorfeld eine 1-Form bijektiv zuzuordnen, und zwr definiert mn für ds Vektorfeld A : Ω R n die 1-Form α : Ω (R n ) durch α(x)v = A(x),v für x Ω, v R n. Dnn hben A und α die gleichen Koordintenfunktionen, denn es ist α i (x) = α(x)e i = A(x),e i = A i (x); Insbesondere ist die Gleichung A = grdϕ äquivlent zu α = dϕ. Etws bstrkter ergibt sich ds uch us der Chrkterisierung des Grdienten in Gleichung (3.5), Kpitel 6: A = grdϕ A(x),v = dϕ(x)v für lle x Ω, v R n α = dϕ. Nch Definition von α gilt weiter α((t)) (t) = A((t)), (t), und dmit α = A dx. Es wird folgende Terminologie eingeführt. Definition 1.13 Eine 1-Form α uf der offenen Menge Ω R n heißt () exkt, wenn es eine Funktion ϕ C 1 (Ω) gibt mit α = dϕ, (b) geschlossen, wenn α C 1 und i α j = j α i uf Ω für i,j = 1,...,n. 58

8 Ist α dem Vektorfeld A zugeordnet, so ist demnch α genu dnn exkt, wenn A ein Grdientenfeld ist, und genu dnn geschlossen, wenn A rottionsfrei ist. Wir können somit lle unsere Resultte in der Sprche der 1-Formen neu forumulieren: genu dnn ist α exkt, wenn ds Kurvenintegrl wegunbhängig ist; ist α exkt, so uch geschlossen; ist α geschlossen, so ist ds Kurvenintegrl homotopieinvrint; uf einem einfch zusmmenhängenden Gebiet ist jede geschlossene 1-Form exkt. Der Vorteil der 1-Formen gegenüber den nschulicheren Vektorfeldern liegt nun im Trnsformtionsverhlten. Seien dzu U R n und V R m offene Mengen, und φ C 1 (U,V). Ist ω eine 1-Form uf V, so erhlten wir eine 1-Form φ ω uf U, den pullbck von ω unter φ, durch die Formel (φ ω)(x)v = ω(φ(x))dφ(x)v für x U, v R n. Sind dy i die Koordintendifferentile uf R m, so berechnen wir (φ dy i )(x)v = dy i Dφ(x)v = dφ i (x)v beziehungsweise kurz φ dy i = dφ i für i = 1,...,m, und llgemeiner φ ω = m (ω i φ)dφ i mit dφ i = i=1 n j=1 φ i x j dx j. Ist φ C k+1 und ω C k für k N 0, so ist demnch φ ω C k. Stz 1.7 (Trnsformtion des Kurvenintegrls) Seien U R n, V R m offen und φ C 1 (U,V). Für eine stetige 1-Form ω uf V und PC 1 ([,b],u) gilt φ Beweis: Aus den Definitionen ergibt sich φ ω = b ω = ω ( φ((t)) ) Dφ((t)) (t)dt = φ ω. b (φ ω)((t)) (t)dt = φ ω. Ds Kurvenintegrl von Vektorfeldern benutzt wesentlich ds Sklrprodukt, ws bei der Anlyse des Trnsformtionsverhltens mit berücksichtigt werden müsste. Bei der Umrechnung des Lplceopertors uf krummlinige Koordinten wird uns so etws noch begegnen. 59