Didaktik der Stochastik Keven Lass Ü B U N G S B L A T T 2 A U F G A B E 2

Transkript

1 Didaktik der Stochastik Keven Lass Ü B U N G S B L A T T 2 A U F G A B E 2

2 Aufgabenstellung

3 1. Aufgabe a.) Definieren Sie den Begriff Wahrscheinlichkeit nach Laplace. b.) Geben Sie die zugehörige Formel an und erklären Sie diese kurz. c.) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei einem regulärem Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln, bei nur einem einzigen Wurf. (Geben Sie die Wahrscheinlichkeit als Prozentzahl an)

4 1. Aufgabe Lösungsvorstellungen a.) Die Wahrscheinlichkeit nach Laplace umschreibt die sogenannte a priori Wahrscheinlichkeit. Vor dem Zufallsexperiment sind schon alle möglichen Ereignisse bekannt, und außerdem hat jedes Elementarereignis dieselbe Wahrscheinlichkeit. b.) Die Wahrscheinlichkeit wird durch das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zu allen möglichen Ergebnissen bestimmt, wobei hier die Anzahl der günstigen Ergebnisse und die Anzahl der möglichen Ergebnisse klar bestimmt werden kann. Die Wahrscheinlichkeit p(a) eines Ergebnis A wird über die relative Häufigkeit seines Auftretens ermittelt. p(a) = n ( A) / n ( gesamt ) = Anzahl der Ergebnisse A / Anzahl der gesamten möglichen Ergebnisse

5 1. Aufgabe Lösungsvorstellungen A: günstige Fälle {2,4,6} n: Gesamte Fälle {1,2,3,4,5,6} Berechnung: P(A) = 3/6 = 0,5 0,5 x 100% = 50% Die Wahrscheinlichkeit bei einem Wurf eine gerade Zahl zu würfeln beträgt 50%.

6 2. Aufgabe An einem Berufskolleg sind 2680 Schüler/innen, davon sind 480 in einem Sportverein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Schülerin bzw. einen Schüler dieses Berufskollegs auf dem Pausenhof antrifft, der/die keinem Sportverein angehört?

7 2. Aufgabe Lösungsvorstellung A: Schüler ist im Sportverein B: Schüler ist nicht im Sportverein P(B) = 1 P(A) = 1 480/2680 0,82 0,82 x 100% = 82% Die Wahrscheinlichkeit einen Nichtsportler auf dem Pausenhof zu treffen liegt bei ca. 82%

8 3. Aufgabe Eine Lostrommel wird mit 50 Lotterielosen gefüllt. Die Hälfte der Lose sind Nieten. Bei 15 Losen gibt es je einen Gewinn im Wert von 1,-, bei weiteren fünf Losen bekommt man je einen Gewinn im Wert von 2,-, die anderen Gewinnlose sind Hauptgewinne. a.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Niete zu ziehen? b.) Susanne zieht als erstes ein Los und hat einen Hauptgewinn. Rebecca zieht als zweite ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie auch einen Hauptgewinn hat? (Sie zieht leider eine Niete) c.) Als Drittes zog Lucky Winner 4 Lose: 1. Los Niete; 2. Los 1,- Gewinn, 3.Los 2,- Gewinn und das 4. Los sogar einen Hauptgewinn. Wie hoch war die Wahrscheinlichkeit, dass diese Reihenfolge so eintrat? Alle Wahrscheinlichkeitsangaben sind in Prozent umzurechnen!

9 3. Aufgabe Lösungsvorstellung 50 Lose {25 Nieten, 15 x 1, 5 x 2, 5x Hauptgewinn} a.) A: günstige Fälle {25 Nieten} ; n: 50 Lose P(A) = 25/50 = 0,5 0,5 x 100% = 50% Die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen beträgt 50%

10 3. Aufgabe Lösungsvorstellung 49 Lose {25 Nieten, 15 x 1, 5 x 2, 4x Hauptgewinn} b.) A: günstige Fälle {4 Hauptgewinne} ; n: 49 Lose P(A) = 4/49 0,082 0,082 x 100% = 8,2% Die Wahrscheinlichkeit, dass Rebecca auch einen Hauptgewinn zieht liegt bei rund 8,2%.

11 3. Aufgabe Lösungsvorstellung 48 Lose {24 Nieten, 15 x 1, 5 x 2, 4x Hauptgewinn} 1. Los Niete - A: günstige Fälle {24 x Niete}; n: Los 1 - A: günstige Fälle {15 x 1 }; n: Los 2 - A: günstige Fälle {5 x 2 }; n: Los HGW A: günstige Fälle {4 x HGW}; n: 45 P(A) = 24/48 x 15/47 x 5/46 x 4/45 0,0015 0,0015 x 100% = 0,15% Die Wahrscheinlichkeit dieser Reihenfolge betrug rund 0,15%.

12 4. Aufgabe In der Tüte von Kathrin befinden sich vier rote, fünf blaue und zwei grüne Gummibärchen. Sie zieht ohne hinzusehen zwei Stück, um anschließend die Bärchen zu naschen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Katrin... a.)... die zwei grünen nascht? b.)... kein blaues erwischt? c.)... verschiedene Farben isst? Zeichne für die Lösung ein Baumdiagramm!

13 4. Aufgabe Lösungsvorstellung

14 5. Aufgabe In Deutschland spielen 37% der Bundesbürger, also ca. 30,5 Mio Menschen gelegentlich und 16%, also ca. 13 Mio Bundesbürger regelmäßig Lotto. 1 Bei einem Lottospielt werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto. (ohne Zusatzzahl) Auf eine Umrechnung in Prozent wird hier verzichtet. 1 Quelle -

15 5. Aufgabe Lösungsvorstellung Beim Deutschen Lotto werden aus 49 Zahlen insgesamt 6 verschieden pro Spielkästchen angekreuzt. Berechnung der verschiedenen Fallmöglichkeiten: n: Die Anzahl von den 6 möglichen Gewinnzahlen 6 Zahlen anzukreuzen beträgt: A: günstige Fälle {1} Daraus ergibt sich: Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Lotto beträgt 7, x 10-8

16 Schwierigkeiten der Schüler Textverständnis Inhaltliche Vorgaben korrekt umzusetzen Die Differenzierung zwischen günstiger Fälle und gesamter Fälle genau zu berücksichtigen Einen vollständigen Lösungsweg aufzuzeigen Die Ermittlung der Gesamtwahrscheinlichkeiten, die sich durch Addition verschiedener Einzelwahrscheinlichkeiten bzw. durch Multiplikation von Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben. Die Berechnungen mit Hilfe der Fakultäten durchzuführen