Mathematische und statistische Methoden II

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1 Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum ) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Die Wahrscheinlichkeits- definition von Probleme Abzählprinzipien Die Definition von p(e) ist zirkulär,, da Gleichmöglichkeit nur ein Synonym für Gleichwahrscheinlichkeit ist. Die Klasse der enthaltenen Zufallsprozesse ist durch das Konzept der Gleichmöglichkeit von Elementarereignissen stark eingeschränkt. Beispiel: i Kopf, Zahl und Seite

3 Die axiomatische Wk- Definition von Abzählprinzipien Die auf der σ Algebra definierte Funktion P(A) besitzt folgende Eigenschaften: 1. Für jedes Ereignis E der σ Algebra gilt: P(E) 0 2. Für das sichere Ereignis gilt: P() = 1 3. Läßt sich das Ereignis A in die unvereinbaren Teilereignisse B und C zerlegen (A, B, C σ), gilt: P(A) = P(B) + P(C) Additionstheorem der Wahrscheinlichkeiten

4 Abzähl- P 0 prinzipien Wahrscheinlichkeit h hk it des unmöglichen Ereignisses i ist 0. Es gilt ja für den Stichprobenraum W: Und mit Axiom 3 (Additionstheorem): P ( ) P P Und mit Axiom 2 nun: 11 P( ) Durch Umformen folgt der Satz.

5 Abzähl- P A 1 P A prinzipien Wahrscheinlichkeit h hk it des Komplements ist 1 minus die WK des Ereignisses Es gilt ja für den Stichprobenraum W: AA Und mit Axiom 2 folglich: 1 P A A Und mit Axiom 3 (Additionstheorem) dann: Woraus der Satz folgt. 1 P A P A

6 Abzählprinzipien Gilt A B, so folgt P B P A Blä lässt sich als Vereinigung i der disjunkten Ereignisse A und B\A ( B ohne A ) schreiben: A B\A B B = A B\A Da P(B\A) 0 folgt der Satz.

7 Abzähl- P(A\B) = P(A) P(A prinzipien A lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und A B schreiben: A\B AB B A = (A\B) (A B) Wegen des Additionstheorems folgt sofort P(A) = P(A\B) + P(A B) Und hieraus folgt der Satz.

8 Abzählprinzipien P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) (Allgemeiner Additionssatz) A B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und B schreiben: A B = (A\B) B A\B B Wegen des Additionstheorems folgt p(a B) = P(A\B) + P(B) Wir zeigten aber vorher: P(A\B) = P(A) P(A B) Einsetzen gibt: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Und dies ist der allgemeine Additionssatz.

9 P() = P(A1) + P(A2) + + P(An) Abzähl- prinzipien wenn alle A i paarweise disjunkt Ist E in die unvereinbaren Teilereignisse A i zerlegbar, ist die Wk für E gleich der Summe der Wken der Teilereignisse. Für zwei unvereinbare Ereignisse gilt: A i A j Wir zeigten aber vorher: P() = 0 Wegen des allgemeinen Additionssatzes ist also: P(A) = P(A 1 + A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) - P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) Durch vollständige Induktion ist dies der erweiterte Additionssatz.

10 Zufallsvariablen Notation für Wahrscheinlichkeiten Abzähl- Auf der Zufallsvariable können nun Ereignisse prinzipien definiert werden, z.b. x 1 X x 2 oder X = x 1. Kleinbuchstaben stehen dabei für einen beliebigen Messwert von X Den Ereignissen können reelle Zahlen zugewiesen werden, die die Axiome erfüllen, z. B. p(x 1 X x 2 ) oder p(x = x 1 ) Besonders wichtig ist die Punktwahrscheinlichkeit dafür, dass die X eine bestimmte Ausprägung annimmt: X = x 1 Die Punktwk. wird als p(x = x 1 ) geschrieben Frage: Woher stammen die Wahrscheinlichkeiten p?

11 Methodenlehre Mengenlehre Wk-Theorie Abzählprinzipien Zufallsvariablen Empirische Definition der Wahrscheinlichkeit (von Mises, 1919) The Law of Large Numbers p X x i hx ( ) n : lim i n ( ): Häufigkeit des Ereignisses hx i n : Gesamtzahl aller Versuche Bei unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments strebt die relative Häufigkeit für das Auftreten eines Ereignisses x i gegen die Wahrscheinlichkeit p(x=x i ). Beispiel: Relative Häufigkeit für das Würfeln einer 6 in Abhängigkeit von der Anzahl der Würfelversuche: