2 Mengen, Relationen, Funktionen

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1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Mengen werden definiert: extensional: durch Angabe aller Elemente (nur für endliche Mengen) Beispiele: {0,,, 3}, { {a}, {a, b} } intensional: durch Angabe einer charakterisierenden Eigenschaft aller Elemente Beispiele: {x x ist natürliche Zahl und x < 4}, { y E(y) } Beispiel (Weitere Beispiele von Mengen) N = {0,,,...} Menge der natürlichen Zahlen Z = {...,,, 0,,,...} Menge der ganzen Zahlen = {x x x} = { } die leere Menge Elementbeziehung Element-Relation: x M x ist Element der Menge M, x ist Element von M x ist aus M Negation: x / M es ist nicht x M, x ist nicht aus M Grundlagen der Mathematik für Informatiker 3 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 4 Logische Begriffe und Bezeichnungen Negation : Konjunktion : Disjunktion : Implikation : Äquivalenz : für alle : es existiert : a a b a b a b a b a b Mengengleichheit und -inklusion Gleichheit: A = B : x(x A x B) x ist genau dann Element der Menge A, wenn x Element von B ist Inklusion: A B : x(x A x B) wenn x Element der Menge A ist, so ist x auch aus B echte Inklusion: A B, A B : A B und x(x B und x A) Satz. Es seien A, B, C Mengen. Es gilt stets A A. Aus A B und B C folgt A C. A B und es gibt ein x B, welches nicht aus A ist Es gilt genau dann A = B, wenn sowohl A B als auch B A erfüllt sind.

2 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 6 Operationen für Mengen Vereinigung: A B = {x x A oder x B} x ist genau dann Element der Menge A B, wenn x Element von A oder von B ist Durchschnitt: A B = {x x A und x B} x ist genau dann Element der Menge A B ist, wenn x aus A und aus B ist Eigenschaft.. Es gelten A B A A B und A B B A B.. Aus A C und B D folgen A B C D und A B C D. 3. Aus A, B C und A, B D folgt A B C D. Hilfssatz.3 Die folgenden Beziehungen sind paarweise äquivalent: A B = A, A B und A B = B. Satz.4 (Eigenschaften der Operationen und ) Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen: A B = B A, A B = B A (Kommutativität) A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C (Assoziativität) A A = A, A A = A (Idempotenz) Lemma.5 (Verschmelzungsgesetze) Es seien A, B Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen: A (A B) = A und A (A B) = A. Grundlagen der Mathematik für Informatiker 7 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 8 Satz.6 (Die Distributivgesetze) Es seien A, B, C Mengen. Dann gelten die folgenden Gleichungen: A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) Die Potenzmenge Definition. Es sei M eine Menge. Die Menge {A : A M} aller Teilmengen von M heißt die Potenzmenge von M. Sie wird mit M oder P(M) bezeichnet. Beispiel = { } { } = {, { } } {a,b} = {, {a}, {b}, {a, b} } Das Komplement Definition.3 Es seien M eine Menge und A M. Dann heißt das Komplement von A (in M). A := {x x M und x / A} Eigenschaft.7 A ist dasjenige Element X der Potenzmenge M, für welches gleichzeitig die Bedingungen A X = und A X = M gelten. Satz.8 (DeMorgansche Regeln) Es seien A, B M. Dann gelten A B = A B und A B = A B

3 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 9 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 0. Relationen Es seien X, Y Mengen. geordnetes Paar (x, y) ( oder [x, y] ) Weitere Mengenoperationen Mengendifferenz A \ B := {x x A und x / B} symmetrische Differenz A B := (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) Kreuzprodukt A B := {(x, y) x A und y B} Eigenschaft.9 Es seien A, B, C, D Mengen. Dann folgt aus A B und C D auch A C B D. Weiter gelten A = A = (A B) (C D) = (A C) (B D) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A B) (A C) (A \ B) C = (A C) \ (B C) A (B \ C) = (A B) \ (A C) Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mehrfaches Kreuzprodukt Frage der Reihenfolge! Unser Standard (für n 3): A A A n := A ( A (A 3 (... A n )) ) speziell: A A A 3 A 4 := A ( A (A 3 A 4 ) ) Beispiel 3 (Datumsrelation) A = Tag := {,...,3} A = Monat := {,...,} A 3 = Jahr := {900,...,00} Datum Tag Monat Jahr Definition.4 Eine Teilmenge R von A A A n heißt (n-stellige) Relation über A,...,A n. Beispiele: (9,, 000) Datum, (9,, 900) / Datum (3, 7, 007) Datum, (3, 6, 007) / Datum Gilt A =... = A n = A, so sprechen wir auch von einer n-stelligen Relation über A. Beispiel 4 (die natürliche Ordnung der ganzen Zahlen ) Z Z

4 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 3 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 4 Äquivalenzrelationen Eigenschaften zweistelliger Relationen Definition.5 Es seien M eine Menge und R eine zweistellige Relation über M. Wir nennen die Relation R reflexiv, falls für alle x M stets (x, x) R gilt, symmetrisch, falls aus (x, y) R stets (y, x) R folgt, transitiv, falls aus (x, y) R und (y, z) R stets (x, z) R folgt, antisymmetrisch, falls aus (x, y) R und (y, x) R stets x = y folgt. Definition.6 Es seien M eine Menge und eine zweistellige Relation über M. Wir nennen eine Äquivalenzrelation über M, falls reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. Beispiel 5 Es sei M die Menge der Schüler einer Schule. Für a, b M definieren wir a b gdw. a, b sind Schüler derselben Klasse. Definition.7 Es sei M eine Menge. Eine Teilmenge Z der Potenzmenge M heißt Zerlegung (Klasseneinteilung) von M, falls. A Z A = M. A für alle A Z und 3. A B = für alle A, B Z, A B gelten. Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 6 Halbordnungsrelationen Definition.8 Es seien eine Äquivalenzrelation über M und a M. Wir nennen [a] := {b b M und a b} die von a erzeugte Äquivalenzklasse. Satz.0 Für jede Äquivalenzrelation über M ist die Menge aller Äquivalenzklassen eine Zerlegung von M. Z := {[a] : a M} Umgekehrt definiert für jede Zerlegung Z von M die Beziehung a b gdw. es gibt ein A Z mit a, b A eine Äquivalenzrelation über M. Definition.9 Es seien M eine Menge und eine zweistellige Relation über M. Wir nennen eine Halbordnungsrelation über M, falls reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Beispiel 6. Ist M eine Menge, so ist die Relation eine Halbordnungsrelation über M = M.. ist eine Halbordnungsrelation über Z. 3. Die Teilbarkeitsrelation ist eine Halbordnungsrelation über N. Lemma. Ist eine Halbordnungsrelation über M und ist T M, so ist die Einschränkung T := (T T ) von auf T eine Halbordnungsrelation über T.

5 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 7 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 8 Definition.0 Es sei M eine durch halbgeordnete Menge, und es sei T Teilmenge von M. Wir nennen a M minimales Element von T, falls a T und b a für alle b T gilt. Minimum von T, falls a T und a b für alle b T gilt. untere Schranke von T, falls a b für alle b T gilt. Infimum von T, falls a das Maximum der Menge {b b M und b ist untere Schranke von T } ist. Supremum von T, falls a das Minimum der Menge {b b M und b ist obere Schranke von T } ist. Folgerung.. Jedes Minimum von T ist sowohl minimales Element, untere Schranke als auch Infimum von T.. Ist eine untere Schranke von T Element von T, so ist sie Minimum von T. Spezielle Operationen für zweistellige Relationen Definition. Es seien R A B, S B C zweistellige Relationen. Verbindung R S := { (a, c) es gibt ein b B mit (a, b) R und (b, c) S } Umkehrrelation R := { (b, a) (a, b) R } Folgerung.3 R (R R 3 ) = (R R ) R 3 Folgerung.4 Eine zweistellige Relation R A A ist genau dann symmetrisch, wenn R = R, und R ist genau dann transitiv, wenn R R R. Grundlagen der Mathematik für Informatiker 9 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 0 Folgerung.5 Es seien R, R, R, R 3 zweistellige Relationen über einer Menge M. Dann gelten die folgenden Beziehungen. Aus R R folgen R R 3 R R 3 und R R. Aus R R 3 folgt R R R R 3. Aus R R folgt R = R. R (R R 3 ) = (R R ) (R R 3 ) (R R ) R 3 = (R R 3 ) (R R 3 ) (R R ) = R R und (R R ) = R R (R R ) = R R Definition. Es seien M eine Menge und R M M eine zweistellige Relation über M. Wir nennen R die reflexive und transitive Hülle von R, falls R die kleinste reflexive und transitive Relation ist, die R umfasst. Wir nennen R + die transitive Hülle von R, falls R + die kleinste transitive Relation ist, die R umfasst. Ferner seien I M := { (a, a) a M }, R 0 := I M und R n := R R n für n. Lemma.6 Es sei eine Relation R M M gegeben. Für alle n 0 gilt (m, m ) R n genau dann, wenn es eine Folge c 0, c,..., c n von Elementen aus M mit c 0 = m, c n = m und (c i, c i+ ) R für i = 0,..., n gibt. Satz.7 Es sei R M M eine Relation auf einer Menge M. Dann gilt R + = i= Ri und R = i=0 Ri.

6 Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Definition.4 Es sei f A B eine Funktion..3 Funktionen Leonhard Euler (755): Eine Funktion benennt eine Abhängigkeit, die alle Arten, wie eine Größe durch eine andere bestimmt werden kann, unter sich begreift. Definition.3 [Funktion] Eine Relation R A B heißt eindeutig, falls aus (a, b ), (a, b ) R stets b = b folgt. Eine Relation f A B heißt Funktion aus A in B, falls f eindeutige Relation ist. Wir nennen f eine Funktion von A in B, falls der Definitionsbereich ÓÑ(f) = {a a A und es gibt ein b B mit f(a) = b} mit A übereinstimmt. Wir nennen f eine Funktion aus A auf B, falls der Wertebereich Ö Ò(f) = {b b B und es gibt ein a A mit f(a) = b} mit B übereinstimmt. Wir nennen f eine Funktion von A auf B, falls ÓÑ(f) = A und Ö Ò(f) = B gelten. Notation: f(a) = b für (a, b) f, f : A B für f ist Funktion aus A in B und f : A B für f ist Funktion von A in B Grundlagen der Mathematik für Informatiker 3 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 4 Definition.5 Eine Relation R A B heißt eindeutig umkehrbar, falls R eine Funktion ist. Folgerung.8 Eine Relation R A B ist genau dann eindeutig umkehrbar, wenn aus (a, b), (a, b) R stets a = a folgt. Definition.6 Wir nennen eine Funktion f A B eineindeutig, falls f eindeutige und eindeutig umkehrbare Relation ist. Notation: Definition.7 Eine Funktion f : A B heißt injektiv, falls für alle y B gilt: {x : f(x) = y}, surjektiv, falls für alle y B gilt: {x : f(x) = y}, bijektiv, falls für alle y B gilt: {x : f(x) = y} =. Bild von M A f(m) = {f(a) a M} Urbild von M B f (M ) = {a f(a) M }

7 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 6 Hintereinanderausführung von Funktionen Folgerung.9 Es seien f : A B und g : B C Funktionen.. Dann ist die Relation f g eine Funktion aus A in C, und es gilt f g(a) = g(f(a)) für a ÓÑ(f) f ( ÓÑ(g)).. Sind darüberhinaus f und g eineindeutige Funktionen, so ist auch f g eineindeutig. 3. Gelten f : A B und f(a) ÓÑ(g), so ist auch f g : A C. Bezeichnung: Die Menge aller Funktionen von A in B wird mit B A bezeichnet : B A := {f f : A B} A n Folgerung.0 (Spezialfall) n-stellige Funktionen f : A n B n-faches Kreuzprodukt äqivalente Darstellungen = A } {{ A oder } n-mal A n = {g g : {,...,n} A} A 0 = A = { }