8. Die Nullstellen der Zeta-Funktion
|
|
- Jonas Sachs
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 8.. Wie vorher sei ( s ξ(s = π s/ Γ ζ(s. ξ ist meromorph in ganz C, hat Pole (erster Ordnung nur bei s = und s = und genügt der Funktionalgleichung ξ(s = ξ( s. Daraus folgt: Für Re s < hat die Zeta-Funktion Nullstellen (erster Ordnung an den Stellen s = n, n und ist sonst in Re s < holomorph und von Null verschieden. Außerdem gilt ζ(s = für Re s = und Re s =. Weitere mögliche ( nicht-triviale Nullstellen der Zeta-Funktion liegen im Streifen < Re s <. In diesem Streifen stimmen die Nullstellen von ζ und ξ überein. Da ξ(s für reelle s reelle Werte hat (mit Ausnahme der beiden Pole, gilt ξ( s = ξ(s nach dem Schwarzschen Spiegelungsprinzip (und ebenso ζ( s = ζ(s. Die Funktionalgleichung lässt sich schreiben als ( ( ( ξ + s = ξ s, ( ( ξ + s = ξ s, bzw. mit s = σ + it als ( ( ξ + σ + it ( = ξ σ + it. Dabei ist + σ + it σ + it die Spiegelung an der Geraden Re s = σ =. Daraus folgt: Ist (σ + σ + it R, σ eine Nullstelle der Zeta-Funktion, so sind auch σ + it, + σ it, σ it Nullstellen. Mitschrift von Andreas Wadhwa. Letzte Änderung:
2 (RV Riemannsche Vermutung: Alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta- Funktion liegen auf der Geraden Re s =. Definition. Sei T >. Dann bezeichne N(T die Anzahl der Nullstellen s der Zeta-Funktion mit < Re s < und Im s T (wobei darunter die Anzahl mit eventueller Vielfachheit zu verstehen ist. Man vermutet, dass es nur einfache Nullstellen gibt, aber dieses Problem ist noch ungelöst. Ziel: Beweis der asymptotischen Formel für N(T : N(T = T (log T π π + O(log T. Bemerkung. Dies vergleiche man mit π(x x. log x 8.. Satz. Sei T > so gewählt, dass es keine Nullstelle s der Zeta-Funktion mit Im s = T gibt. Dann gilt N(T = π Im ξ (s ds +. ξ(s L Der Integrationsweg L ist dabei der Streckenzug von über + it nach + it : it +it +it Beweis. Die Funktion ξ(s hat im Inneren des unten skizzierten Weges γ genau N(T Nullstellen und Polstellen (erster Ordnung. 8.
3 + it + it γ + it it Deshalb ist N(T = πi γ ξ (s ξ(s ds. Dies lässt sich wegen der Symmetrie ( schreiben als N(T = ξ (s πi ξ(s ds, γ + wobei γ + der Teil des geschlossenen Weges γ ist, der in der oberen Halbebene Im s liegt. Mit der Symmetrie ( folgt hieraus weiter N(T = ξ (s i Im πi ξ(s ds. L 8.3. Argument-Funktion einer holomorphen Funktion. Sei U C ein Gebiet und f : U C eine holomorphe Funktion. Dann kann lokal in U eine harmonische Funktion arg f : V R definiert werden durch Es gilt also f(z = f(z e i arg f(z. arg f(z = Im ( log f(z. 8.3
4 Die Funktion arg f(z ist nur bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von π eindeutig bestimmt. Das Differential d arg f(z ist global eindeutig bestimmt. Ist U einfach zusammenhängend, so lässt sich ein in ganz U harmonischer Zweig von arg f wählen. Durch die Vorgabe des Wertes von arg f(z für einen festen Punkt z U (mit f(z = f(z e i arg f(z ist dann arg f in U eindeutig bestimmt Anwendung auf die Funktion ξ in einer kleinen einfach zusammenhängenden offenen Umgebung U des Integrationsweges L: Es lässt sich ein eindeutig bestimmter Zweig arg ξ(x wählen mit arg ξ( =. Die Formel N(T = π Im ξ (s ξ(s ds L lässt sich damit schreiben als N(T = d arg ξ(s = (. π π arg ξ + it L Da ξ(s = π s/ Γ ( s ζ(s, gilt ( arg ξ(s = arg e s s log π + arg Γ + arg ζ(s. Dabei sind die einzelnen Argumentfunktionen so zu wählen, dass sie an der Stelle s = den Wert haben. Daraus folgt sofort: 8.5. Satz. N(T = π (arg e ( 4 i T log π + ( π arg Γ 4 + it + ( π arg ζ + it. Hier gilt: ( arg e ( 4 i T log π = T log π. ( Die Γ Funktion ist in der ganzen Halbebene Re s > holomorph und =, also lässt sich arg Γ in der ganzen rechten Halbebene eindeutig definieren. 8.4
5 8.6. Satz (Stirlingsche Formel für die Gamma-Funktion. In der Halbebene Re z > gilt ( log Γ(z = z log z z + log ( π + O. z Dabei ist log z der Hauptzweig des Logarithmus (der reell ist für positive relle z, und ebenso ist log Γ(z reell für reelle z >. Für den Beweis werden einige Aussagen benötigt, die wir deshalb dem Beweis voranstellen Erinnerung. Die klassische Stirlingsche Formel besagt n! ( n n, πn e woraus durch Logarithmieren ( log n! = n + log n n + log π + ε n mit lim n ε n = folgt Lemma (Trapez-Regel. Sei f : [, ] C eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Sei φ(x := x( x. Dann gilt f(x dx = ( f( + f( φ(xf (x dx. Beweis durch zweimaliges partielles Integrieren von φ(xf (x dx Corollar. Sei φ : R R definiert durch φ(x = x( x für x, φ(x := φ(x x für alle x R.... φ φ(x 8... Weiter sei f : [n, N] C zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt N N f(x dx = f(k ( f(n + f(n N φ(xf (x dx. n k=n n 8.5
6 8.. Beweis der Stirlingschen Formel. Nach Gauß ist n! n z Γ(z = lim n z(z + (z + n, also [ log Γ(z = lim log(n! + z log n n n k= = lim [(n + log n n + z log n n ] log(z + k n ] log(z + k + ε n + log π mit der Notation aus (8.7.. Auf die auftretende Summe wenden wir das Corollar aus der Trapez-Regel an und erhalten n log(z + k = Hier ist k= n n k= log(z + t dt + ( n log z + log(z + n φ(t (z + t dt. log(z + t dt = (z + n ( log(z + n z(log z, und für Re z > und t ist z z + t sowie t z + t, so dass z + t A( z + t mit A = gilt, weshalb n φ(t (z + t dt n 8 A ( z + t dt A ( 8 z = O. z Es folgt log Γ(z = lim [(n + log n n + z log n n (z + n ( log(z + n + z(log z + log ( π + O z = log π + ( z log z [( + lim n + ] (log n + z n log(z + n + O ( log z + log(z + n ] (. z Nun ist log(z + n = log (n ( + z/n = log n + log ( + z/n, und für festes z und große n gilt log ( + z/n = z/n + O (/n. Wir erhalten log Γ(z = log ( π + z ( log z z + O. z 8.6
7 8.. Anwendung der Stirlingschen Formel zur Berechnung von arg Γ ( + i T 4 = Im log Γ ( + i T. Es ist 4 ( log Γ 4 + it = also Nun ist ( ( ( 4 + it log 4 + it 4 + it + log ( π + O, T ( arg Γ 4 + it = [( = Im ( 4 + it = T log 4 + it log 4 + it 4 arctan T T ( + O. T lim (arctan x x π arctan x π/ = lim x x /x ] + i arctan T T ( + O T = lim x /( + x /x = (mit Hilfe der l Hospitalschen Regel, weshalb arctan x = π/ + O (/x, also arctan T = π/ + O (/T. Ferner ist x( a + ix x = x a + x x a für a, x, also 4 + it = T ( + O = T ( ( + O T T und daher log /4 + it/ = log(t/ + O(/T. Es folgt ( arg Γ 4 + it = T log T T π ( 8 + O. T 8.. Als Zwischen-Ergebnis können wir festhalten N(T = + ( T π log T T 8 T π log π + π ( d arg ζ(s + O, T L bzw. N(T = T π log T π T π S(T + O ( T, 8.7
8 wobei S(T = π L d arg ζ(s = π arg ζ( + it + π +it +it d arg ζ(s. Hier gilt: Behauptung. arg ζ( + it < π. Beweis. Für Re s gilt ζ(s = + n= ζ(s n= n = π 6 <, d.h. für Re s liegt ζ(s innerhalb eines Kreises vom Radius um den Punkt, der Winkel arg ζ(s ist für Re s daher dem Betrage nach kleiner als π. Abzuschätzen bleibt das Integral +it +it d arg ζ(s. n s Dafür werden noch einige Hilfsmittel benötigt. und 8.3. Hilfssatz. Sei k die Anzahl der Nullstellen von Re ζ(s (gezählt ohne Vielfachheiten auf der Geraden Dann gilt s = σ + it, +it +it σ. d arg ζ(s (k + π. Beweis. Seien σ < σ <... < σ k die Nullstellen von σ Re ζ(σ + it (T fest. Für σ j < σ < σ j+ liegt ζ(σ + it entweder ganz in der rechten Halbebene {Re z > } oder ganz in der linken Halbebene {Re z < }. 8.8
9 ζ(σ j+ + it ζ(σ + it ζ(σ j + it Der Winkel arg ζ(σ + it variiert deshalb um weniger als π für σ j < σ < σ j+, d.h. σ j+ +it d arg ζ(s π. σ j +it 8.4. Es gilt Re ζ(σ + it = ζ(σ + it + ζ(σ + it = ζ(σ + it + ζ(σ it. Wir setzen F (s := ζ(s + it + ζ(s it. Die Funktion F (s ist holomorph für s = ± it, und die Anzahl der Nullstellen von Re ζ(σ + it auf der Geraden σ ist kleiner gleich der Anzahl der Nullstellen von F (S im Kreis {s C : s 3} Hilfssatz. Sei a C mit a <. Dann gilt π log e iφ a dφ =. Beweis. Für z = gilt z a = z a z = az, also ist log z a = log az eine harmonische Funktion in z. Der Mittelwertsatz für harmonische Funktionen liefert π π log ae iφ dφ = log =. 8.9
10 8.6. Satz (Jensen. Es sei D R := {z C : z < R}. Sei F holomorph in einer Umgebung von D R. F habe keine Nullstellen auf D R und es gelte F ( =. Dann gilt log F ( = π log F (Re iφ dφ + π n ( aj log. R j= Dabei sind a, a,..., a n die Nullstellen von F in D R. Beweis. Wir setzen G(z := n ( z R a j R j= Nach dem Hilfssatz gilt π also ist π. log G(Re iφ dφ =, log F (Re iφ dφ = Die Funktion z log F (z G(z π log F (Re iφ G(Re iφ dφ. ist harmonisch in z R, und der Mittelwertsatz auf sie angewendet ergibt die Behauptung Corollar. Die Bezeichnungen und Voraussetzungen des Satzes von Jensen seien beibehalten. Zusätzlich sei < ρ < R und bezeichne N F (ρ die Anzahl der Nullstellen von F im Kreis z ρ. Dann gilt N F (ρ π log F (Re iφ dφ log F (. log(r/ρ π Beweis. N F (ρ log(r/ρ n j= log ( R a j. 8.
11 8.8. Anwendung zur Abschätzung der Anzahl der Nullstellen der Funktion F T (s := F (s = ζ(s + it + ζ(s it aus (8.4. im Kreis {s C : s 3 }. Für T ist F holomorph im Kreis { s < }. Wähle ein R mit 7 R 5 derart, dass F auf der Kreislinie 4 8 s = R keine Nullstellen hat. Setze F T (z := F ( + z = F T ( + z. Dann ist N FT (ρ die Anzahl der Nullstellen von F (s im Kreis s ρ. Das Corollar mit ρ = 3 ergibt ( 3 N FT log(7/6 π π log F ( + Re iφ dφ log F (. + it it 8.
12 Aus der für Re s > gültigen Formel ζ(s = s s s u u u +s du folgt ζ(s = O(t (t = Im s gleichmäßig in Re s δ >, s δ >. Also ist log F T ( + z = O(log T im Kreis z 5. Es folgt 8 ( 3 N FT = O(log T. Dies ergibt (unter Berücksichtigung von (8.., (8.3. und (8.4. schließlich: 8.9. Satz. N(T = T π log T π T π + O(log T. 8.
Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. z z + m 1 f(z +m+1) = ( 1)m 1
23 3 Die Γ-Funktion Gesucht ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Fakultäten interpoliert. f(n) = (n )! für n N. Das wird durch die Funktionalgleichung erreicht. Bemerkungen. f(z + ) =
MehrDie Riemannsche Zetafunktion. 1 Einführung
Die Riemannsche Zetafunktion Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie,..8 Michael Hoschek Mit meinem Vortrag möchte ich die wichtigste Dirichletsche Reihe, die Riemannsche Zetafunktion mit einigen besonderen
MehrLösungen zur Klausur Funktionentheorie I SS 2005
Universität Karlsruhe 29 September 25 Mathematisches Institut I Prof Dr M von Renteln Dr C Kaiser Aufgabe en zur Klausur Funktionentheorie I SS 25 Sei S die Möbiustransformation, die durch S(z) = i i z
Mehra n (z a) f (z) = für alle z K erfüllt ist. Dabei gilt a n = f (n) (a) für alle n N 0. Beispiel 1: Sei f (z) = z 3 3z + 4.
Satz (VEKDF, Teil II) Sei D C und f : D C eine holomorphe Funktion. Dann ist f in einer Umgebung von jedem Punkt a D durch eine Potenzreihe darstellbar. Das bedeutet: Es gibt einen Kreis K um a und a 0,
MehrÜbungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3
Mehr6 Komplexe Integration
6 Komplexe Integration Ziel: Berechne für komplexe Funktion f : D W C Integral der Form f(z)dz =? wobei D C ein Weg im Definitionsbereich von f. Fragen: Wie ist ein solches komplexes Integral sinnvollerweise
MehrFortsetzung der Zetafunktion
Fortsetzung der Zetafunktion Sören Lammers Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Sommersemester 009, Leitung Prof. Dr. E. Freitag) Zusammenfassung: Thema dieser Ausarbeitung ist die Riemannsche
MehrDie Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel. dt = lim. = lim = Weiters erhalten wir durch partielle Integration, dass
Die Gamma-Funktion, das Produkt von Wallis und die Stirling sche Formel Zuerst wollen wir die Gamma-Funktion definieren, die eine Verallgemeinerung von n! ist. Dazu benötigen wir einige Resultate. Lemma.
MehrDer Primzahlsatz. Es gibt eine Konstante A, so daß f(x) g(x) Ah(x) für alle genügend großen x.
Der Primzahlsatz Zusammenfassung Im Jahr 896 wurde von Hadamard und de la Vallée Poussin der Primzahlsatz bewiesen: Die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich verhält sich asymptotisch wie / log. Für ihren
MehrPotenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen
Potenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen Man kennt die Potenzgesetze und die Logarithmengesetze gewöhnlich schon aus der Schule und ist es gewohnt, mit diesen leicht zu agieren und ohne große
MehrSS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.
SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
MehrDie Riemann'sche Vermutung
Die Riemann'sche Vermutung Julián Cancino (ETH Zürich) 7. Juni 7 Leonhard Euler (77-783) und Bernhard Riemann (86-866) sind sicher die bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten für ihre Beiträge zu verschiedenen
MehrÜbungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom
Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R
Mehr6. Die Gamma-Funktion
6.. Die Gamma-Futio ist für C mit Re > 0 defiiert durch Γ( := 0 t e t dt (Euler-Itegral. Bemerug. Es ist t e t = t x e t mit x = Re. Beatlich overgiert 0 t x e t dt für x > 0 (das ist die reelle Gamma-Futio.
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen
Mehre i(π t) ( ie i(π t) ) dt dt = i 2i t=0
UNIVESITÄT KALSUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe
Mehr8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
Mehr2.6 Der komplexe Logarithmus und allgemeine Potenzen
2.6 Der komplexe Logarithmus und allgemeine Potenzen Ziel: Umkehrung der komplexen Exponentialfunktion fz) = expz). Beachte: Die Exponentialfunktion expz) ist für alle z C erklärt, und es gilt Dexp) =
MehrModulformen, Teil 1. 1 Schwach modulare Funktionen
Vortrag zum Seminar zur Funktionentheorie, 3.3.2 Robin Blöhm Dieser Vortrag führt uns zur Definition von Modulformen. Gemeinsam mit einem ersten Beispiel, den bereits bekannten Eisenstein-Reihen, ist sie
MehrMAA = MAB + B AA = B CA + CAA BA A Nun sehen wir mit Proposition 10.7 aus dem Skript, dass A M AB gelten muss.
1. Konvexität in der absoluten Ebene In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene hat die Strecke zwischen zwei Seitenmittelpunkten die halbe Länge der dritten Seite. In der absoluten Ebene hat man eine
Mehr10. Äquivalenzen zur Riemannschen Vermutung
0. Äquivalenzen zur Riemannchen Vermutung 0. Äquivalenzen zur Riemannchen Vermutung Satz. Sei θ 0, (ii θ( = + O( θ+ε für alle ε > 0,
MehrAnalytische Zahlentheorie
Skriptum zur Vorlesung Analytische Zahlentheorie Sommersemester 7 Prof Dr Helmut Maier Dipl-Math Dipl-Inform Daniel Haase Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm Inhaltsverzeichnis
MehrPrimzahlen und die Riemannsche Vermutung
Primzahlen und die Riemannsche Vermutung Benjamin Klopsch Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf Tag der Forschung November 2005 Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen
MehrAnalysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse
Analysis II (FS 215): Vektorfelder und Flüsse Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 7. April 215 1 Der Fluss eines Vektorfeldes Sei U R n eine offene Menge und sei f : U R n eine lokal Lipschitz-stetige Abbildung.
MehrTutorübung 5. Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 2014
Tutorübung 5 Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 24 Aufgabe T Bestimme die Taylorreihen von (a) cos(x) um a. (b) ln(x) um a. (c) um a 2. +x Bestimme in allen Fällen das Taylorpolynom T n,a
MehrKapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen
Kapitel 7 Funktionentheorie In diesem Kapitel geht es meistens um Funktionen, die auf einem Gebiet G C definiert sind und komplexe Werte annehmen. Nach Lust, Laune und Bedarf wird C mit R identifiziert,
MehrDie komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen
Die komplexe Exponentialfunktion und die Winkelfunktionen In dieser Zusammenfassung werden die für uns wichtigsten Eigenschaften der komplexen und reellen Exponentialfunktion sowie der Winkelfunktionen
MehrDie Riemannsche Vermutung
Mathematik Online: Beiträge zu berühmten, gelösten und ungelösten Problemen Die Riemannsche Vermutung von Jörg Brüdern Nummer - April 008. Primzahlen. Das Zählen gehört zu den archaischen Wurzeln der Mathematik.
Mehr3.3 Das Abtasttheorem
17 3.3 Das Abtasttheorem In der Praxis kennt man von einer zeitabhängigen Funktion f einem Signal meist nur diskret abgetastete Werte fn, mit festem > und ganzzahligem n. Unter welchen Bedingungen kann
MehrÜbungen zur Funktionentheorie Lösungen zu Übungsblatt 6
Mathematisches Institut SS 29 Universität München Prof. Dr. M. Schottenloher C. Paleani A. Stadelmaier M. Schwingenheuer Übungen zur Funktionentheorie Lösungen zu Übungsblatt 6. Gegeben sei folgende konforme
MehrIV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen
IV. Stetige Funktionen. Grenzwerte von Funktionen Definition. Seien X und Y metrische Räume und E X sowie f : X Y eine Abbildung und p ein Häufungspunkt von E. Wir schreiben lim f(x) = q, x p falls es
Mehr1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:
Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere
MehrDie komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.
Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
Mehr1 Einführung. (ii) Exponentialfunktion, Winkelfunktionen, hyperbolische Winkelfunktionen, abgeleitete
Inhaltsverzeichnis 1 Einführung I 1.1 Spezielle Funktionen in der Vorlesung.................. I 1. Mathematische Theorien und Konzepte................. I 1.3 Kurzübersicht...............................
MehrKomplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
MehrLanglands-Programm. Zahlentheorie = Algebra + Geometrie + Analysis. Torsten Wedhorn. 19. Januar 2012
Zahlentheorie = Algebra + Geometrie + Analysis 19. Januar 2012 Inhalt 1 Dreieckszahlen 2 3 4 Dreieckszahlen Eine rationale Zahl D > 0 heißt Dreieckszahl (oder Kongruenzzahl), falls D die Fläche eines rechtwinkligen
Mehr11 Logarithmus und allgemeine Potenzen
Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
MehrPrimzahlen und die Riemannsche Vermutung
Primzahlen und die Riemannsche Vermutung Von Christopher Deninger 1 Einführung Die natürlichen Zahlen 1,, 3, 4, sind uns wohlvertraut. Ihre multiplikativen Bestandteile sind die Primzahlen, d.h. die Zahlen
MehrKapitel 16 : Differentialrechnung
Kapitel 16 : Differentialrechnung 16.1 Die Ableitung einer Funktion 16.2 Ableitungsregeln 16.3 Mittelwertsätze und Extrema 16.4 Approximation durch Taylor-Polynome 16.5 Zur iterativen Lösung von Gleichungen
Mehr16 Vektorfelder und 1-Formen
45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
Mehrf(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}
9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen
MehrKapitel I. Holomorphe Funktionen. 1 Potenzreihen
Kapitel I Holomorphe Funktionen Potenzreihen Definition. Sei f a (z) = c n (z a) n eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a. Die Zahl R := sup{r 0 z C, so daß f a (z) konvergent und r = z a ist.} heißt
Mehrist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).
Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)
MehrModellfall. Orthogonalität trigonometrischer Funktionen. Anwendungen: f : (0, L) R gegeben.
Modellfall Anwendungen: Fragen: Digitalisierung / digitale Darstellung von Funktionen, insbesondere für Ton- und Bilddaten Digitale Frequenzfilter Datenkompression: Abspeichern der unteren Frequenzen Lösung
MehrVortrag CASK Die Nullstellen der Zeta Funktion und die Verteilung der Primzahlen. - unter Verwendung von mathcad 12. Prof. Dr.
Vortrag CASK 007 Die Nullstellen der Zeta Funktion und die Verteilung der Primzahlen - unter Verwendung von mathcad Prof. Dr. Peter Grobstich. Die Ermittlung aller Primzahlen bis N. Der Zusammenhang der
MehrPrimzahlen von Euklid bis heute
Mathematisches Institut Universität zu Köln bruinier@math.uni-koeln.de 5. November 2004 Pythagoras von Samos (ca. 570-480 v. Chr.) Euklid von Alexandria (ca. 325-265 v. Chr.) Teilbarkeit Satz von Euklid
MehrEinführung in die Funktionentheorie 1
Einführung in die Funktionentheorie Martin Ziegler Freiburg, WS 994/95, WS 2000/0, SS 2006 Literatur [] Klaus Jänich. Funktionentheorie. Springer Verlag, 993. [2] H.Behnke und F.Sommer. Theorie der analytischen
MehrEtwas Topologie. Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann
Etwas Topologie Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann Literatur Abraham, Marsden, Foundations of Mechanics, Addison Wesley 1978, Seiten 3 17 Definition. Ein topologischer
Mehr13. Abzählen von Null- und Polstellen
13. Abzählen von Null- und Polstellen 77 13. Abzählen von Null- und Polstellen Als weitere Anwendung des Residuensatzes wollen wir nun sehen, wie man ot au einache Art berechnen kann, wie viele Null- bzw.
MehrÜbungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016
Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (VE) Sommersemester 6 Prof. Dr. Martin Rumpf Pascal Huber Sascha Tölkes Übungsblatt 8 Abgabe:.6.6 Aufgabe 5 (Elliptisches Randwertproblem auf einem Ring)
MehrKapitel 6. Exponentialfunktion
Kapitel 6. Exponentialfunktion 6.1. Potenzreihen In Kap. 4 haben wir Reihen ν=0 a ν studiert, wo die Glieder feste Zahlen sind. Die Summe solcher Reihen ist wieder eine Zahl, z.b. die Eulersche Zahl e.
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrLeitfaden a tx t
Leitfaden -0.7. Potenz-Reihen. Definition: Es sei (a 0, a, a 2,...) eine Folge reeller Zahlen (wir beginnen hier mit dem Index t 0). Ist x R, so kann man die Folge (a 0, a x, a 2 x 2, a 3 x 3,...) und
Mehr5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen
5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten
MehrDie Riemannsche Zetafunktion
Die Riemannsche Zetafunktion Bakkalaureatsarbeit ausgeführt am Institut für Analysis und Scientific Computing Technische Universität Wien Betreuer Dr. Wolfgang Herfort Dr. Stefan Krause von Armand Nabavi
MehrAnalysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
MehrInhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31
Inhalt Vorwort... 5 1 Stammfunktionen... 7 1.1 Erklärung der Stammfunktionen........................................... 7 1.2 Eigenschaften der Stammfunktionen.................................... 10 1.3
Mehreine Folge in R, für die man auch hätte schreiben können, wenn wir alle richtig raten, was auf dem Pünktchen stehen sollte.
Analysis, Woche 5 Folgen und Konvergenz A 5. Cauchy-Folgen und Konvergenz Eine Folge in R ist eine Abbildung von N nach R und wird meistens dargestellt durch {x n } n=0, {x n} n N oder {x 0, x, x 2,...
Mehr4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 19. Juli 2009 341 4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen Schon in Abschnitt 1.4 hatten wir die Dichte einer Kugelpackung, speziell eines Gitters bzw. einer quadratischen
MehrL-Funktionen in Geometrie und Arithmetik
Fachbereich Mathematik Technische Universität Darmstadt bruinier@mathematik.tu-darmstadt.de 30. Januar 2008 Leonhard Euler (1707 1783) Bernhard Riemann (1826-1866) Die rationalen Zahlen Prinzahlen Die
MehrDie alternierende harmonische Reihe.
Die alternierende harmonische Reihe Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe k k + = 2 + 3 4 + konvergiert nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, und es gilt k k + = ln2 = 06934 für den Grenzwert
Mehr17 Logarithmus und allgemeine Potenz
7 Logarithmus und allgemeine Potenz 7. Der natürliche Logarithmus 7.3 Die allgemeine Potenz 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b 7.6 Die Logarithmusfunktion zur
MehrAnalysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
MehrKomplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen
MehrFlüsse, Fixpunkte, Stabilität
1 Flüsse, Fixpunkte, Stabilität Proseminar: Theoretische Physik Yannic Borchard 7. Mai 2014 2 Motivation Die hier entwickelten Formalismen erlauben es, Aussagen über das Verhalten von Lösungen gewöhnlicher
Mehr14. Die Riemannsche Zetafunktion
4. Die Riemannsche Zetafunktion 83 4. Die Riemannsche Zetafunktion Zum Abschluss dieses Skripts wollen wir noch ein paar sehr interessante Anwendungen unserer erarbeiteten Theorie betrachten, die zum einen
MehrÜbungen zur Vorlesung MATHEMATIK II
Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom
MehrFolgen und Reihen von Funktionen
Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die
MehrKapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen
Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit
Mehrκ Κα π Κ α α Κ Α
κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ
MehrÜbungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen ur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 2012 Präsenblatt ur mündlichen Bearbeitung in den
MehrDie Riemannsche Vermutung
Elem. Math. 57 (2002) 90 95 0013-6018/02/030090-6 c Birkhäuser Verlag, Basel, 2002 Elemente der Mathematik Die Riemannsche Vermutung Jürg Kramer 1 Einführung In dem hier vorzustellenden Millenniumsproblem
MehrAnalysis II. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 51 Für eine stetig differenzierbare Funktion ϕ: R R mit ϕ (P) > 0 in einem Punkt P R gibt es ein offenes Intervall P I =]P δ,p +δ, auf dem ϕ
MehrIntegration über allgemeine Integrationsbereiche.
Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und
MehrStetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen
MehrFormelsammlung zum Starterstudium Mathematik
Formelsammlung zum Starterstudium Mathematik Universität des Saarlandes ¼ Version.3 Inhaltsverzeichnis. Potenzgesetze. Vollständige Induktion 3. Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 4 4. Folgen und
Mehr2. Mathematische Grundlagen
2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,
MehrDer Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt.
Kapitel 3 Konvexität 3.1 Konvexe Mengen Der Begriff der konvexen Menge ist bereits aus Definition 1.4, Teil I, bekannt. Definition 3.1 Konvexer Kegel. Eine Menge Ω R n heißt konvexer Kegel, wenn mit x
MehrFolgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
MehrLösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt.
Übung zur Analysis III WS / Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt. Aufgabe 54 Sei a R\{}. Ziel ist die Berechnung des Reihenwertes k a + k. Definiere dazu f : [ π, π] R, x coshax. Wir entwickeln f in eine
MehrAnalysis IV, SS 2012 Freitag $Id: residuum.tex,v /06/29 17:27:57 hk Exp $
$Id: residuum.tex,v.6 202/06/29 7:27:57 hk Exp $ 6 Der Residuenkalkül 6. Der Residuensatz Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den Begriff des Residuums einer holomorphen Funktion f : U C in einer isolierten
MehrApril (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
MehrBernd Dreseler. Funktionentheorie I. Sommersemester Vorlesungsmitschrift von J.Breitenbach. Siegen 2002
Bernd Dreseler Funktionentheorie I Sommersemester 1991 Vorlesungsmitschrift von J.Breitenbach Siegen 2002 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkung ii 0 Abbildungen f : U lc lc, (x, y) f(x, y) 2 1 Holomorphe Funktionen
Mehr(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)
3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
Mehr$Id: stetig.tex,v /06/26 15:40:18 hk Exp $
$Id: stetig.tex,v 1.11 2012/06/26 15:40:18 hk Exp $ 9 Stetigkeit 9.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der Grundeigenschaften stetiger Funktionen nachgewiesen,
Mehr31 Die Potentialgleichung
3 Die Potentialgleichung Die Potentialgleichung oder auch Poisson-Gleichung ist die lineare Gleichung zweiter Ordnung u = f in einem Gebiet R n. Im homogenen Fall f = 0 spricht man auch von der Laplace-
MehrHarmonische und Holomorphe Funktionen
Harmonische und Holomorphe Funktionen Jonathan Bischoff LMU München illertal am 14.12.2014 Jonathan Bischoff Harmonische und Holomorphe Funktionen 1/14 Definition harmonische Funktion Sei G R 2 ein Gebiet.
MehrPotenzreihen. Potenzreihen sind Funktionenreihen mit einer besonderen Gestalt.
Potenzreihen Potenzreihen sind Funtionenreihen mit einer besonderen Gestalt. Definition. Ist (a ) eine Folge reeller (bzw. omplexer) Zahlen und x 0 R (bzw. z 0 C), dann heißt die Reihe a (x x 0 ) (bzw.
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrDefinition: Differenzierbare Funktionen
Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ
Mehr3 Vektorbündel und das Tangentialbündel
$Id: vektor.tex,v 1.6 2014/06/30 10:20:57 hk Ex $ $Id: fluss.tex,v 1.2 2014/06/30 12:36:06 hk Ex hk $ 3 Vektorbündel und das Tangentialbündel 3.4 Ableitungen von C q -Funktionen In der letzten Sitzung
MehrFunktionentheorie II
MA5005 Funktionentheorie II gelesen von PD Dr. Peter Massopust Vorlesungsmitschrift von Dominik Volland 1 1 Wiederholung C bezeichne den Körper der komplexen Zahlen. Eine nichtleere offene zusammenhängende
Mehr4 Die Hauptsätze über holomorphe Funktionen
$Id: holo.tex,v 1.7 2012/06/08 07:55:28 hk Exp hk $ 4 Die Hauptsätze über holomorphe Funktionen 4.2 Identitätssatz und erste Folgerungen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine der wichtigsten Eigenschaften
Mehr