Determinisierung von endlichen Automaten

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1 Thomas Hanneforth Institut für Linguistik Universität Potsdam May 14, 2014 Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

2 Outline 1 Einführung 2 Beispiel 3 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus 4 Äquivalenzbeweis 5 Komplexität Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

3 Satz Zu jedem nicht-deterministischen Automaten A = Q, Σ, q 0, δ nd, F (mit δ nd : Q Σ 2 Q ) gibt es einen deterministischen Automaten A = Q, Σ, q 0, δ d, F mit L(A) = L(A ). Vorgehen 1 Konstruktion: Teilmengen-Konstruktion 2 Induktionsbeweis über die Länge der Wörter dass L(A) = L(A ) gilt. Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

4 Definition (Teilmengen-Konstruktion) Es sei A = Q, Σ, q 0, F, δ nd ein NEA. Definiere den DEA A = Q, Σ, q 0, F, δ d wie folgt: Q = 2 Q \ q 0 = {q 0} F = {S Q S F } δ d (S, l) = q S δ nd(q, l), l Σ, S Q Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

5 Teilmengen-Konstruktion Idee: Simulation des DEA mit allen möglichen Eingaben w Zu jedem Zeitpunkt der Verarbeitung von w befindet sich der DEA in einer Menge von NEA-Zuständen. Zu Beginn befindet sich der DEA in der Menge {q 0 } wobei q 0 der Startzustand des NEA ist Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

6 Teilmengen-Konstruktion Simulation des NEA für die Eingabe abc Gegebener NEA Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

7 Teilmengen-Konstruktion Simulation des NEA für die Eingabe abc Aktuelle Zustandsmenge S = {q 0 } Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

8 Teilmengen-Konstruktion Simulation des NEA für die Eingabe abc Nach Verarbeitung von a: S = {q 1, q 2, q 3 } Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

9 Teilmengen-Konstruktion Simulation des NEA für die Eingabe abc Nach Verarbeitung von b: S = {q 4, q 5, q 6 } Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

10 Teilmengen-Konstruktion Simulation des NEA für die Eingabe abc Nach Verarbeitung von c: S = {q 1, q 4, q 7 } enthält einen Endzustand, also ist S auch ein Endzustand im DEA Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

11 Teilmengen-Konstruktion Simulation des NEA für die Eingabe abc {q0} a {q1,q2,q3} b {q4,q5,q6} c {q1,q4,q7} Simulierter DEA für abc Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

12 Outline 1 Einführung 2 Beispiel 3 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus 4 Äquivalenzbeweis 5 Komplexität Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

13 Beispiel: Determinisierung eines NEAs Beispiel-NEA Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

14 Beispiel: Determinisierung eines NEAs Zustände des DEA als Teilmengen der Zustandsmenge des NEA Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

15 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0 }, l = a Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

16 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 1 }, l = b Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

17 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 2 }, l = c Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

18 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 1 }, l = a Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

19 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 1 }, l = b Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

20 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 2 }, l = a Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

21 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 2 }, l = c Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

22 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 1, q 2 }, l = b Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

23 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 1, q 2 }, l = c Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

24 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 1, q 2 }, l = a Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

25 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 1, q 2 }, l = b Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

26 Beispiel: Determinisierung eines NEAs S = {q 0, q 1, q 2 }, l = c Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

27 Beispiel: Determinisierung eines NEAs Konstruierter DEA Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

28 Beispiel: Determinisierung eines NEAs Die grau dargestellten Zustände sind nutzlos, da sie nicht erreichbar sind Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

29 Beispiel: Determinisierung eines NEAs DEA nach Entfernung der nutzlosen Zustände Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

30 Diskussion Die naive, mengentheoretische Version des Determinisierungsalgorithmus ist aus mehreren Gründen inadäquat: Sie ist aufgrund der Kardinalität der Potenzmenge schon für kleine NEAs unpraktikabel. Sie erzeugt in den meisten praktischen Fällen viel zu viele nutzlose Zustände (z.b. Zustände, die vom Startzustand aus nicht erreichbar sind), die Speicher verbrauchen und die am Ende auch wieder entfernt werden müssen, was Zeit kostet. Die Lösung ist ein Algorithmus mit Erreichbarkeitsinvariante: alle vom Algorithmus erzeugten Zustände sind qua Konstruktion vom Startzustand aus erreichbar. Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

31 Diskussion Die naive, mengentheoretische Version des Determinisierungsalgorithmus ist aus mehreren Gründen inadäquat: Sie ist aufgrund der Kardinalität der Potenzmenge schon für kleine NEAs unpraktikabel. Sie erzeugt in den meisten praktischen Fällen viel zu viele nutzlose Zustände (z.b. Zustände, die vom Startzustand aus nicht erreichbar sind), die Speicher verbrauchen und die am Ende auch wieder entfernt werden müssen, was Zeit kostet. Die Lösung ist ein Algorithmus mit Erreichbarkeitsinvariante: alle vom Algorithmus erzeugten Zustände sind qua Konstruktion vom Startzustand aus erreichbar. Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

32 Outline 1 Einführung 2 Beispiel 3 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus 4 Äquivalenzbeweis 5 Komplexität Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

33 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus Input: NFA A = Q, Σ, q 0, δ nd, F Output: DFA A = Q, Σ, {q 0 }, δ d, F 1 R ; L ; Q F 2 Enqueue(L, {q 0 }) 3 while L do 4 S Dequeue(L) 5 Q Q {S} 6 if S F then 7 F F {S} 8 C = { a, p S δ nd(p, a) Σ 2 Q r S : δ nd (r, a) } 9 for each a, S C do 0 if S / R then 1 R R {S } 2 Enqueue(L, S ) 3 δ d (S, a) S Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

34 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus Erläuterungen Der Algorithmus verwendet eine Menge R, in der sich die bereits konstruierten Zustände des DEAs befinden. Außerdem verwendet er eine Liste L (eine sog. Agenda), in der sich die noch zu verarbeitenden Teilmengen S Q befinden. Zeile 2 fügt die Einermenge mit dem Startzustand q 0 des NEAs in die Liste L ein. Zeilen 3 15 bilden eine while-schleife: solange sich noch Zustandsmengen in der Liste L befinden, werden diese schrittweise entnommen und weiterverarbeitet. Zeile 4 entnimmt eine Zustandsmenge S aus der Liste. Diese wird in Zeile 5 zu Q hinzugefügt. Enthält S einen oder mehrere Endzustände (Z. 6), dann wird S auch zur Endzustandsmenge F des DEA hinzugefügt (Z. 7). Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

35 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus Erläuterungen Zeile 8 erzeugt eine Menge von Kandidatenpaaren S, a : S enthält dabei alle Zustände aus Q, die von einem Zustand p aus S mit a mit einem Übergang in A erreichbar sind. Die Kandidatenmenge C wird in der for-schleife (Z. 9 13) verarbeitet. Ist die Zustandsmenge S eine nicht schon einmal konstruierte Menge (S / R, Z. 10), dann wird sie R (Z. 11) und auch die Agenda L aufgenommen (Z. 12). In jedem Fall wird in den DEA ein Übergang S a S aufgenommen. Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

36 Outline 1 Einführung 2 Beispiel 3 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus 4 Äquivalenzbeweis 5 Komplexität Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

37 Äquivalenzbeweis Zu zeigen L(A) = L(A ) Aufgrund der Definition der Sprachen von NEAs und DEAs ist dies äquivalent zu: {w Σ δ nd (q 0, w) F } = {w Σ δ d ({q 0}, w) F } Mit anderen Worten: w Σ : w L(A) w L(A ) w L(A ) w L(A) Allgemeinere Behauptung w Σ : δ d (q 0, w) = δ nd (q 0, w) Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

38 Äquivalenzbeweis δ nd und δ d Definition (δ nd ) q Q : δnd (q, ε) = {q} q Q, a Σ, w Σ : δnd (q, wa) = p δnd (q,w) δ nd(p, a) Definition (δ d ) q Q : δd (q, ε) = q q Q, a Σ, w Σ : δd (q, wa) = δ d(δd (q, w), a) Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

39 Äquivalenzbeweis Induktion über die Länge der Wörter w Induktionsbasis: w = 0 w = ε (i) δd (q 0, ε) = q 0 (Definition von δd ) (ii) q 0 = {q 0} (Definition von A ) (iii) {q 0 } = δnd (q 0, ε) (Definition von δnd ) Also gilt: δ d (q 0, ε) = δ nd (q 0, ε) Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

40 Äquivalenzbeweis Induktion über die Länge der Wörter w Induktionsvoraussetzung (IV) δ d (q 0, w) = δ nd (q 0, w) gelte für alle Wörter w mit w k. Induktionsschritt Es sei w = k + 1, d.h. w = w a mit a Σ und w Σ. (1) δd (q 0, w a) = δ d (δd (q 0, w ), a) (Def. von δd ) (2) δd (q 0, w ) = δnd (q 0, w ) (IV, da w = k) (3) δd (q 0, w a) = δ d (δnd (q 0, w ), a) (aus (1) und (2)) Es sei Z = δ nd (q 0, w ) (4) δ d (δnd (q 0, w ), a) = p Z δ nd(p, a) (Def. von δ d ) (5) p Z δ nd(p, a) = δnd (q 0, w a) (Def. von δnd ) (6) δd (q 0, w) = δ nd (q 0, w) (aus (3) und (5)) Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

41 Outline 1 Einführung 2 Beispiel 3 Ein verbesserter Determinisierungsalgorithmus 4 Äquivalenzbeweis 5 Komplexität Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21

42 Versionen : Version 0.1 Thomas Hanneforth (Universität Potsdam) May 14, / 21